（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第七讲 一次函数（原卷版+解析版）

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第七讲一次函数 变化的世界函 数建立数学模型应用概 念选择方案概 念再认识表示方法图 象性 质一次函数（正比例函数）一元一次方程一元一次不等式二元一次方程组与数学问题的综合与实际问题的综合列表法解析法图象法考点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.考点二、一次函数的相关概念　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.考点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【微点拨】直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）【微点拨】理解、对一次函数的图象和性质的影响：（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行；，且与重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.考点四、待定系数法求一次函数解析式　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.【微点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.考点五、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.【微点拨】对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.考点六、用函数的观点看方程、方程组、不等式　考点七、一次函数与一元一次不等式　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.【微点拨】求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0.从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.考点八、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.考点九、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．命题点1一次函数的图象与性质类型一与图象有关的判断1.在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax＋a（a≠0）的图象经过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）【答案】A【解析】本题考查了一次函数的图象.当a＞0时，函数y＝ax＋a（a≠0）的图象经过第一、三象限，且与y轴正半轴相交，因此本题选A．2.一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D．【答案】B【解析】本题考查了一次函数的图象与性质.在一次函数y＝kx＋b（k≠0，k为常数）中，当k＞0，b＞0时，图象经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象经过一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，图象经过一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，图象经过二、三、四象限.本题k＝2，b＝﹣1，故图象经过一、三、四象限，因此本题选B．3.已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ） A B C D【答案】A【解析】 = 1 \* GB3 ①当，、的图象都经过一、二、三象限； = 2 \* GB3 ②当，、的图象都经过二、三、四象限； = 3 \* GB3 ③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限； = 4 \* GB3 ④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限.满足题意的只有A.4.在平面直角坐标系中,一次函数的图象是( ) B. C. D.【答案】C【解析】此题考查了一次函数的图象,熟练掌握一次函数的图象与性质是解本题的关键.观察一次函数的解析式,确定出与的符号,利用一次函数图象及性质判断即可.一次函数中,其中=1, =1,其图象为,故选C.5. 如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8,则该直线的函数表达式是（ ）A.y＝－x+4 B.y＝x+4 C.y＝x+8 D.y＝－x+8【答案】A【解析】由题可知,矩形ONPM中,ON+NP+PM+MO＝8,∴OM+ON＝4,设P(x,y),则x+y＝4,即y＝－x+4,故选A.6.正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx﹣k的图象大致是（　　）A． B． C． D．【答案】A；【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，则一次函数y=kx﹣k的图象大致是：，故选A.7.如图所示，直线：和：在同一坐标系中的图象大致是（ ）【答案】C；【解析】A选项对于，＞0，＞0，对于，＞0，＜0，矛盾；B选项对于，＞0，＞0，对于，＜0，＜0，矛盾；D选项对于，＞0，＞0，对于，＜0，＞0，矛盾.类型二一次函数解析式与象限的关系8.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线yx+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）A．y＝x+2 B．yx+2 C．y＝4x+2 D．yx+2【分析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．【解答】解：∵直线y＝2x+2和直线yx+2分别交x轴于点A和点B．∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；B、yx+2与x轴的交点为（，0）；故直线yx+2与x轴的交点在线段AB上；C、y＝4x+2与x轴的交点为（，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；D、yx+2与x轴的交点为（，0）；故直线yx+2与x轴的交点在线段AB上；故选：C．9.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）A． B． C． D．【解析】将抛物线配方可得，∴对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点坐标分别为，∴B（3,0）与轴交点，∴OA=3，OB=4根据平移的规律可得且，∴，代入抛物线可得，直线AB的解析式为，根据∥可得直线的解析式为，再将代入可得，∴直线的解析式为，故选B10.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）A. x=20   B.x=5   C.x= 25 D.x=15【答案】A【解析】由函数图象知，当x=20时，y=x+5=25，y=ax+b=25，所以方程x+5=ax+b的解是x=20.11.若一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）A．m＞－ B．m＜3 C．－＜m＜3 D．－＜m≤3【答案】D【解析】由题意得，解得－＜m≤3，故选D．12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 . 【答案】y=x-1【解析】方法一：∵一次函数y=2x-1的图象分别交x、y轴于点A、B，∴点A为（0，-1），点B为（，0）如图①，过点A作AB的垂线AD交BC于点D，∵∠ABC=45°，∠BAD=900∴△ABD为等腰直角三角形.过D点作x轴垂线交x轴于E，易证 △AED≌△BOA.∴AE=OB=1,DE=OA=.∴点D坐标为（，-）∵直线BC过B （0，-1）D（，-），设直线BC表达式为，代入得∴∴直线BC的解析式为：.方法二：∵一次函数y=2x-1的图象分别交x、y轴于点A、B，∴点A为（0，-1），点B为（，0）.如图②，过点A作AD⊥BC于点D.∵∠ABC=45°，∴△ABD为等腰三角形.过D点作x轴垂线交x轴于E，过B点作BF⊥DE于点F，根据一线三等角易证 △AED≌△DFB.∴AE=DF,DE=BF. 设点D坐标为（x,y） 则有∴∴点D坐标为（，-）.∵直线BC过B （0，-1）D（，-），设直线BC表达式为，代入得∴∴直线的解析式为：.故答案为：. 类型三与一次函数增减性、最值有关的问题13.已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　）A．（-1，2） B．（1，-2） C．（2，3） D．（3，4）【答案】B 【解析】由一次函数的解析式，得：k＝≠0，则y≠3.∵一次函数y随x的增大而减小，∴k＜0，即＜0，故x＞0、y＜3或x＜0、y＞3，故选B.14.点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ）A． B． C． D．【答案】 C【解析】∵点在函数的图像上，∴b＝3a＋2，即3a－b＝－2，所以＝－4＋1＝－3．15.如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．由题意将代入，可得，即，整理得，，∴，由图像可知，∴，∴，故选：A．16若一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）A．m＞－ B．m＜3 C．－＜m＜3 D．－＜m≤3【答案】D【解析】由题意得，解得－＜m≤3，故选D．17.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）A. B. C D. 且【答案】 D【解析】本题考查了一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键. 画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.∵，∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），∵t>0，∴2t+2>2，当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，∴且，18.已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　）A．（-1，2） B．（1，-2） C．（2，3） D．（3，4）【答案】B 【解析】由一次函数的解析式，得：k＝≠0，则y≠3.∵一次函数y随x的增大而减小，∴k＜0，即＜0，故x＞0、y＜3或x＜0、y＞3，故选B.19一次函数的图象过点（，），（，）（，），则（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】本题考一次函数的性质，因为，所以随的增大而减小,即越大，对应的值越小．因为，所以对应的函数值大小为：，因此本题选B．类型四一次函数图象的交点问题20.如图（4），直线和与x轴分别交于点A（－2，0），点B（3，0），则的解集为（ ）x3 C． x3 D． －2