（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第十五讲 图形的相似（原卷版+解析版）

第十五讲 图形的相似

考点一、相似图形及比例线段

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).

【微点拨】
　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
   (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；

2.相似多边形

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

【微点拨】（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

【微点拨】（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．

4.平行线分线段成比例：

  基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.

考点二、相似三角形

1. 相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.　

【微点拨】
　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

【微点拨】　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.

2. 相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

     相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

【微点拨】：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

(3) 相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

考点三、位似

1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

【微点拨】(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
考点四、黄金分割

1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

考点五、射影定理

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）

∴；

  ；

  （射影定理）；

  （等积）．

1.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）

A．1 B．2 C．5 D．

2.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm

3.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（     ）

A．（﹣1，﹣1）       B．（）        C．（）      D．（﹣2，﹣1）

4.已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．5

5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为·······················（　　）

A． B．5 C． D．10

6.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（   ）

A．     B．C．     D．

7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（    ）

 A． B． C． D．

8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为(     )

A. (，2)            B. (2，2)            C. (，2)            D. (4，2)

9.如图，在□ABCD中，AB＝5，BC＝8，E是边BC的中点，F是□ABCD内一点，且∠BFC＝90°，连接AF并延长，交CD于点G，若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A． B． C．3 D．2

10.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，

则△ABC与△DEF的面积比为（    ）A．1:2    B．1:3    C．1:4    D．1:5    

11.如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（  ）

A.1 B. C. D.

12.如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点．且AD=AB=2，AD⊥AB，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点F．若DE=1，则△ABC的面积为                                                                                                  （  ）

A．4     B．4       C．2     D．8

13.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为    (    )

A.    B.    C.    D.

14.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)连接AM交DE干点N，则                                                        （    ）

A.     B.         C.        D.

15.如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（    ）

A．20          B．22           C．24          D．26

16.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　）

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换

17.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D等于

A.2     B.3      C.4     D.

18.如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B. 若△ADC的面积为，则△ABD的面积为（）

A. B. C. D.

19.如图，ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE:AD＝1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG＝(    )

A.2:3    B.3:2    C.9:4    D.4:9

20.如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△沿直线翻折至△的位置，与交于点.则等于（　　）

A． B．C．D．

21.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8）、B（10，2）．若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（    ）

   A．（5，1）    B．（4，3）     C．（3，4）      D．（1，5）

22.如图4，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（    ）

A.           B.            C.   　      D.

23.已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（    ）

  A．1：1                 B．1：3                 C．1：6               D．1：9

24.在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（  ）

A．（2m，2n）     B．（2m，2n）或（－2m，－2n）

C．（，）    D．（，）或（，）

25.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC，连接DE、DF并延长，分别交AB、BC于点G、H，连接GH，则的值为（     ）．

A．    B．    C．    D．1

26.如图，正方形的边长为2，为的中点，连结，过点作于点，延长交于点，过点作于点，交于点，连接.下列结论正确的是（   ）

A．                         B．

C．                  D．

27.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为（   ）

A．           B．          C．          D．

28.如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，点从原点出发向轴正方向运动，同时，点从点出发向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动，若点与点的速度之比为，则下列说法正确的是(    )

A.线段始终经过点  B.线段始终经过点

C.线段始终经过点  D.线段不可能始终经过某一定点

29.在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分， 连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲.

30.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE=           .

31.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为____________.

（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7“字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推，……摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1……则顶点F2019的坐标为____________.

32.如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，，则______，______．

33.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　　．

34.在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．

35.如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.

36. 如图，且，则的值为

                       ．

37.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于  ▲  ．

38.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4， CD⊥AB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．

39.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝________．

40.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M,N不重合）PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F.

(1) ＝____________．

(2)若,则＝____________．

41.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．

①条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）

③两个大小不同的正方形相似．（命题）

（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．

42.如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．

（1）求BC边上的高线长．

（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．

①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．

②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.

43.如图，在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，，．

（1）求证：．

（2）设，

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

44.如图，在正方形中，点E在BC边上，连接AE，的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设．

（1）若，λ＝1，求线段CF的长．

（2）连接EG，若，

①求证：点G为CD边的中点．

②求的值．

45.如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．

（1）求证：∠E═∠C；

（2）如图2，如果AE＝AB，且BD∶DE＝2∶3，求cos∠ABC的值；

（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 的值．

46.我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.

（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为       cm；

（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；

（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

               图①                                        图 ②                                                  图③

47.如图，在矩形中，是的中点，，垂足为.

（1）求证：；

（2）若，，求的长.

48.如图，在□ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．

（1）若AH＝3，EH＝1，求△ABE的面积；

（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．

49.在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点.

(1)如图1，若点是的中点，求证:；

(2) 如图2，①求证: ；

②当，且时，求的值；

③当时，求的值.

50.如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。

(1)  若△ABC 是“准互余三角形”，∠C>90°, ∠A=60°，则∠B=     ;

(2)  如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90。，AC=4, BC=5。若 AD 是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E（异于点D）， 使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。

(3)  如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD丄CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长。