（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第十一讲 二次函数与几何图形综合题（原卷版+解析版）

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第十一讲二次函数与几何图形综合题
1.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1,1），（3,1），（3，3），（1,3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】抛物线y=a的图象与正方形有公共顶点，必须满足1≤x≤3.抛物线经过（1,3）时，a=3，抛物线过（1，1）时，a=1，a最大可以取3；抛物线过点（3，1）时，a=，抛物线过（3，3）时，a=，a最小可以取，所以，故选A.
2.二次函数y=ax2—3ax+3的图像过点A（6,0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
【答案】（，—9）或（，6）
【解析】根据题意得，点B坐标为（0，3），对称轴为直线为x＝，若∠ABM＝90°时，tan∠BAO＝tan∠BM1C＝tan∠NBM1＝，则BN＝3，则ON＝6，则M的坐标为（，6）．若∠BAM＝90°时，可以求得点M2的坐标为（，—9）．


3.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的，若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝，把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4＝0，解得a＝－1，∴y＝－＝－；（2）∵四边形MNHG为矩形，∴MN∥x轴，设MG＝NH＝n，把y＝n代入y＝－，即n＝－，∴＝0，由根与系数关系得＝2，＝n－3，∵＝－4，∴＝4－4（n－3）＝16－4n，∴MN＝ ＝2，设矩形MNHG周长为C，则C＝2（MN＋MG）＝2（2＋n）＝4＋2n，令＝t，则n＝4－，∴C＝－2＋4t＋8＝－2，∵－2＜0，∴t＝1时，周长有最大值，最大值为10；
（3）在（2）的条件下，当矩形周长最大时t＝1，∴＝1，n＝3，MN＝2＝2，∵D（0，3），∴此时N与D重合，∴ ＝2×3＝6，∴＝＝，又∵当y＝0时0＝－，解得＝－1，＝＝3，∴C（3，0），∵D（0，3），直线CD的解析式为y＝－x+3，∴过P做y轴的平行线，交直线CD于点Q，设P横坐标为m，则P（m，－），Q（m，－），∴PQ＝｜（－）－（－）｜，当P在Q的上方时，PQ＝－，∴＝·PQ·OC＝，－＝，解得m＝；当P在Q的下方时，PQ＝，即＝，解得，（舍去）；∴P横坐标为或．

4.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：（1）把A（－1，0），B（3，0）代入y＝x2＋bx＋c，得解得
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－2 x－3；
（2）∵CP⊥EB，∴∠OPE＋∠BCP＝90°，∵∠OPE＋∠OEP＝90°，∴∠OEP＝∠BPC，∴tan∠OEP＝tan∠BPC．∴＝．设OE＝y，OP＝x，∴＝．整理，得y＝－x2＋x＝－（x－）2＋．∴当OP＝时，OE有最大值，最大值为，此时点P在（，0）处.

（3）过点M作MF⊥x轴交BN于点F，
∵N（0，－3），B（3，0），∴直线的解析式为y＝－3 m.
设M（m, m2－2 m－3）,则MF＝m2－3m，
∴△MBN的面积＝OB·MF＝( m2－3m) ＝( m－) 2 －.
点M的坐标为（，－）时，△MBN的面积存在最大值.

5.已知抛物线C1：y＝（x－1）2－4和C2：y＝x2
（1） 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2） 如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ
① 若AP＝AQ，求点P的横坐标
② 若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标
（3） 如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系

【答案】
（1）先向左平移1个单位，在向上平移4个单位
（2）①kAB＝和A（3，0）易求AB：y＝
∵AP＝AQ，PQ⊥AO．∠PAO＝∠QAO
∴AQ：y＝
联立得∴
②设P（t，）则Q（t，）易求：PQ＝，PA＝
∵PA＝PQ
∴ ∴
（3）设ME：
联立则
∴
∴
∴
同理：
化简得：

6.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）= ax2﹣ax﹣12a，
∵抛物线y＝ax2+bx+4，
∴﹣12a＝4，解得：a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，
设直线AC的中点为P（﹣，4），过点P与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，
同理可得过点P与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，
①当AC＝AQ时，如图1，

则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），
故点Q（1，3）；
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，
则QM＝MB＝，
故点Q（，）；
③当CQ＝AQ时，
联立①②并解得：x＝（舍去）；
故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；
（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，
∵﹣＜0，∴PN有最大值，
当m＝时，PN的最大值为：．
7.如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．
（1）求OC的长及点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在的直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G的运动路径的长．

【思路】（1）Rt△AOC中，由正切三角函数，可求OC的长；再由矩形的性质及线段中点的定义锁定点D的坐标．（2）①由翻折可知DB＝＝DC，从而∠DCA＝∠＝30°．通过解直角三角形得到FA＝FB＝，在Rt△AEF中，AE＝AF•tan∠AFE＝×＝，从而求得点E的坐标．②按一找点G的运动起点与终点，从而找到点G的路径，二求该路径的长即可锁定答案．如答图2和答图3，表示动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动时的起点、与终点的位置，G点的路径是一条线段．
【答案】（1）在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝＝，OA＝3，得OC＝OA•tan∠OAC＝3×＝．
∵四边形OABC是矩形，点D为BC的中点，
∴D(，)．
（2）①如答图1，易知∠OAC＝∠ACB＝30°．
而由折叠可知DB＝＝DC，从而∠DCA＝∠＝30°．
∴∠BDF＝∠＝30°．
∴∠DFB＝∠AFE＝60°．
Rt△DBF中，易求BF＝．
∴AF＝AB－BF＝．Rt△AEF中，AE＝AF•tan∠AFE＝×＝．
∴OE＝，E(，0)．
综上，BF的长为，点E的坐标为E(，0)．
②．

第24题答图2
第24题答图1

【知识点】矩形性质；解直角三角形；翻折（轴对称）；等腰三角形；等边三角形；二次函数；动态问题；数形结合思想；探究性问题；压轴题；原创题
8.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0),点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°，矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上，OD=2.
（1）如图①，求点E的坐标；
（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C’O’D’E’,点C,O,D,E的对应点分别为C’,O’,D’,E’,设OO’=t,矩形C’O’D’E’与△ABO重叠部分的面积为S
①如图②，当矩形C’O’D’E’与△ABO重叠部分为五边形时，C’E’,E’D’分别与AB相交于点M,F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）

【分析】(1)由题意知OA=6，OD=2，∴AD=4，由矩形CODE得DE∥BO，∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°AD=，所以点E的坐标为（2，）
（2） ①由平移得，O’C’=D’E’=,O’D’=C’E’=2，ME’=OO’=t，根据E’D’∥BO，得∠E’FM=∠OBA=30°,Rt△ME’F中，E’F=，
S△ME’F=；S矩形C’O’D’E’=;
S=S矩形C’O’D’E’-S△ME’F=，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0