2022届河南省南阳市高三上学期期末数学（文）试题含解析

2022届河南省南阳市高三上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数，则（       ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】根据复数模的性质即可求解.

【详解】,

,

故选：C

【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.

2．已知集合，，则中元素的个数为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【详解】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

3．设有下面四个命题：，；，“”是“”的充分不必要条件；命题“若是有理数，则是无理数”的逆否命题；若“”是真命题，则一定是真命题.其中为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用特殊值法可命题的真假；利用集合的包含关系可判断命题的真假；写出原命题的逆否命题，判断逆否命题的真假，可判断命题的真假；利用复合命题的真假可判断命题的真假，即可得出合适的选项.

【详解】对于命题，取，则，命题为真命题；

对于命题，，所以，“”是“”的必要不充分条件，命题为假命题；

对于命题，原命题的逆否命题为“若是有理数，则为无理数”，该命题为真命题，命题为真命题；

对于命题，若“”是真命题，则、中至少有一个真命题，命题为假命题.

综上所述，、为真命题.

故选：D.

4．向量，，、的夹角为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得结果.

【详解】.

故选：A.

5．函数的图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.

【详解】当时，，函数有意义，可排除A；

当时，，函数无意义，可排除D；

又∵当时，函数单调递增，

结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；

故选B.

【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.

6．正项数列的前项和为，都有，则数列的前2022项的和等于（       ）

A． B．2021 C． D．2022

【答案】D

【分析】利用之间的关系，求得的通项公式，再用并项求和法即可求得结果.

【详解】因为，则当时，，

则，整理得，

又为正项数列，故可得，

又当时，，解得（舍）或，

即数列是首项为公差为2的等差数列，则；

设数列的前项的和为，

则

.

故选：.

7．如图，某三棱锥的三视图均为直角三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在长方体内还原该三棱锥，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.

【详解】如图，在长方体内作出该三棱锥的直观图：

则该三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，则长方体的中心即为外接球球心，设外接球半径为R，则，即，则外接球表面积为.

故选：B.

8．战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：①从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；②每匹马参加且只参加一次比赛；③三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者.已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌嬴得比赛的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出基本事件总数，再求出田忌获胜的事件数，据此即可求出概率.

【详解】双方马的对阵情况如下：

双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，即田忌下等马对阵刘王上等马，田忌上等马对阵刘王中等马，田忌中等马对阵刘王下等马，所以田忌赢得比赛的概率为.

故选：D.

9．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．

【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

为圆心．

，又点在圆上，

，即．

，故选A．

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

10．为正项等比数列，.等差数列的首项，且有.记 ，数列的前项和为恒成立，则整数的最大值为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，从而可得，再由数列的错位相减法求和，可得，求得的最小值，结合不等式成立思想可得所求的最大值

【详解】设正项等比数列的公比为，等差数列的公差为，

则由题意可得，

得，化为，

解得或（舍去），则，

所以，

所以，

所以，

两式相减可得

，

得，

由，可得，

因为数列的前项和为恒成立，

所以可得，

所以的最大值为2，

故选：C

11．已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简f(x)解析式，求出f(x)在时的值域A，由求出f(x)的范围B，则AB，据此求出m的范围.

【详解】，

，则，.

，

若对任意恒成立，则，

即.

故选：A.

12．如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把曲线和曲线有且仅有两条公切线，转化为有且仅有两解.

记，利用导数研究单调性和极值，建立不等式，即可解得.

【详解】曲线上一点，，切线方程为：.

曲线上一点，，切线方程为：.

若直线与两条曲线都相切，则有，消去得：.

因为曲线和曲线有且仅有两条公切线，

所以有且仅有两解.

记，则.

令，得，所以在上单增；，得，所以在上单增.

所以.

又有，解得：（舍）或.

当，则；当，则；

而，所以要使有且仅有两解，

只需，解得：.

故选：B

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

二、填空题

13．已知实数满足，则的最小值为________.

【答案】

【分析】根据题意，画出可行域，根据目标函数的几何意义，数形结合即可求得结果.

【详解】因为其表示圆心为，半径的圆，

又表示点与点构成直线的斜率，

数形结合可知，当且与点构成的直线与圆相切且斜率存在时，取得最小值，

此时满足上述要求的直线方程为，则，解得.

即的最小值为.

故答案为：.

14．给出下列四种说法：

①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；

②在一组样本数据、、 、（，、、、不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；

③回归直线必经过点；

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，由独立性检验知，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说若有人吸烟，那么其中有人患肺病.

其中错误结论的编号是________.

【答案】①②④

【分析】利用平均数和方差公式可判断①；利用相关系数的性质可判断②；利用回归直线的性质可判断③；利用独立性检验的基本思想可判断④.

【详解】对于①，对于数据、、、，作变换，

设数据、、、的平均数为，方差为，

则，，

则数据、、、的平均数为

，

方差为

，

将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，①错；

对于②，在一组样本数据、、 、（，、、、不全相等）的散点图中，

若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，②错；

对于③，回归直线必经过点，③对；

对于④，由独立性检验可知，有的把握认为吸烟与患肺癌病有关系，是指有的可能性使推断错误，④错.

故答案为：①②④.

15．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.

【答案】

【分析】把函数有两个极值点，转化为有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点.利用导数研究的单调性与极值，即可求出m的取值范围.

【详解】的定义域为，.

要使函数有两个极值点，

只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.

由得，.

令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.

，令得：x>1；令得：0<x<1；

所以在上单减，在上单增.

当时，；当时，；

作出和的图像如图，

所以-1<m<0

即实数m的取值范围为.

故答案为：

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；

（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究，

16．如图所示，三棱锥中，，，，则三棱锥体积的最大值为_________．

【答案】

【分析】过A作AF⊥BD于F，连结CF，则CF⊥BD.过F作EF⊥AC于E，得到，利用分析法，要使三棱锥的体积最大，只需要△ACF的面积最大，只需AF最大.

判断出当F为BD中点时，即可求解.

【详解】因为，所以.

因为，，所以，，

又，所以.

过A作AF⊥BD于F，连结CF，则CF⊥BD.过F作EF⊥AC于E.

因为，所以，而EF⊥AC，所以E为AC的中点.

因为AF⊥BD, CF⊥BD, ,所以BD⊥面ACF.

所以.

要使三棱锥的体积最大，只需要△ACF的面积最大.

而，只需EF最大.

因为，

所以只需AF最大.

在△ABD中，所以A在以D、B 为焦点的椭圆上,如图示：

因为AF⊥BD，由椭圆的几何性质可得，要使AF最大，只需A为短轴顶点，即AF为短轴的一半.此时所以.

所以，所以，

所以.

即三棱锥体积的最大值为.

故答案为：

【点睛】立体几何中求最值的方法：

（1）代数法：建立函数关系式，利用函数求最值；

（2）几何法：利用几何关系找到取最值时的条件，直接求最值.

三、解答题

17．某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中B配方的频率分布直方图.药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好.为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出、两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于时为废品，指标值在为一等品，不小于为特等品.现把测量数据整理如下，其中配方废品有件.

配方的频数分布表

(1)求实数、的值；

(2)试确定配方和配方哪一种好?（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）

【答案】(1)，；

(2)选择配方比较好.

【分析】（1）计算出配方的样本容量，结合配方的频数分布表可求得的值，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值；

（2）计算出、配方质量指标值的平均数和方差，比较大小后可得出结论.

【详解】(1)解：因为、配方样本容量相同，设为，

由于配方废品有件，由配方的频率分布直方图可知，废品的频率为，解得，

所以，，

由，解得.

(2)解：由（1）及配方的频数分布表得，

配方质量指标值的样本平均数为，

质量指标值的方差为，

由配方的频率分布直方图知，配方质量指标值的样本平均数为

，

质量指标值的样本方差为，

所以，，，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但配方质量指标值的样本方差比配方质量指标值的样本方差大，

所以，选择配方较好.

18．如图①，在平面五边形中，，将沿折起到的位置，使得平面底面，如图②，且为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）设为的中点，连接，然后由三角形中位线定理可得，再结合已知条件可得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）设为中点，连接，过作交于点，则，再由面面垂直的性质可得底面，而，所以底面，从而可得是三棱锥的底面上的高，进而可求出

【详解】（1）证明：设为的中点，连接，

因为为的中点，所以，

又因，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因平面平面，

所以平面；

（2）解：如图，设为中点，连接，过作交于点，

因为，

所以，

又因平面底面，平面底面，

所以底面，而，

所以底面，

所以是三棱锥的底面上的高，且，

又，

所以，

所以.

【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查面面垂直的性质的应用，考查三棱锥体积的求法，解题的关键是取为中点，连接，过作交于点，然后通过已知条件证明是三棱锥的底面上的高，进而可求得结果，考查推理能力和计算能力，属于中档题

19．中，角，，的对边分别为，，，已知点在直线上.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若为锐角三角形且满足，求实数的最小值.

【答案】（1）（2）实数的最小值为2.

【详解】试题分析：

(1)利用题意结合余弦定理求得，故角的大小为；

(2)切化弦整理可得，

当且仅当即为正三角形时，实数的最小值为2.

试题解析：

解：（1）由条件可知，根据正弦定理得，

又由余弦定理，故角的大小为；

（2）

，

当且仅当即为正三角形时，实数的最小值为2.

20．已知为坐标原点，椭圆：的右顶点为，离心率为．动直线：与相交于，两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为4．

(1)求的标准方程．

(2)若直线与轴交于点，，的面积分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)是，1

【分析】（1）用椭圆的定义及性质即可得解；

（2）利用“设而不求法”表示出，的面积，即可求出.

【详解】(1)由对称性得点在椭圆上，根据点到的两焦点的距离之和为4及椭圆的定义，得，解得．

因为的离心率为，所以，

所以．

所以

所以的标准方程为．

(2)是定值，且该定值为1．

理由如下：

由得，即．

设，，

则，且，．

易得直线的方程为，

令，得

．

所以当变化时，直线与轴交于定点．

所以，

即是定值，且定值为1．

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）本小题先根据导函数求在切点处切线的斜率，再求切点坐标，最后写切线方程即可；

（2）本小题根据恒成立问题先化简不等式，再建立新函数，根据函数的单调性求最大值即可解题.

【详解】解：（1）由，有，

故曲线在点处的切线方程为，

整理为．

（2）不等式可化为

令，函数的定义域为，

则．

令，则，令，

得，，得，所以函数的增区间为，减区间为，所以对，．

又当时，，故有．

所以，有，，有，所以函数的增区间为，减区间为，所以

所以实数的取值范围为．

【点睛】本题考查借导函数求函数的切线方程，求解恒成立不等式，函数的单调性求最大值，是偏难题.

22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

【答案】（1）（）；（2）.

【解析】（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.

（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .

【详解】（1）由消得，即，

是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.

（2）由得，∴，

由得∴，∴.

【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

23．设函数

（1）解不等式:;

（2）若对一切实数均成立:求的取值范围.

【答案】（1）;（2）

【分析】（1）运用零点分段法对的取值进行分类,分别求出不等式的解集,从而求出不等式的解;

（2）利用绝对值的性质,确定出的最小值,从而使问题得解.

【详解】（1）因为

,

①当时,,

解得,所以;

②当时,,

解得,所以;

③当时,,

解得,所以;

综上所述, 的解为

（2）若

,

对一切实数均成立,

则,解得

故所求的取值范围为

【点睛】本题是一道关于绝对值不等式求解的题目,熟练掌握绝对值不等式的解法是解题的关键.