（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第二十六讲 概率（原卷版+解析版）

第二十六讲概率

考点一、用树状图或表格求概率

1.树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

【微点拨】(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

2.列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

【微点拨】（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

3.用列举法求概率的一般步骤

（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；

（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；

（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.

考点二、用频率估计概率

1.频率与概率的定义

    频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.

概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.

2.频率与概率的关系

事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.

【微点拨】（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；

（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；

（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.

3.利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

【微点拨】用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.

1.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　）

A． B． C． D．

2.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为

A．  B．  C．  D．

3.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为

A．             B．             C．             D．

4.如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　）

A． B． C． D．

5.四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为······················（　　）

A． B． C． D．

6.下列说法正确的是（     ）

A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨

B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上

C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式

D．一组数据的众数一定只有一个

7.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（   ）

 A．      B．     C．     D．

8．在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是(    )

A．    B．    C．    D．

9.现有四张正面分别标有数字-1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m,n）在第二象限的概率为__________．

10.在一个不透明袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同。小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25上下，则袋子中红球的个数最有可能是（    ）

A.5       B.10      C.12     D.15

11.甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　）

A． B． C． D．

12.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为              （     ）

   A．              B．              C．             D．

13.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：

根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是    (    )

14.将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（     ）．

A．             B．           C．           D．无法确定

15.从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作：，）构成一个数组Mk＝{，}（其中k＝1，2，…，S，且将{，}与{，}视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi＝{，}和Mj＝{，}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有＋≠＋，则S的最大值（）

   A．10B．6C．5D．4

16.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数解的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

17.不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（    ）

A．3个球都是黑球      B．3个球都是白球

C．三个球中有黑球      D．3个球中有白球

18.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个小球,这些球除标号外都相同,从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于5的概率为

A.   B.    C.    D.

19. 从－1,2,3,－6这四个数中任取两个数,分别记作m,n,那么点(m,n) 在函数图象上的概率是

A.    B.      C.     D.

20.小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是                                （　　）

A． B． C． D．

21.已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（）

A．                   B．                 C．                D．

22.一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同. 搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（）

A.               B.              C.             D.

23.在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是（A）

A.1  B.  C.  D.

24.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上.每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________.

25.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

26.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（    ）

（A）          （B）       （C）         （D）

27.将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）

A．              B．             C．            D．

28.下列说法正确的是（    ）

A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件

B．“汽车累积行驶10 000km，从未出现故障”是不可能事件

C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨

D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定

29.小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案( 如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（              ）
 

A.          B.             C.              D.

30.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（　　）

A． B． C． D．

31.一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是________．

32.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是           ．

33.在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，

则两次摸出的球都是红球的概率是　　．

34.从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　   　．

35.表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：

由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_________．（精确到0.1）

36.一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是　　．

37.某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是　      　．

38.某校开展读书日活动，小亮和小莹升别从校图书馆的“科技”、“文学”、“ 艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是        ．

39.如图（7），随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是____________．

40.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别，若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于

41.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：

请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为　   　（精确到0.1）．

42.在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是         （结果保留小数点后一位）．

43.分别写有数字，，－1，0，π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是_______.

44.在阳光中学举行的春季运动会上,小亮和大刚报名参加100米比赛,预赛分A,B,C,D四组进行,运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组,小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是________.

45.现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．

（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；

（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

46.2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目.

第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；

第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）.

（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；

（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.

47.现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率．

（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点在直线上的概率．

48.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为．

（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果；

（2）若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？

49.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在 一个不透明的盒子中．

（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是________；

（2）搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到 的2支签上签号的和为奇数的概率．

50.生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）

（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；

（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．

51.如图16，甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动.

①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位.

（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；

（2）从图16的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；

（3）从图16的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值.