（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第五讲 一元二次方程（强化训练）

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第五讲  一元二次方程

考点一  一元二次方程的解

考点二  解一元二次方程

考点三  配方法求最值

考点四  根的判别式与韦达定理

考点五  一元二次方程的应用

考点一  一元二次方程的解

1．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（　　）

A．2018 B．2020 C．2022 D．2024

2．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　）

A．2023 B．2022 C．2020 D．2019

3．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（　　）

A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2

考点二  解一元二次方程

1．解下列方程

（1）（x﹣5）2﹣36＝0；    （2）x2+2x﹣3＝0（用配方法）；

（3）3x2﹣4x﹣2＝1；     （4）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．

2．解下列方程．

（1）2（1﹣x）2﹣8＝0         （2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）

（3）x2﹣3x+1＝0（配方法）     （4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＝0

3．解方程：

（1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2       （2）2x2+3x＝3．

考点三  配方法求最值

1．记T＝16k2﹣24k+11，则T的最小值为 　 　．

2．已知等腰三角形的两边长为a，b满足a2+b2+20＝8a+4b，则此等腰三角形的周长为　   　．

3．实数x、y、z满足x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14≤0，求x+y+z的值．

4．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，求x+y+z的值．

5．我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．

如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．

（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；

（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；

（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P．

考点四  根的判别式与韦达定理

1．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0

2．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0

3．关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为2 

C．两实数根的差为 D．两实数根的积为﹣4

4．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）

A．6 B．10 C．12 D．24

5．若某等腰三角形的底边长和腰长是方程x2﹣6x+8＝0的两实数根，则这个三角形的周长为（　　）

A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定

6．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6

7．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　 　．

8．若ab≠1，且a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，求+的值．

9．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．

10．关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根为1，求m的值；

（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长．

考点五  一元二次方程的应用

1．一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．

（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300元，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？

2．2020年第一季度，新冠肺炎疫情袭击全国，口罩成为重要的战疫物资．为确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产．该工厂1月生产口罩数100万只，之后逐月增加，到3月底第一季度累计生产口罩数475万只．求这两个月（二月和三月）生产口罩数的平均月增长率．

3．美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．

（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？

（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．

4．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．

（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？

5．2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响，汽车销售行业处于不景气状态，2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车，于2020年10月份销售该型号汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．

（1）求11月份和12月份的平均增长率；

（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）

6．如图，依靠一面长18米的墙，用36米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米．

（1）用含有x的代数式表示AB的长，并直接写出x的取值范围；

（2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长．

7．新冠病毒肆虐全球，在以习近平为核心的党中央的英明领导下，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性有效性均非常高的疫苗．今年七月，国家发布通知，12﹣17岁未成年人也可接种新冠疫苗，海航医院为某镇定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．

（1）已知在海航医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种．其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则海航医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支？

（2）疫情情况直接影响各企业生产与销售情况，某镇某家具厂有甲、乙两个车间，甲车间生产一种实木椅子，乙车间生产一种实木床．今年6月，该厂生产的椅子数量为床的数量的20倍，椅子售价为每把75元，床售价为每个1000元．今年7月，椅子的生产数量比6月少a%，床的生产数量比6月少4a%．在售卖这批产品时，椅子价格不变，床的价格比6月增加a%．全部售完后，发现7月生产的产品销售额比6月生产的产品销售额少a%，求a的值．