【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 立体几何小题（精解精析）

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2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）
立体几何小题（精解精析）
一、选择题
1．(2021年高考全国甲卷文科)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 (　　)
(　　)
AB．C．D．
【答案】D
解析：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：D
2．(2021年全国高考乙卷文科)在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以．
故选：D
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知为球球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积．
故选：A

【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 (　　)
(　　)
AB．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）．
故选：C．

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题．
5．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 (　　)
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
设球的半径为，则，解得：．
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离．
故选：C．
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 (　　)
(　　)
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
【答案】C
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得：

该几何体的表面积是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．
7．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD．M是线段ED的中点，则 (　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【答案】B
【解析】点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，平面，平面，
是中边上的中线，是中边上的中线，
直线，是相交直线，
设，则，，
，，，故选：B．

8．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)设α，β为两个平面，则的充要条件是 (　　)
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【点评】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：如图，为等边三角形，点为，，，外接球的球心，为的重心，由，得，取的中点，∴，∴，
∴球心到面的距离为，∴三棱锥体积最大值．故选B．

10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 (　　)
(　　)

【答案】A
解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选A．
11．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：不妨设正方体的边长为2，设中点为，则，则为所求角，因为为直角三角形，，则．故选C．

12．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 (　　)
A．8 B． C． D．
【答案】C
解析：如图，因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以，在中，，，
所以，所以该长方体的体积为．

13．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 (　　)
A． B． C．3 D．2

【答案】B
解析：当路径为线段MN时，长度最短，故最短路径的长度为．

14．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为的正方形，则该圆柱的表面积为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：设底面半径为，高为，则根据题意可得，解得，所以该圆柱的表面积为．

15．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)在正方体中，为棱的中点，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：如下图

根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜率在平面内的射影，A选项中，若，那么，显然不成立；B选项中，若，那么，显然不成立；C选项中，若，那么，成立，反过来时，也能推出，所以C选项成立；若，则，显然不成立，故选C．
法二：如下图以为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为

则易得，，，，
所以
，
，所以，故选C．
【考点】线线位置关系
【点评】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
16．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】 解法一：如图，画出圆柱的轴截面

，所以，那么圆柱的体积是，故选B．
解法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为
根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的体积为，故选B．
【考点】圆柱体积
【点评】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
17．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体有一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 (　　)
(　　)
A．90 B．63 C．42 D．36
【答案】 B
【解析】由题意得:该几何体为几何体由以平面将一圆柱截去一部分后所得,
补形求得体积:．故选．
【考点】三视图及圆柱体积的计算公式．
【点评】将该几何体倒放过来与原几何体补成一个圆柱,由圆柱的体积计算公式求得体积．
18．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)如图,在下列四个正方体中,,为正方体的两个顶点,,,为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面不平行的是 (　　)

【答案】 A
【解析】本题考察线面平行的判定,只需证明直线与平面的一条直线平行即可,用排除法．在B中,易证,排除B;在C中,易证,排除B;在D中,易证,排除D;故选A;
【考点】空间位置关系判断
【点评】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力,属容易题．证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面．
19．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球．若则的最大值是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须使球的半径最大．由题意知当球与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径为，当球与直三棱柱的三个侧面相切时，球的半径为，因此直三棱柱里面放置的球体积最大时球的半径只能为，所以球的最大体积为，故选B．
20．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 (　　)
(　　)
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意知该几何体为斜四棱柱，
所以表面积为，故选B．
21．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 (　　)．
A． B． C． D．

【答案】C【解析】 设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．
由图得，，由勾股定理得：
，故选C．
22．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 (　　)．
A． B． C． D．
【答案】A【解析】正方体的外接球直径应为其体对角线．因为正方体体积为8，所以棱长为2，故体对角线为，所以外接球半径为，其表面积为．
23．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A．平面,平面，平面，则所成角的正弦值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A

【解析一】如上图延长到使得，连接和
则平面平面
平面,平面，平面，

故的所成角的大小与所成角的大小相等
又
所以的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．
故选A．

【解析二】如上图延长到使得，延长到使得连接．
则所以平面平面
平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A所以平面即为平面
又平面，平面，即为，即为
故的所成角的大小与所成角的大小相等
又
所以的所成角的大小与所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．
故选A．

【解析三】如上图所示：
∵，∴若设平面平面，则
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴，故，同理可得：
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．故选A．
24．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是 (　　)
A． B． C． D．

【答案】A【解析】由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A．

25．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
分析：设球的半径为R,则△AOB面积为,三棱锥 体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时 ,所以球O的表面积．故选C．
考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力．
26．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 (　　)
(　　)

【答案】D
解析：

试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D．
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算．
27．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则 (　　)
(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B．
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式
28．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有 (　　)
(　　)
A．斛 B．斛 C．斛 D．斛
【答案】B
分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1．62≈22，故选B．
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
29．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为 (　　)
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
【答案】C
解析：如图，


= = =．∴选C．
考点：（１）几何体的体积；（２）割补法、等体积法求三棱锥的体积。
难度：B
备注：常考题．
30．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 (　　)
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． (　　)

【答案】C
解析：∵原来毛坯的体积．切削掉部分的体积．∴削掉部分的体积与原体积之比等于．∴选C．
考点：（１）几何体的三视图；（2）几何体的体积计算
难度：B
备注：常考题．
31．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体
是 (　　)
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱

【答案】B
解析：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱． 选B
考点：1．空间几何体的三视图和直观图的识图能力．2．空间想象能力．
难度: B
备注: 高考频点
32．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为 (　　)

【答案】A
解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图，所以选A．

考点：（1）9．1．3空间几何体的直观图、投影图（2）9．6．1空间直角坐标系的运算
难度：B
备注：概念题、易错题
33．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 (　　)
(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：将三视图还原成直观图为：

上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．
．故选A．
考点：（1）三视图；（2）几何体的体积公式；（3）空间想像能力
难度：B
备注：易错题、高频考点
34．(2012年高考数学课标卷文科)平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：球半径，所以球的体积为，选B．
考点：（1）9．1．4几何体的截面问题；(2)9．2．2几何体的体积
难度：B
备注：高频考点
35．(2012年高考数学课标卷文科)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 (　　)
(　　)
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
解析:由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是等腰直角三角形，高为，所以几何体的体积为,选B．
考点：（1）9．1．2几何体的三视图；(2)9．2．3由三视图求几何体的表面积、体积
难度：B
备注：高频考点
二、填空题
36．(2021年高考全国甲卷文科)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________．
【答案】
解析：∵
∴
∴
∴．
故答案为：．

37．(2021年全国高考乙卷文科)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可)．

【答案】③④
解析：选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥．
故答案为：③④．
【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系．
38．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①②③④
【答案】①③④
【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题．
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题．
39．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，

由于，故，
设内切圆半径为，则：

，
解得：，其体积：．
故答案为：．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
40．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，cm，cm．3D打印所用的原料密度为g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．
【答案】118.8
【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，
，，，，分别为所在棱的中点，，，
该模型体积为：
，
打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，
制作该模型所需原料的质量为：．故答案为：118.8．
41．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．(本题第一空2分，第二空3分．)

【答案】26，
【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
解法一：如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，，即该半正多面体棱长为．

解法二：设棱长为，如图做出该几何体的截面，，又为等腰直角三角形，则，解得，则棱长为.
【点评】本题考察数学文化，立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．
42．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为　　．
【答案】
【解析】如图，过点做平面的垂线段，垂足为，则的长度即为所求，再做，由线面的垂直判定及性质定理可得出，在中，由，可得出，同理在中可得出，结合，可得出，，.

43．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
【答案】
解析：圆锥的顶点为，母线互相垂直，△的面积为8，可得：，解得,与圆锥底面所成角为．可得圆锥的底面半径为：，圆锥的高为，则该圆锥的体积为：．故答案为：．
44．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)长方体的长宽高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为_______
【答案】
【解析】由题知:长方体的体对角线为其外接球的直径,所以:所以球的表面积为:,
所以．
【考点】长方体的外接球及球体的表面积公式．
【点评】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解．
45．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是球的直径．若平面,
,,三棱锥的体积为9,则球的表面积为_______．
【答案】
【解析】取的中点,连接,因为,所以,
因为平面平面,所以平面,设,
,所以,
所以球的表面积为．

【考点】三棱锥外接球
【点评】本题考查了球与几何体的问题,是高考中的重点问题,要有一定的空间想象能力,这样才能找准关系,得到结果,一般外接球需要求球心和半径,首先应确定球心的位置,借助于外接球的性质,球心到各顶点距离相等,这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心,过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等,然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线(这两个多边形需有公共点),这样两条直线的交点,就是其外接球的球心,再根据半径,顶点到底面中心的距离,球心到底面中心的距离,构成勾股定理求解,有时也可利用补体法得到半径,例:三条侧棱两两垂直的三棱锥,可以补成长方体,它们是同一个外接球．
46．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为________。
【答案】
解析：设正四棱锥的高为，则，解得高。则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为．
考点：（1）9．2．1几何体的表面积；（2）9．2．2几何体的体积
难度：B
备注：高频考点
47．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______。
【答案】
解析：如图所示，是截面圆的直径．
　

，即，
设球的半径为，由，
，，
由得：，
，