（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型二 动点探究题（原卷版+解析版）

类型二动点探究题

1.如图，△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠FAC＝∠ABC，且∠FAC在AC下方，点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE.

(1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ.

①如图①，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

②如图②，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

(2)若∠ABC＝2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．

2.如图，等边△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．

(1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．

3.如图所示，在正方形ABCD和△EFG中，AB=EF=EG=5cm，FG=8cm，点B、C、F、G在同一条直线l上.当点C，F重合时，△EFG以1cm/s的速度沿直线l向左开始运动，t秒后正方形ABCD与△EFG重合，部分的面积为Scm2.请解答下列问题：

（1）当t=3秒时，求S的值；

（2）当t=5秒时，求S的值；

（3）当5秒＜t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值. 

4.已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.

(1)发现问题

如图①，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为__________；

(2)解决问题

如图②，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝，求DG的长．

5.【问题情境】

已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.

【深入探究】

(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；

(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；

【拓展应用】

(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点。动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动。点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN。设运动时间为x秒。

(1)  当秒时，点Q的坐标是     ；

(2)  在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式；

(3)  若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出运动过程中OT+PT的最小值。

7.问题提出

（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为        ．

问题探究

（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．

问题解决

（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中，AB=6 km，AC=3 km，∠BAC=60°，所对的圆心角为60°．新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本，要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）   

8.已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于F，点H是线段AF上一点．

(1)初步尝试

如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，过点D作DG∥BC交AC于点G，则GH与AH的数量关系是________，GF与FC的数量关系是________，的值是________；

(2)类比探究

如图②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠A＝30°，且点D，E的运动速度之比是∶1，求的值；

(3)延伸拓展

如图③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠A＝36°，记＝m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示.(直接写出结果，不必写出解答过程)

9.如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．

（1）求证：CE＝EF；

（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）求△BEF面积的最大值．

10.如图，在半面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半上随之上下移动.

(1)当∠OAD=30°时，求点C的坐标；

(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形 OMCD的面积为时，求OA的长；

(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值.

11.如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值．

12.已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．

（1）直接写出动点M的运动速度为　 　cm/s，BC的长度为　 　cm；

（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）

①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；

②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．

 图①                   图②                       图③

13.如图1.已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE=DF，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求DE的值.