（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第二十二讲 尺规作图与无刻度直尺作图（原卷版+解析版）

第二十二讲尺规作图与无刻度直尺作图

命题点1五种基本尺规作图
类型一判断作图结果

1.已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）

A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD

2.过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）

3.如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：

（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；

（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；

（3）连接BD，BC.

下列说法不正确的是（   ）

A．∠CBD=30° B．S△BDC= C．点C是△ABD的外心  D．sin2A+cos2D=1

4.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：

①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；

②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；

③连结OG．

问：OG的长是多少？

大臣给出的正确答案应是（    ）

A．r             B．（1+）r         C．（1+）r        D．r

类型二根据作图步骤进行计算、证明或结论判断

5.已知，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点P，以OP为边作，则的度数为（     ）．

A．            B．        C．或        D．或

6.如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2．

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．

7.尺规作图要求：ⅰ．过直线外一点作这条直线的垂线；ⅱ．作线段的垂直平分线；

ⅲ．过直线上一点作这条直线的垂线；ⅳ．作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是（      ）

A．①—ⅳ，②—ⅱ，③—ⅰ，④—ⅲ        B． ①—ⅳ，②—ⅲ，③—ⅱ，④—ⅰ

C．①—ⅱ，②—ⅳ，③—ⅲ，④—ⅰ        D． ①—ⅳ，②—ⅰ，③—ⅱ，④—ⅲ

8.如图,△ABC中,∠C＝90º, AC＝4, BC＝8.

(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线; (保留作图痕迹,不要求写作法)

(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.

9.如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E，若DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线AC的长为        ．

10.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3． 按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M、N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF． AE交BF于点O，连接OC，则OC=     ．

类型三依据要求直接作图

11.已知：如图，，射线上一点.

求作：等腰，使线段为等腰的底边，点在内部，且点到两边的距离相等. （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）

12.如图，点在的边上，以OB为半径作⊙O，的平分线交⊙O于点，过点作于点．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；

（2）判断⊙O与交点的个数，并说明理由．

类型四转化类作图

13.如图，点M和点N在∠AOB内部．

（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

14.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹

（1）如图1，A为圆O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出得内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：

②     如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F；

②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.

命题点2无刻度直尺作图
类型一网格中作图

15.如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．

（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG=90°；

（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP=NQ．

注：图1，图2在答题纸上．

16.在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

17.在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；

（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；

（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．

类型二根据图形性质作图
18.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.

要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；

②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.

19.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ∥l．

作法：如图：

①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延

长线于点B；

②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；

③作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵AB＝_______，CB＝_______，

∴PQ∥l（________________）（填推理的依据）．

20.在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；

（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．

21.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作∠ABC的角平分线交AD于点E；

②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．

（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．