（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 模型三 一线三等角模型（原卷版+解析版）

模型三一线三等角模型

【基础模型】

【基本模型】

全等型

相似型

例题一：如图∠1=∠2=∠3，且它们的顶点在直线AB上，这就是一个一线三等角模型。

模型分析：

因为∠1=∠2=∠3，

所以：∠ACE+∠AEC=∠CFB+∠BFC=∠ACE+∠BCF

易得：∠ACE=∠CFB，∠AEC=∠FCB

进而有△AEC∽△BCF（这是相似三角形一个重要的判定，我们将在初三学习），

如果再添加一组对应边相等，如CE=CF，或者是AE=BC，

那么就有△AEC≌△BCF.

模型性质总结

1、题目中只要满足“一线三等角”的条件，必相似；

2、题目如果两个条件：“一线三等角”和对应边相等的两个条件，必全等。

模型常见背景：

“一线三等角”的背景图形一般为正方形、等边三角形、等腰三角形等等。

1. 正方形ABCD，有一个直角的顶点在边AB上

2. 等边三角形ABC，有一个60°角的顶点在边AB上

3. 等腰直角三角形ABC，有一个45°角的顶点在边AB上

4.一线三直角

① ∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE

②AD⊥AC，EC⊥AC，DC⊥EC

【典例】(1) 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，

CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE．

（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

【强化训练】

1.如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，5），若在该图象上有一点P，使得∠AOP＝45°，则点P的坐标是　   　．

2. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2＝AD•AB，

（1）求证：△ADP∽△APC；

（2）求∠APD的正弦值．

3.如图3，已知抛物线与轴交于两点，点的坐标为，它与轴交于点，点的坐标为，它对称轴是直线. (1)求此抛物线的函数关系式;(2)若抛物线上有一点，且，求点坐标.

4.如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且.

（1）当时，联结,求的余切值；

（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；

（3）联结，若为等腰三角形，求的长.

5、（1）问题：

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．

（2）探究

如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

（3）应用：

请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

6、已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．

（1）当AP=AD时，求线段PC的长；

（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．

7、如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝a，CQ＝时，P、Q两点间的距离 （用含a的代数式表示）．

8、已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP，OP，OA，若PC＝4，求边AB的长；

（2）如图2，若点P恰好是边CD的中点，求∠AOB的度数；

（3）如图3，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由．若不变，求线段EF的长度．

9、如图，在中，，，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F．

（1）求AC和BC的长；（2分）

（2）当∥时，求的长；（5分）

（3）联结，当和相似时，求的长．（7分）

10、如图，在△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，O是AB上一点，AO：OB=2：5．

（1）如图（1），求点O到AC的距离：

（2）如图（2），若P是边AC上的一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于点Q（点Q不与点B、C重合）．

①若△AOP∽△PCQ，求AP的长；

②设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式．并写出函数定义域；

③当△OPQ∽△CPQ时，求AP长．