（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第十二讲 角、相交线与平行线（原卷版+解析版）

第十二讲角、相交线与平行线

考点一、角的概念

1．  角的定义：

（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．

（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．

【微点拨】

（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．

（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．

2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

【微点拨】

用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．

3.角的画法

（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．

（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．

（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．

考点二、角度制及其换算

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．

   1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．

【微点拨】

在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．

考点三、角的比较与运算

1.角的比较

角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．

方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．

方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．

如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

2.角的和、差运算

如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．

【微点拨】

(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．

 (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．

3.角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，

∠AOC＝∠BOC =∠AOB．

【微点拨】

由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．

考点四、方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．

【微点拨】

（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．

（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．

（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．

考点五、钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．

考点六、线段、射线、直线的概念及表示方法

1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：

（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.

（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．

【微点拨】（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．

（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.

（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.

（4）线段、射线、直线都没有粗细．

2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.

【微点拨】

（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；

端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．

（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．

3.线段、射线、直线的区别与联系

考点七、基本性质

1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．

【微点拨】

（1）点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O；

②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P.

（2）两条不同的直线相交只有一个交点.

2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．

如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．

【微点拨】

（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.

考点八、比较线段的长短

1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：

法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．

法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．

【微点拨】

几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.

2.线段的比较：

（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．

（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．

【微点拨】

若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．

命题点1直线和线段

1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．

命题点2角与角平分线
2.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（   ）

A．∠AOD=∠BOC   B．∠AOE＋∠BOD=90°

C．∠AOC=∠AOE   D．∠AOD＋∠BOD=180°

3.如图，已知两直线与被第三条直线所截，下列等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

4.如图，直线，直线与，分别交于点A,C，BC⊥交于点B，若∠1=70°，则∠2的度数为

A. 10°     B.20°     C.30°    D.40°

5.如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°．

6.如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝    度.

7..如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）

A．52° B．54° C．64° D．69°

8.3.如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是（    ）

A．∠1=∠4    B．∠1=∠5        C．∠2=∠3     D．∠1=∠3

9..在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．6

10..如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．

11.如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF的度数是(     )

A．20°            B．25°              C．30°             D．35°

命题点3相交线
12.如图，在RT△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC于点E,F，再分别以点E,F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD=3,AC=10，则△ACD的面积是     。

13.如图，在中，用直尺和圆规作、的垂直平分线，分别交、于点、，连接.若，则          ．

14.如图,在△ABC中,AC＝10,BC＝6,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则△BCE的周长是________.[来源:

15.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE//BC，与边AC交于点E，连接BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2,（    ）

1. 若2AD>AB，则3S1>2S2            B. 若2AD>AB，则3S1<2S2       

C. 若2AD<AB，则3S1>2S2            D. 若2AD<AB，则3S1<2S2

16.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为

A.50°    B.70°    C.75°    D.80°

17.如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D两点，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（     ）

A.6            B.2             C.3              D.

 18.已知，如图，点P在线段AB外，且PA＝PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（      ）

    A．作∠APB的平分线PC交AB于点C

    B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC

C．取AB中点C，连接PC

D．过点P作PC⊥AB，垂足为C

19.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于24cm长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为(▲)

   A.16cm   B.19cm   C.22cm   D.25cm

命题点4平行线的判定

20.如图，直线、被直线所截，下列条件中，不能判定∥的是（       ）

A．∠2=∠4     B. ∠1+∠4=180°     C. ∠5=∠4       D. ∠1=∠3

命题点5平行线性质求角度或证明 
类型一直接应用平行线性质求角度或证明

21.如图，直线l1∥l2，直角三角板直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（    ）

A．65°B．55°C．45°D．35°

22.如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°

23.如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是　　

A． B． C． D．

24.一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝50°，那么∠BFA的大小为（　　）

A．145° B．140° C．135° D．130°

25.如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°

26.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于（　　）

A．45° B．60° C．75° D．85°

27.如图，a∥b，若∠1＝100°，则∠2的度数是（　　）

A．110° B．80° C．70° D．60°

28.如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2＝　　．

29.结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵_______________ ，∴a∥b．

类型二平行线性质与判定结合

30.如图，若AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是___________．

31.如图，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E，求证：AC∥DF.

类型三与直角三角板结合

32.将一副三角板（∠A=30°，∠E=45°） 按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（     ）

A．75°         B．90°     C．105°      D．115°

33.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1=35°，则∠2的度数是（   ）

A．35° B．45° C．55° D．65°

命题点6命题

34.证明：对顶角相等.

35.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．

36.已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

37.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F．

（1）若∠ABC=60°，则∠ADC=　  　°，∠AFD=　  　°；

（2）求证：BE∥DF．