（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第十八讲 矩形、菱形、正方形（原卷版+解析版）

第十八讲矩形、菱形、正方形

考点一、平行四边形

1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2．性质：（1）对边平行且相等；

        （2）对角相等；邻角互补；

        （3）对角线互相平分；

        （4）中心对称图形.

3．面积：

4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

            （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

            （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

         角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

            （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．

    边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

     对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【微点拨】平行线的性质：

（1）平行线间的距离都相等；

（2）等底等高的平行四边形面积相等.

考点二、菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；

         （2）四条边相等；

         （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

  （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

考点三、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

        （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

         （2）对角线相等的平行四边形是矩形.

         （3）有三个角是直角的四边形是矩形.

【微点拨】由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

考点四、正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质：（1）对边平行；

        （2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线

4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

命题点1矩形的相关证明与计算

1.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

2.下列命题中，假命题是(　　)

A．矩形的对角线相等  B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等

C．矩形的对角线互相平   D．矩形对角线交点到四条边的距离相等

3.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：① DN﹦BM；②EM∥FN；③AE﹦FC；④当AO﹦AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个

4.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO的长为（    ）

A.   B.    C.    D.

5.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a-b)=a2-b2．现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为                                                                      （     ）

A．             B．              C．           D．

6.如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是

A.2     B.4      C.2     D.

7.如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．

8.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．

（1）求证：四边形CEFG是菱形；

（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

9.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

命题点2菱形的相关证明与计算

10.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A '与点C重合时，点A与点B'之问的距离为                                          （    ）

  A．6        B．8       C．10       D．12

11.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（   ）

A．     B．     C． 4    D．

12.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）

A．16 B．24 C．16或24 D．48

13.如图2，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是(    )

A．∠BAF＝∠DAE    B．EC＝FC    C．AE＝AF    D．BE＝DF

14.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　）

A．5 B．20 C．24 D．32

15.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．72 B．24 C．48 D．96

16.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为(     )

A．3      B．4      C．5      D．6

17.如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，.则线段的长为:（  ）

A．         B．       C．       D．

18.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（　　）

A.       B.      C.     D.

19.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于E，连接OA，则四边形AOED的周长为（     ）

 A．9＋2   B．9＋    C．7＋2   D．8

20.如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分，过点D作交BC的延长线于点E，，则的值为（     ）．

A．             B．           C．           D．

21.（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

22.如图，在菱形ABCD中,AB=AC,点E、F、G分别在边BC、CD上,BE=CG,AF平分∠EAG,点H是线段AF上一动点(与点A不重合).

(1)求证:△AEH≌△AGH；
(2)当AB=12,BE=4时：
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分,其中三角形的面积 与四边形的面积比为1:3.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
                                            
 

命题点3正方形的相关证明与计算
23.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③

24.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：

①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1）a；

③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；

⑤当BEa时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤

25.如图，在正方形ABCD中，点E、F将对角线AC三等分，且AC=12.点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是

A. 0        B. 4           C. 6        D. 8

26.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G。连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的个数是（）

   A．1             B．2            C．3             D．4

27.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM、GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，则的值是（）

A.            B.            C.               D.

28.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（      ）

A. ①②③④            B. ①②③⑤             C. ①②③④⑤   D. ③④⑤

29.如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A,C作BK的垂线，垂足分别为M,N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM,ON.

（1）求证：AM=BN；

（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；

（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长.