（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第十三讲 三角形（原卷版+解析版）

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第十三讲 三角形 考点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．【微点拨】应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．考点二、三角形的分类1.按角分类：【微点拨】①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：【微点拨】 ①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.考点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.【微点拨】（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.考点四、等腰三角形1.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）2.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.3.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【微点拨】等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.考点五、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.考点六、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.【微点拨】①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.考点七、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线【微点拨】①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.考点八、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．考点九、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.【微点拨】应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：
　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
　　 若时，△ABC是锐角三角形；
　　　若时，△ABC是钝角三角形． 2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.【微点拨】常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）考点十、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.命题点1三角形及边角关系 1.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）A．4 B．5 C．6 D．72.若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（     ）A.2cm     B. 3cm      C. 6cm       D.9cm3.在△ABC中，AB＝1，BC＝．下列选项中，可以作AC的长度的是（    ）A．3                B．4                C．5               D．64.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－8x＋12＝0的解，则这个三角形的周长是_________．5.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)，
6.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2－8x＋12＝0的根，则该三角形的周长为________．7.已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足(b－2)2＋｜c－3｜＝0，且a为方程｜x－4｜＝2的解，则△ABC的形状为______三角形．命题点2三角形中的重要线段8.如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC﹦1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）A．＋1 B．＋ C．2＋1 D．2—    9.已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（　　）A．8 B． C．16 D．410.如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（　　）A．20° B．45° C．65° D．70°11.如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝____°.12.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G.若DE=2，OF=3，则点A到DF的距离为         .命题点3等腰三角形13.已知，如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠BAD=________度．第13题图14.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）A．120°   B．130°   C．145°   D．150°15.如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（  ）A.10 B.5 C.4 D.316.已知等腰三角形两边的长分别为3和7， 则此等腰三角形的周长为（    ）A．13      B．17      C．13或17      D．13或1017.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（　　）A.         B.     C.a-b      D.b-a18.如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为(    )A．    B．    C．    D．19.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（    ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或420.如图，在中，，，，则（    ）A.40°   B.50°   C.60°.   D.70°21.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC∠DAE90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BDCE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE45°．其中正确结论的个数有　  A．1             B．2个  C．3个 D．4个 22.等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　      　．23.问题：如图，在△ABD中，BA=BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC，若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC=45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．命题点4等边三角形24.已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．425.如图，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为(      )A.             B.9              C.6              D. 26.如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：①CP与QD可能相等；                         ②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；          ④四边形PCDQ周长的最小值为3＋.其中，正确结论的序号为（     ）A．①④             B．②④              C．①③                D．②③  27.如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是（　　）A．等腰三角形       B．直角三角形 C．等边三角形    D．不等边三角形28.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．命题点5直角三角形29.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）A． B． C． D．30.图10是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图10的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（    ）A.1，4，5                  B.2，3，5        C.3，4，5                  D.2，2，431.如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（    ）．A. 5 B. 6 C. 7 D. 832.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）A．50° B．40° C．30° D．20°33.如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45° ;将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（    ）A．a      B．b      C．      D．c34.在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示)；(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF,BF之间的数量关系，并证明.   35.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有        个；
    ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为，请判断的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①              ；②b与c的关系为              ，a与d的关系为              .        命题点6等腰直角三角形
36.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　）A．随着θ的增大而增大 B．随着θ的增大而减小 C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小37.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为________米．（结果保留根号）38.如图，A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（　　）A．等腰直角三角形   B．等腰三角形    C．直角三角形    D．等边三角形39.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC∠DAE90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BDCE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE45°．其中正确结论的个数有　  A．1             B．2个  C．3个 D．4个40.将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当=60°时，△DEB′的形状为         ，连接BD，可求出的值为         ；(2)当0°＜＜360°且≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值.