专题04 二次函数的性质与图象-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

二次函数的性质与图象

一．选择题（共7小题）

1．（2017•浙江）若函数在区间，上的最大值是，最小值是，则　　

A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 

C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关

【解析】解：函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，

①当或，即，或时，

函数在区间，上单调，

此时（1），

故的值与有关，与无关

②当，即时，

函数在区间，上递减，在，上递增，

且（1），

此时，

故的值与有关，与无关

③当，即时，

函数在区间，上递减，在，上递增，

且（1），

此时（1），

故的值与有关，与无关

综上可得：的值与有关，与无关

故选：．

2．（2016•新课标Ⅱ）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则　　

A．0 B． C． D．

【解析】解：函数满足，

故函数的图象关于直线对称，

函数的图象也关于直线对称，

故函数与 图象的交点也关于直线对称，

故，

故选：．

3．（2017•上海）函数的单调递增区间是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数的对称轴是，开口向上，

故在，递增，

故选：．

4．（2019秋•赤峰期末）若函数的定义域为，，值域为，，则的取值范围是　　

A．， B． C． D．

【解析】解：，

，又，

故由二次函数图象可知：

的值最小为；

最大为3．

的取值范围是：，，

故选：．

5．（2019秋•眉山期末）若函数在区间，上是减函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数的图象是方向朝上，以直线为对称轴的抛物线

又函数在区间，上是减函数，

故

解得

故选：．

6．（2019•西湖区校级模拟）已知函数，，，若有最小值，则的最大值为　　

A．1 B．0 C． D．2

【解析】解：函数

，，

函数在，上单调增

当时，有最小值

当时，有最大值（1）

故选：．

7．（2019秋•庐江县期末）函数在闭区间，上有最大值3，最小值为2，的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：作出函数的图象，如图所示，

当时，最小，最小值是2，当时，，

函数在闭区间，上有最大值3，最小值2，

则实数的取值范围是，．

故选：．

二．填空题（共13小题）

8．（2014•江苏）已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围为　，　．

【解析】解：二次函数的图象开口向上，

对于任意，，都有成立，，

即，解得，

故答案为：，．

9．（2012•江苏）已知函数的值域为，，若关于的不等式的解集为，则实数的值为　9　．

【解析】解：函数的值域为，，

只有一个根，即△，则

不等式的解集为，

即为解集为，

则的两个根，分别为，

两根之差为

根据韦达定理可知：

解得

故答案为：9

10．（2019•成都模拟）设二次函数，，为常数）的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为　　．

【解析】解：，

，

对任意，不等式恒成立，

恒成立，

即恒成立，

故△，且，

即，

，

，

，

故，

故答案为：

11．（2019•上海）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为　　．

【解析】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，

，

当且仅当时，取最小值，

故答案为：．

12．（2019秋•会宁县校级期中）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是　　．

【解析】解：曲线，

，

根据图象可得出：直线与曲线有四个交点，则

13．（2019•西湖区校级模拟）设函数，若存在实数，使得对任意不为零的实数，均有成立，则的取值范围是　　．

【解析】解：成立等价于，

当时，左边，右边，不成立，

当时，等价于，

设，则，

则，

，，或，，，，

，，或，，，，

，，

，在上有解，

，在上的值域为，

设，则在，上单调递减，

，

解得，

故答案为：

14．（2019秋•陆川县校级期末）函数在，上是单调函数，则实数的取值范围是　，，　．

【解析】解：的函数图象开口向上，对称轴为直线，

在上单调递减，在，上单调递增，

在，上是单调函数，

或，

解得或．

故答案为：，，．

15．（2019春•安庆期末）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的范围是　　．

【解析】解：一元二次不等式对一切实数都成立，

，且满足，

即，

解得，

故答案为：．

16．（2019•和平区校级一模）若函数的定义域为，，值域为，，则的取值范围是　，　．

【解析】解：，

，又，

故由二次函数图象可知：

的值最小为；

最大为3．

的取值范围是：．

故答案，

17．（2019春•东莞市期末）如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是　　

【解析】解：函数的对称轴为：，

函数在区间上是减函数，

则函数对称轴满足即可，

解得：；

故答案为：实数的取值范围是：；

18．（2019•姜堰区校级模拟）已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是　或．　．

【解析】解：由于，．则当时，，

又函数的最小值与函数的最小值相等，

则函数必须要能够取到最小值，即，

得到或，

所以的取值范围为或．

故答案为：或．

19．（2019秋•合肥期末）若函数在上为增函数，实数的取值范围是　，　．

【解析】解：函数在上为增函数，，解得，

故实数的取值范围是，，

故答案为，．

20．（2019春•福州校级期末）已知函数的值域为，，若关于的不等式的解集为，则实数的值为　16　．

【解析】解：函数的值域为，，

函数的最小值为0，可得△，即

又关于的不等式可化成，即，

不等式的解集为，也就是

方程的两根分别为，，

，可得，

即，解之即可得到

故答案为：16

三．解答题（共8小题）

21．（2019•江苏三模）已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）当时，不等式即

，

，

．

不等式的解集为

（2）不等式的解集为，

的一元二次不等式的解集为，

△

实数的取值范围是，

22．（2019•鹿城区校级模拟）二次函数的最小值为1，且（2）．

（1）求的解析式；

（2）若在区间，上不单调，求的取值范围．

【解析】解：（1）为二次函数且（2），

对称轴为．

又最小值为1，

可设，

，

，

，即．

（2）由条件知的对称轴穿过区间

，

．

23．（2019秋•张掖期末）二次函数满足且．

（1）求的解析式；

（2）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由题意，设，

则．

从而，，

又，

即，

又，

．

（2）由（1）及，

令，，，

则当，时，为减函数，

当时，（1），

从而要使不等式恒成立，则．

故得实数的取值范围是．

24．（2015•安徽）设函数．

（Ⅰ）讨论函数在，内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；

（Ⅱ）记，求函数在，上的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足条件时的最大值．

【解析】解：（Ⅰ）设，在，递增，

即有，，

①当时，，递减，即递减；

当时，，递增，即递增．

即有或时，不存在极值．

②当时，，，递减；

，，递增．

有极小值；

（Ⅱ）时，

当时，取，等号成立；

当时，取，等号成立．

由此可知，在，上的最大值为．

（Ⅲ）即为，此时，，从而

取，，则，并且．

由此可知，满足条件的最大值为1．

25．（2019秋•鄂尔多斯期末）已知二次函数的最小值为1，且（2）．

（1）求的解析式；

（2）若在区间，上不单调，求实数的取值范围；

（3）在区间，上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．

【解析】解：（1）由已知是二次函数，且（2）

对称轴为

又最小值为1

设

又

（2）要使在区间，上不单调，则

（3）由已知在，上恒成立

化简得

设

则在区间，上单调递减

在区间，上的最小值为（1）

26．（2019•白银区校级模拟）二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）在区间，上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围．

【解析】解：（1）设，由得，故．

因为，所以．

即，所以，，

所以

（2）由题意得在，上恒成立．即在，上恒成立．

设，其图象的对称轴为直线，所以在，上递减．

故只需最小值（1），即，

解得．

27．（2019秋•红岗区校级月考）已知函数，且．

（1）求不等式的解集；

（2）求在，上的最值．

【解析】解：（1），

，

由可得，，

整理可得，，

解可得，

不等式的解集为；

（2）的开口向下，对称轴，

在，上单调递增，在，上单调递减，

当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，

故函数有最大值，最小值．

28．（2019秋•辽阳县期末）已知二次函数在区间，上有最大值4，最小值0．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设．若在，时恒成立，求的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）

函数的图象的对称轴方程为

依题意得，

即，

解得

，

（Ⅱ）

，

在，时恒成立，

即在，时恒成立

在，时恒成立

只需

令，

由，得

设

函数的图象的对称轴方程为

当时，取得最大值33．

（8）

的取值范围为，．