（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 模型八 利用轴对称性质求最值（原卷版+解析版）

模型八利用轴对称性质求最值

【基础模型】

【基本模型】

【模型一】两定一动

（1）问题：在直线/上找一点P，使得PA＋PB的值最小

解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时PA＋PB的最小值即为线段BA′的长度．

（2）在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小

解析：连接AB，与直线l的交点即为点P

原理：两点之间，线段最短，PA＋PB的最小值为AB

【模型二】一定两动之点

已知在∠ABC内有一点P，在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

【模型三】一定两动之点线

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

【模型四】两定两动之点点

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【强化训练】

类型1 三角形背景下的

1．如图，在等边△ABC中，AB＝2，N为AB上一点，且AN＝1，AD＝，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是（　　）

A． B．2 C．1 D．3

2．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

类型2.正方形背景下的

3．如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm，△ABE为等边三角形（点E在正方形内），若P是AC上的一个动点，PD+PE的最小值是多少（　　）

A．6cmB．8cmC．10cmD．5cm

4.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．

类型3 矩形背景下的

5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是边CD上一点，Q是以AD为直径的半圆上一点，则BP+PQ的最小值为（　　）

类型4 菱形背景下的

6．如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝60°，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（　　）

类型5在反比例函数背景下

7.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．

类型6在一次函数背景下

8.如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．

类型7在二次函数背景下

9.如图所示抛物线过点，点，且

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；

（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.

类型8在圆背景下

10.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值。