【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 导数小题（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编  （文科）

导数小题（精解精析）

一、选择题

1．(2021年全国高考乙卷文科)设，若为函数的极大值点，则 (　　)

AB．C．D．

【答案】D

解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．

依题意，为函数的极大值点，

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故．

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故．

综上所述，成立．

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．

2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知曲线在点处的切线方程为，则 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】的导数为，由在点处的切线方程为，

可得，解得，

又切点为，可得，即，故选：D．

3．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)曲线在点处的切线方程为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，，即点在曲线上．

则在点处的切线方程为，即．故选C．

【点评】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．

4．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解法1：由基本函数，，的奇偶性，结合为奇函数，易知．

则，求导数，得，，由点斜式得，即．

解法2：为奇函数， ，

即，得．

则，求导数，得，，由点斜式得，即．

5．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)若函数在单调递增，则a的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C【解析一】对恒成立，

故，即恒成立，

即对恒成立

构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，

故只需保证，解得．故选C．

【解析二】用特殊值法：取，，

但，不具备在单调递增，排除A，B，D．故选C．

6．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解析：∵函数在上单调递增，∴恒成立。∴恒成立，∵，∴。∴选D。

考点：（1）导数与函数的单调性；（2）函数最值

难度：B

备注：常考题，易错题

7．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)函数在处导数存在，若：；：是的极值点，则 (　　)

Ａ．是的充分必要条件Ｂ．是的充分条件，但不是的必要条件 (　　)

Ｃ．是的必要条件，但不是的充分条件Ｄ．既不是的充分条件，也不是的必要条件

【答案】C

解析:∵,而，∴选Ｃ．

考点：(1)导数与函数的极值点；（2）充分、必要条件的判断。

难度：B

备注：常考题．

8．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

解析：由已知，，令，得或，

当时，；

且，有小于零的零点，不符合题意。

当时，

要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选C

解析：由已知，=有唯一的正零点，等价于

有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记

，由，，，

，要使有唯一的正零根，只需，选C

考点1．函数零点概念;2．导数的应用;3．函数与方程（不等式）思想。

难度：Ｃ

备注：高考频点。

9．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数，下列结论中错误的是 (　　)

A．，

B．函数的图象是中心对称图形

C．若是的极小值点，则在区间单调递减

D．若是的极值点，则

【答案】C

解析：若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为，所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，D正确。选C．

考点：（1）2．3．4函数的对称性；（2）3．2．2导数与函数单调性；（3）3．2．3导数与函数极值；（4）1．2．3全（特）称命题真假判断

难度：C

备注：高频考点

10．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数，若，则的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解析：　

函数的图象如图．

①当时，显然成立．

②当时，只需在时， 成立．

比较对数函数与一次函数的增长速度．

显然不存在使在上恒成立．

③当时，只需在时，成立．

即成立，．

综上所述：．故选D．

考点：（1）数形结合思想；（2）分类讨论思想；

难度：C

备注：易错题

二、填空题

11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________．

【答案】

【解析】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即．

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．

12．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)设函数．若，则a=_________．

【答案】1

【解析】由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题．

13．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)曲线在点处的切线方程为　　．

【答案】

【解析】，结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，切线方程为.

14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

解析：，当时，，曲线在点处的切线方程为．故答案为．

15．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)曲线在处的切线方程为________________．

【答案】

【解析】设,则,所以,所以在处的切线方程为

,即;

【考点】导数的几何意义

【点评】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键点在于求出切点及斜率,其求法为:设是曲线上的一点,则以为切点的切线方程为:

．若曲线在点处的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为

16．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_____．

【答案】  【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．

17．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则        ．

【答案】8

分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 ．

考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题．

18．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数的图像在点的处的切线过点，则        ．

【答案】1

分析：∵，∴，即切线斜率，

又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1．

考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；

19．(2012年高考数学课标卷文科)曲线在点(1, 1)处的切线方程为________

【答案】

解析：函数的导数为，所以在的切线斜率为

，所以切线方程为，即．

考点：（1）3．1．2导数的运算；(2)3．1．3导数的几何意义；（3）3．2．1导数与函数切线方程

难度：B