（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第十六讲 锐角三角函数及其实际应用（原卷版+解析版）

第十六讲锐角三角函数及其实际应用
考点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
　　 (2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
　　(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
【微点拨】
　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
　　(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
　 　　但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
　　(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
　　(4)三角函数有时还可以表示成等.
2.锐角三角函数的定义
　　锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
【微点拨】
　　1. 函数值的取值范围
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

　　2．锐角三角函数之间的关系：
　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
　　同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
　　3.30°、45°、60°角的三角函数值
∠A
30°
45°
60°
sinA



cosA



tanA

1

　　30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
考点二、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
　　　　　　　　　　　
　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
　　边边关系：勾股定理，即；
　　边角关系：锐角三角函数，即
　　
【微点拨】
　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
考点三、解直角三角形的应用
　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
　　2.常见应用问题
　　(1)坡度：； 坡角:.
　　　　　
　　(2)方位角：
　　　　　
　　(3)仰角与俯角：
　　　　　

【微点拨】
1．解直角三角形的常见类型及解法

已知条件
解法步骤
Rt△ABC

两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
　　
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
　　　　
　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
　　用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
　　如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴




1.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为
A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米
【答案】A
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，过点A作AE⊥BC，垂足为E，由题意 AE＝CD＝150，在Rt△ABE中，tanα＝,∴，∴BC＝BE＋CE＝1.5＋150tanα，因此本题选A．
2.如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【解析】本题考查了锐角三角函数的应用．如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′中，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　）

A． B． C． D．4【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，cosA＝＝，则AB＝AC＝5，∴BC＝＝3.在Rt△BCD中，cos∠DBC＝＝，cos∠DBC＝cosA，∴BD＝BC＝×3＝.
4.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡的CD坡度（或坡比） i=1:0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为（ ）
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m

【答案】B
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则四边形DFBF是矩形.在Rt△DCF中，∵CD的坡度为1:0.75，∴.设DF=4k，CF=3k，则CD=5k.∵CD=45，∴k=9，DF=36,CF=27，∴BE=36，DE=BF=27+60=87.在Rt△ADE中， AE=DE·tan∠ADQ=87×0.53=46.11，∴AB=46.11+36≈82.1（m）．

5.如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了利用三角函数计算物体高度，作CF⊥AB于F，由题意得CF=DB=b，∵tan∠ACF=AF:CF,∴AF=tan∠ACF×CF=，∴AB=AF+FB=AF+CD=,因此本题选A.
6.如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A 转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么，点D到BC的距离等于（　　）
A
B
C
D
B′
C′

A．2(＋1) B．＋1 C．－1 D．＋1
【答案】D
【解析】本题可直接通过解直角三角形解答．如图，设DE⊥BC于点E，交AC于点F，则∠B′DF＝∠C＝30°，∴DF＝2B′F．在Rt△B′DF中，设B′F＝x，根据勾股定理，得x2＋22＝(2x)2，解得x＝，∴DF＝．由旋转知AB′＝AB＝2．在Rt△ABC中，∠C＝30°，∴AC＝2AB＝4，∴B′C＝4－2＝2，∴CF＝B′C－B′F＝2－，∴EF＝CF＝1－．∴DE＝DF＋EF＝＋1－＝＋1．
E
A
B
C
D
B′
C′
F

7.如图垂直于水平面的5G信号塔 建在垂直与水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A,B,C在同一条直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A,B,C,D,E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡的坡度（或坡比）i=1:2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【答案】D
【解析】本题考查了锐角三角函数的实际应用，如图，过点E作EF⊥AC于E，作EG⊥CD交CD的延长线于点G，则四边形EFCG是矩形.在Rt△DEG中，∵DE的坡度为1:2.4，∴.设EG=5k，DG=12k，则DE=13k.∵DE=78，∴k=6，EG=30,DG=72，∴CF=30，EF=CG=72+78=150.在Rt△AEF中， AF=EF·tan∠AEF=150×0.93=139.5，∴AC=139.5+30=169.5（m），∴AB=169.5-144.5=25（m），因此本题选D．

8．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m

【答案】A
【解析】由题意得EB⊥AC，DC⊥AC，从而EB∥DC，所以△AEB∽△ADC，从而得到＝，即＝，解得CD＝17.5（cm）．因此本题选A．
9.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏东70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）

A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D．米
【答案】B
【解析】在Rt△PQT中，利用∠PQT的度数，得到∠PTQ的度数，进而由PQ的长根据三角函数即可求得PT的长．在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°－70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°＝，∴PT＝＝，即河宽米，此本题选B．
10.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为 （　　）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
【答案】A
【解析】本题考查了三角函数的应用——仰俯角问题，如图水平距离＝42÷tan30°＝42÷＝，因此本题选A．

11.如同，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度．将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度是1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是 （ ）
A． 55.5 m B．54 m C．19. 5 m D．18 m

【答案】C
【解析】过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18m，∴AE＝DE•tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，故选C．

12.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为 （ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt△ABD中，∠ADB=90°，cosB=，所以AB===．故选B.

13.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 （ ）
A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D． n mile

【答案】D
【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC•cos∠ACD=60×=30．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故本题选：D．
14.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）
A. asinα+asinβ B. acosα +a cosβ C. atanα+atan β D.

【答案】C
【解析】在Rt△ABD中，∵tanβ=，∴BD=atanβ.
在Rt△ABD中，∵tanα=，∴BC=atanα.
∴CD=BD+BC=atanα+atanβ.
15.如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为 米，BC为 米．
【答案】15，20
【解析】本题考查了解直角三角形，根据题意可知EN＝15+2+8＝25，又∠ANE＝45°，得到AN＝25，AE＝25.又因为FN＝10，所以BN＝10，所以AB＝AN－BN＝15；延长CB交l于点Q，显然△BQF≌△BNF，QF＝BF＝10，BQ＝10，在Rt△CPQ中，PQ＝CP，由∠1＝∠2，所以tan∠1＝,所以CP＝30，所以CQ＝30，所以BC＝20.
因此本题答案为15，20．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．

【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）．因为∠C＝90°，∠ADC＝60°，所以∠DAC＝30°，所以CD＝AD．因为∠B＝30°，∠ADC＝60°，所以∠BAD＝30°，所以BD＝AD，所以BD＝2CD．因为BC＝，所以CD＋2CD＝，所以CD＝，所以DB＝，因此本题答案为．
17.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC上一动点，则2AD＋DC的最小值为___________．
【答案】6
【解析】本题考查了含30°的直角三角形，垂线段最短．如答图，作∠BCE＝30°，CE与AC在BC两侧，过点D作DF⊥CE于F．过点A作AH⊥CE于点H．在Rt△CDF中，因为∠BCE＝30°，所以DF＝CD，则由“垂线段最短”可知，AD＋DF的最小值为线段AH的长，即AD＋CD的最小值为线段AH的长．在Rt△ABC，因为∠B＝60°，所以∠ACB＝30°，因为AB＝2，所以BC＝4，AC＝．在Rt△ACH中，∠ACH＝∠ACB＋∠BCE＝30°＋30°＝60°，所以∠CAH＝30°，所以CH＝AC＝×＝，AH＝CH＝×＝3，所以AD＋CD的最小值为3，因为2AD＋DC＝2(AD＋CD)，所以2AD＋DC的最小值为6．
18.人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是____m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】1.5
【解析】直接利用正弦求解．在Rt△ADC中，AC＝2，∠α＝50°，
则sin50°＝，∴AD＝AC·sin50°＝2×0.77≈1.5．
19.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　 　米（结果保留根号）．

【答案】故答案为：6．
【解析】本题考查了解直角三角形的知识，通过构造直角三角形，解直角三角形，从而解决问题．
解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．

∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝6（米），
因此本题答案为：6．
20.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移___________m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°﹦1.2）


A
B
C
D
E
H
G

【答案】10
【解析】本题考查了锐角三角函数的应用，因为斜坡AB的坡比为12：5，即BE:AE=12：5．设BE=12k，则AE=5k，AB=13k.因为斜坡AB长26m，所以13k=26，所以k=2，即：BE=24 m，则AE=10 m，设坡顶B沿BC至少向右移至点G处，过点G作GH⊥AD，垂足为点H，且设BG=x，则GH：AH≤tan50°，即24：AH≤1.2，所以AH≥20，因为AE=10，所以EH≥10，即坡顶B沿BC至少向右移10 m时，才能确保山体不滑坡．，因此本题答案为10．
21.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m，则自动扶梯的垂直高度BD＝________m．（结果保留根号）

【答案】2
【解析】先由三角形外角的性质及等腰三角形的判定，得到BC＝AC＝4，再解直角三角形BCD求BD．∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BCD中，BD＝BCsin60°＝4×＝2．
22.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为________km.
A.30+30 B.30+10 C.10+30 D.30

【答案】B
【解析】如图,由题中方位角可知∠A＝45°,∠ABC＝75°,∠C＝60°,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,∠A＝45°,AB＝,∴AD＝ABcosA＝30,BD＝ABsinA＝30,在Rt△BCD中,∠C＝60°,∴CD＝＝,∴AC＝AD+CD＝30+10,故选B.

23.如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A,B,C,D在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB的高度约为（ ）

【答案】B
【解析】作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M.
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,
DC=BC=52米，设DM=x米，则CM=2.4x米，
在Rt△ECM中，∵+ =，∴+=
解得x=20 ∴CM=48米，EM=20+0.8=20.8米，BM=ED+DM=52+48=100米
∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四边形ENBM是矩形. ∴EN=BM=100米，BN=EM=20.8米.
在Rt△AEN中，∵∠AEF=27°∴AN=EN﹒tan27°≈100×0.51=51米
∴AB=AN+BN=51+20.8=71.8米.故选B．

24.如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．
【答案】
【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．
25.cos60°＝　 　．
【答案】
19．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝，CD＝1,则BC的长为 .
【答案】5或7
【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D在BC延长线上，在△ABD中 tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD－ CD＝6－1＝5；②点D在BC上，在△ABD中 tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD＋ CD＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．

20.如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线.过点作，交射线于点，过点作，交于点.设，，则________.

【答案】
【解析】本题考查了尺规作图，直角三角形两锐角互余，勾股定理，三角函数的概念，连接BD，作DF⊥ON于F，由尺规作图知∠AOD=∠BOD， AD∥OB，△AOD≌△BOD,∴∠ADO=∠BOD,AO=BO，AD=BD,∴∠ADO=∠AOD，∴AD=AO, ∴四边形AOBD为菱形，∴BD=10,∠BDO=∠BOD,∵DE⊥OD,∴∠BDE=∠BED, ∴BD=BE=10,设BF=x，则EF=10-x，∵BD2-BF2=DE2-EF2,∴102-x2=122-（10-x）2,解得x=2.8，由勾股定理得DF=9.6,∴sin∠MON= sin∠DBF=DF:BD=9.6:10=．
21.如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形 ACDE、BCFG，连接 EC、EG，则tan∠CEG＝________．
【答案】
【解析】本题考查了正切的定义、正方形的性质以及等腰直角三角形的三边关系．连结CG ，∵ACBD、CFBG是正方形．∴∠ECG＝45°＋45°＝90°，设BC＝a，则AC＝2a，CG＝ ，CE＝ ，∴tan∠CEG＝
22.如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为　　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）

【答案】1.02
【解析】∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．
23.在直角三角形ABC中，若2AB=AC则cosC=___________.
【答案】或
【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；综上所述，cosC的值为或．故答案为或．
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF＝BC,连接FE并延长交AB于点M,若BC＝a,则△FMB的周长为________.

【答案】a
【解析】∵BC＝a,∴CF＝BC＝a,∴BF＝a∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥BF,DE＝a,∴△MED∽△MFB,∴,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30°,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝a,MB＝a,∵MB＝FB,∠B＝60°,△BMF是等边三角形,周长＝a.
25.如图，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.
如图1，当CD＝时，
如图2，当CD＝时，
如图3，当CD＝时，
……
依次类推，当CD＝（n为正整数）时，
……
【答案】
【解析】当n＝1时，
当n＝2时，
当n＝3时，
……
∴
26.如图，在△中，，，.则边的长为▲.

【答案】
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，，AC＝2，∴DC=×2=，，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．
∵sin B=，=2AD=．

27.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
55°
45°
A
B
C
D
M
N

【解析】过点N作出平行于AC的直线，即可构造两个直角三角形，通过解直角三角形求解，均属于“已知一边一角”解直角三角形类型．
【答案】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F．
则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30m．
55°
45°
A
B
C
D
M
N
E
F

28.如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2 km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站A测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
图

【解析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝CD＝x km，从而AC＝x km，在Rt△BCD中，由正切函数得到x的方程求解即可．
【答案】解：如答图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝∠ACD＝45°，从而AD＝CD＝x km，AC＝x km，DB＝(2－x)km，∠CBD＝60°．
图

在Rt△BCD中，由tan∠CBD＝，得tan60°＝，即＝，解得x＝3－，经检验，x＝3－是原方程的根，从而AC＝x km＝•(3－)＝(3－) km．答：船C离观测站A的距离为(3－) km．
29.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1 m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能将实际问题转化为解直角三角形问题．(1)过A点作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，交MP于点F，设AE= m,从而构建出两个直角三角形.在Rt△ACE利用∠ACE=45°，表示出BE=x+16；在Rt△ABE中，利用tan∠ABE建立方程，求出x的值，再加上测角仪的高度即是观景台的高度；（2）可采用多次测量求平均值来减小误差.
【答案】解：(1)过A点作AE⊥BC，交BC延长线于点E，交MP于点F，设AE=.
在Rt△ACE中，∠ACE= 45°，∴AE=CE=，∵BC=16，∴BE=+16；
在Rt△ABE中，∠ABE= 22°，∴tan22°=， ，解得:x≈10.67，
由题意，易知四边形BEFM为矩形，∴EF=BM=1.6， ∴AF=10.67+1.6=12.27≈12.3().
答：观景台的高度约为12.3m.
(2)本次测量的误差为:12.6－12.3=0.3()，宜多测量几次，取这几次计算结果的平均数，可以尽可能地减小误差.

30.汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i=1:1，加固后坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i=1:,问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果保留根号）

【解析】解：如图，分别过点A,E作AN⊥FC于N,EM⊥F于M，
则AN=EM,
∵从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，
∴AN=9米=EM，
∵斜坡AB的坡度i=1:1，
∴BN=AN=9米，
∵斜坡EF的坡度i=1:，
∴FM=9，
∴FB=FM+MN-BN=9+2-9=9-7,
S梯==,
∴体积为200S梯=8100-4500（m3)
答:共需土石8100-4500立方米.


31.如图,某海监船以60海里时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)
(1)求B,C两处之间的距离;
(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.

【解析】解：(1)过点C作CE⊥AB于点E,在Rt△BEC中,设BC＝x,∵∠BCE＝30°,∴BE＝BC＝x,CE＝x,在Rt△ACE中,AE＝CE＝x,∴AB＝AE－BE＝x－x,已知AB＝60×1.5＝90,∴x－x＝90,解之得,x＝90+90.答:B,C两处之间的距离(90+90)海里;
E

(2)过点B作BF⊥DC于点F,在Rt△BDF中,∠DBF＝60°,由(1)得,BF＝CE＝CE＝x＝135+45,∴BD＝2BF＝270+90,∴时间为(270+90)÷90＝3+.答:海监船追到可疑船只所用的时间为(3+)小时.
F

32.如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行.在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120m，BD=80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）.
（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）

【解析】解：过作于，交的延长线于，
则，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
，，
，
在中，，，
，
，
答：木栈道的长度约为．

33. 图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A点处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁D的夹角∠AB＝37°，喷出的水流BC与AB行程的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．


【解析】过B点作MN∥DE，分别交直线AD和直线EC于点M、N，由题意可知AD∥CE，∠ADE＝90°
∴四边形DMNE为矩形，∴∠AMB＝∠BNC＝9 0°，MN＝DE，MD＝NE．在Rt△ABM中，∠AB＝37°， sin∠MAB＝，∴MB＝AB·sin37°＝25×0.6＝15，cos∠MAB＝，∴AM＝AB·cos37°＝25×0.8＝20，∵MN＝DE＝50，∴NB＝50－15＝35，∵∠ABM＝90°－37°＝53°，∠ABC＝72°，∴∠NBC＝180°－53°－72°＝55°，∴∠BCN＝90°－55°＝35°．在Rt△BNC中，tan∠BCN＝，∴CN＝＝50，∴EN＝CN+CE＝50+130＝180＝MD，∴AD＝MD－AM＝180－20＝160（cm）．
答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm高的位置．

34.如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M．连接MD，MG，MB．
(1)试证明DM⊥MG，并求的值；
(2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中的值有变化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．

【解析】解：(1)延长GM交DE于H，∵EF的中点M，∴EM＝FM，∵正方形ABDE、正方形BCFG，∴AB∥DE∥GF，∴∠HEM＝∠GFM，在△EHM和△FGM中，，∴△EHM≌△FGM(ASA),∴HM＝MG，GF＝EH，∵AB＝2BC，∴GF＝EH＝DH＝DG，∴DM是△HDG底边上的中线，∴DM⊥MG；
设AB＝4，BC＝2，易求MB＝EF＝，MG＝BC＝，∴

(2)比值会随着α的变化而变化，理由如下：
连接AM、EB、EF、GC，DF，交点为T、Q
由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EAT＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α
∴四边形TBFD为矩形
∴DF＝TB
∵G为BD的中点
∴MG＝
由题设AB＝2，BC＝1
∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα
∴DF＝TB＝2sinαMG＝＝sinα

在RT△EBF中由勾股定理得

∴MB＝＝
∴＝