【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 导数大题（精解精析）

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2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）
导数大题（精解精析）
1．(2021年高考全国甲卷文科)设函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）．
解析：（1）函数定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为．
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化．
2．(2021年全国高考乙卷文科)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2)．
解析：(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
即曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）．
【解析】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：．
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数f(x)=2lnx+1．
(1)若f(x)≤2x+c，求c的取值范围；
(2)设a>0时，讨论函数g(x)=单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【解析】（1）函数的定义域为：
，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
（2）且
因此，设，
则有，
当时，，所以，单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以，单调递增，因此有，即，所以单调递减，
所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间．
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，求取值范围．
【答案】（1）详见解析；(2)．
【解析】（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增．
（2）由（1）知，有三个零点，则，且
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．
【答案】：（1），
令，得或．
若，则当，时，；当时，．
故在，上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增；
若，则当，，时，；当，时，．
故在，上单调递增，在，上单调递减；
（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在，上单调递增，
在区间，的最小值为，最大值为或（1）．
于是，，．
．
当时，可知单调递减，的取值范围是；
当时，单调递增，的取值范围是，．
综上，的取值范围，．
7．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数.证明：
(1)存在唯一的极值点；
(2)有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】解：（1）的定义域为..
因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，
，故存在唯一，使得.
又当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，存在唯一的极值点.
（2）由（1）知，又，
所以在内存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
8．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数，为的导数．
(1)证明：在区间存在唯一零点；
(2)若，时，，求的取值范围．
【答案】（1）设，则.当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.由（1）知，在只有一个零点，
设为，且当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故.因此，a的取值范围是.
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)(12分)已知函数．
(1)求由线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，．
【答案】【官方解析】（1），．
因此曲线在处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以．
因此．
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)(12分)已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)证明：只有一个零点．
【答案】解析：（1）当时，，．
令，解得或．
当时，；
当时，．
故在，单调递增，在单调递减．
（2）由于，所以等价于．
设，则，仅当时，所以在单调递增．故至多有一个零点，从而至多有一个零点．
又，，故有一个零点．
综上，只有一个零点．
11．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)(12分)已知函数．
(1)设是的极值点，求，并求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【答案】解：（1）的定义域为，．由题设知，，所以．
从而，． 当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
（2）当时，．设，则．
当时，；当时，． 所以是的最小值点．
故当时，． 因此，当时，．
12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知函数．
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明．
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．
（2）证明略，详见解析．
解析：（1）函数的定义域为
而
所以当时，恒成立，所以在单调递增
当时，由，由
所以在单调递增，在单调递减．
（2）由（1）知，当时，

令，，则
当时，，当时，
∴在单调递增，在单调递减
∴
∴，即
∴．
【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式
【点评】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1)构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．
13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)(12 分)设函数．
(1)讨论的单调性;
(2)当时,,求 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)在 和单调递减,
在单调递增(Ⅱ)
【试题分析:】(1)先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号确定单调区间
(2)对分类讨论,当a≥1时,,满足条件;当时,取,当0 ,
【试题解析】(1)解法一:
,．
令得:．
当和时,,递减;
当时,,递增．
(1) 易知,过．
要使时,,即在的下方．
而在处的切线方程为:,所以:．
令．
当时,．
当时,,
令,,递增;
则．
所以,递增,则．
故当,时,恒成立．
【考点】利用导数求函数单调区间,利用导数研究不等式恒成立
【点评】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题．
14．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数．
(1)讨论的单调性;
(2)若,求的取值范围．
【答案】(1)当时,在单调递增;当时,在单调递减,在单调递增;当时,在单调递减,在单调递增;
(2)
【解析】(1)
①当时,,令,即,解得,
令,即,解得,
所以当,在上递增,在上递减．
②当时,, 在上递增．
③当时,,令,
令,
所以当时,在上递增,在上递减．
综上所述:当,在上递减,在上递增;
当时, 在上递增;
当时,在上递减,在上递增．
(2)由(1)得当时,,
,得．当时,满足条件．
当时,
,
,又因为,所以．
综上所述,的取值范围是．
【考点】导数应用
【点评】本题主要考查导数的两大方面的应用:(一)函数单调性的讨论:运用导数知识来讨论函数单调性时,首先考虑函数的定义域,再求出,由的正负,得出函数的单调区间;(二)函数的最值(极值)的求法;由确认的单调区间,结合极值点的定义及自变量的取值范围,得出函数的极值或最值．
15．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)(本小题满分12分)设函数．
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)证明当时，；
(Ⅲ)设，证明当时，．
【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．
【解析】（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为，
所以当时，，
故当时，，，即．
（Ⅲ）由题设，设，则．
令，解得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
由（Ⅱ）知，，故．又，故当时，，
所以当时，．
16．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)(本小题满分12分)已知函数．
(I)当时，求曲线在处的切线方程；
(Ⅱ)若当时，，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【官方解答】（I）的定义域为．当时，
，
所以曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
令，
则，
（i）当，时， ，
故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得，
由和得，
故当时，，在单调递减，因此．
综上，的取值范围是
【民间解法】
（I）解：当时，，，
，，切点，斜率为
故：曲线在处的切线方程为 ．
(II)解：，，只要：
由得：
理由如下：
令， 构造函数
由，知在上是单调递增函数．
，
，
故：．
验证：当时，
令，，
由得：
当时有：
在上是单调递减函数，，这与矛盾，
综上：的取值范围是．
17．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分12分)已知函数．
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点，求的取值范围．
【答案】 (I)见解析 (II)
【官方解答】(I)
(i)设，则当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
(ii)设，由得或
①若，则，所以在单调递增．
②若，则,故当时，；
当时，
所以在单调递增，在单调递减．
③若，则
故当时，
当时，
所以在单调递增，在单调递减．
(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增．
又，取b满足b<0且，
则，所以有两个零点．
(ii)设a=0，则所以有一个零点．
(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增．
又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增．又当时<0，故不存在两个零点．
综上，的取值范围为．
18．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)(本小题满分12分)已知．
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（Ⅱ）．
分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此．令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是．
解析：（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此．令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是．
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想．
19．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分12分)设函数．
(I)讨论的导函数的零点的个数；
(II)证明：当时．
【答案】（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点．（Ⅱ）见解析
分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式．
解析：（Ⅰ）的定义域为，．
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增．又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;
当时，．
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为．
由于，所以．
故当时，．
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力．
20．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数=，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)证明：当时，曲线与直线只有一个交点．
【答案】（Ⅰ），．
曲线在点处的切线方程为．
由题设得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
设．
由题设知．
当时，，单调递增，，，
所以在有唯一实根．
当时，令，则，
，在单调递减，在单调递增，所以
，
所以在没有实根．
综上，在R上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．
考点：（1）导数与函数切线方程，（2）导数与函数单调性，（3）导数与函数零点、方程的根，（4）导数的应用，（5）分类讨论的思想
难度：D
备注：较难题．
21．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设函数，曲线处的切线斜率为0
(1)求b;
(2)若存在使得，求a的取值范围。
【答案】解析：（I），
由题设知，解得． ……4分
（II）的定义域为，由（1）知，，

（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，即，
解得．
（ii）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增．
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意．
（iii）若，则．
综上，a的取值范围是．
考点：（1）导数的几何意义；(2)利用导数研究函数的单调性极值与最值;(3)考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力．
难度：B
备注：高考频点。
22．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数。
(Ⅰ)求的极小值和极大值；
(Ⅱ)当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。
【答案】解　(1)．
令，得．
列表：

∴，．
(2)设切点，当时，
切线斜率为，
切线方程为．
∴切线在x轴上的截距为．
令．
∴，
当时，在上单调递增．
∴；
当时，，
当且仅当时取等号．
综上所述，截距h的取值范围是．
考点：（1）3．2．2导数与函数单调性；（2）3．2．3导数与函数极值；（3）3．2．5导数与不等式；（4）3．2．1导数与函数切线方程
难度：D
备注：高频考点、类型题
23．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数，曲线在点处切线方程为。
(1)求的值；
(2)讨论的单调性，并求的极大值。
【答案】（1）；（2）祥见解析
解析：（1）由已知得，故，故，
从而。
(2)由（1）知，
令得，或。从而当时，；
当时，。故在单调递增，在单调递减。
当时，函数取得极大值，极大值为。
考点：（1）求导法则；（2）曲线在某点处的切线方程；（3）函数单调性；（4）极值
难度：C
备注：易错题；高频考点
24．(2012年高考数学课标卷文科)设函数．
(Ⅰ)求的单调区间
(Ⅱ)若，为整数，且当时，，求的最大值．
【答案】解析:(Ⅰ)的定义域为，．
若,则,所以的增区间为,无减区间；
若,则当时，; 当时，,所以在减区间为,增区间为．
(Ⅱ)若，k为整数，且当时，，求k的最大值
由于，所以．
故当时，等价于，
令，则．
由(Ⅰ)知，函数在上单调递增，而，，所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一零点．设此零点为α，则．
当时，；当时，．所以在上的最小值为．又由，可得，所以．
由于等价于，故整数k的最大值为2．
考点：（1）3．1．2导数的运算；(2)3．2．2导数与函数单调性；（3）3．2．4导数与函数最值；（4）3．2．6导数与函数零点、方程的根；（5）13．1．4化归与转化思想
难度：D
备注：高频考点