专题09 函数的单调性及单调区间-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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函数的单调性及单调区间一．选择题（共18小题）1．（2019秋•福建期末）已知函数且在上单调递减，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：由题意，分段函数是在上单调递减，可得对数的底数需满足，根据二次函数开口向上，在单调递减，可得，即，解得：．且故而得：，解得：．的取值范围是，，故选：．2．（2019•安庆三模）若函数，在区间，和，上均为增函数，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：，，为实数集上的偶函数，由在区间，和，上均为增函数，知在，上为增函数，在，上为减函数，函数的对称轴，得，．故选：．3．（2019秋•项城市校级月考）下列函数中，在区间上是递增函数的是　　A． B． C． D．【解析】解：．时，，该函数在上是递增函数，；所以该选项正确．是一次函数，在上是递减函数，所以该选项错误；．是反比例函数，在上是递减函数，所以该选项错误；．是二次函数，在上是递减函数，所以该选项错误．故选：．4．（2020春•天津期末）下列函数中，在上为增函数的是　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符合题意；故选：．5．（2019秋•黔南州期末）函数得单调递增区间是　　A． B．， C．， D．【解析】解：指数函数是上的单调减函数，下面只要求函数的单调减区间，也就是要考虑函数：的单调减区间，由得：，且抛物线的对称轴是，函数的单调递增区间是．故选：．6．（2019秋•沧州期末）若函数在上是单调递增函数，则取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，函数，分2种情况讨论：①，当时，，在上为增函数，符合题意；②，当时，函数为二次函数，其对称轴为，若函数在上是单调递增函数，则有，解可得；综合可得：的取值范围为，；故选：．7．（2020春•郑州期末）函数的单调减区间是　　A． B． C． D．【解析】解：函数的导数为，令，解得．即有单调减区间为．故选：．8．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数，则函数的单调增区间是　　A． B． C．，， D．和．【解析】解：根据题意，函数，其导数，易得在区间和上，，即函数在区间和．为增函数，故选：．9．（2020秋•思明区校级月考）函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，若在上单调递增，则有，解可得；故选：．10．（2019秋•钟祥市校级期中）函数的单调递减区间为　　A． B． C． D．【解析】解：当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数，即函数的单调递减区间为，故选：．11．（2019秋•小店区校级月考）当时，，则的单调递减区间是　　A． B． C． D．【解析】解：根据对勾函数单调性，在上单调递减，故选：．12．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，，其值域为，，不符合题意；对于，，其值域为，不符合题意；对于，，值域为且在区间上单调递增，符合题意；对于，，在区间上为减函数，不符合题意；故选：．13．（2019春•城北区校级期末）函数的单调增区间是　　A． B．， C．， D．，【解析】解：函数有意义，则：，解得：或，二次函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，幂函数 在定义域内单调递增，结合复合函数的单调性可得函数 的单调增区间是，．故选：．14．（2019春•沙坪坝区校级期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是　　A． B． C． D．【解析】解：．在上不是单调函数，不满足条件．．，函数为偶函数，不满足条件．．，则函数是奇函数，当时，是增函数，满足条件．．的定义域为，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：．15．（2019春•武邑县校级期中）函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，函数，其导数，若在区间上单调递增，则在上恒成立，则有在上恒成立，必有，故选：．16．（2019秋•赣州期中）已知且，函数，满足对任意实数，，都有成立，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．，【解析】解：对任意实数，，都有成立，在定义域上是增函数，函数在，上是增函数，在上也是增函数，且，，解可得，．故选：．17．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在上单调递增的是　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，，在上单调递增，符合题意；对于，，为反比例函数，在上单调递减，不符合题意；对于，，为指数函数，在上单调递减，不符合题意；对于，，为二次函数，在上单调递减，不符合题意；故选：．18．（2019秋•沙坪坝区校级期中）函数的单调递减区间为　　A．， B．， C．， D．【解析】解：由题意可得函数的定义域为，，结合二次函数的性质可知，函数在，单调递减，在，单调递增故选：．二．填空题（共10小题）19．（2019春•江阴市校级期中）函数的增区间是　　．【解析】解：函数的定义域为化简，得或图象是开口向上的抛物线，区间在对称轴的右侧，区间上是增函数函数是上的增函数，函数的增区间是故答案为：20．（2019秋•思明区校级期中）函数的单调减区间为　，　．【解析】解：当时，，当时，，这样就得到一个分段函数．的对称轴为：，开口向上，时是增函数；，开口向下，对称轴为，则时函数是增函数，时函数是减函数．即有函数的单调减区间是，．故答案为：，．21．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数在区间，上不单调，则实数的取值范围是　　．【解析】解：根据题意，函数，当时，，在区间，上是减函数，不符合题意；当时，，若在区间，上不单调，必有，解可得：，即的取值范围为；故答案为：．22．（2019秋•香坊区校级月考）函数的值域是　，　，单调递增区间是　　．【解析】解：根据题意，函数，设，必有，解可得，必有，则，则有，即函数的值域为，；又由，必在区间，上为增函数，则，上为减函数，则函数的递增区间为，；故答案为：，；，．23．（2019春•宿迁期末）函数的单调减区间为　　．【解析】解：；时，单调递增，时，在上单调递增，在上单调递减；原函数的单调减区间为．故答案为：．24．（2019秋•秦州区校级月考）已知函数，则的单调递增区间是　　．【解析】解：；在上单调递增；即的单调递增区间为．故答案为：．25．（2019秋•东海县期中）函数的单调减区间是　和　．【解析】解：将函数的图象向左平移一个单位得到，的单调递减区间为和，的单调递减区间为和，故答案为：和．26．（2019秋•浦东新区校级月考）函数的单调减区间是　，　．【解析】解：设，由设，解得或，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，为增函数，根据复合函数的单调性之间的关系，可知函数的单调递减区间，，故答案为：，27．（2019秋•天宁区校级期末）若是函数，的一条对称轴，则函数在区间上的单调递减区间为　，　．【解析】解：根据题意，若是函数，则有，即，又由则，则，又由，解可得：，其的递减区间为，；当时，其一个递减区间为，，则在区间上，其递减区间为，；故答案为：，．28．函数的单调增区间为　，　．【解析】解：因为，其图象如图所示，结合图象可知，函数的单调递增区间为，．故答案为：，．三．解答题（共6小题）29．（2019秋•巴宜区校级期中）已知函数，（Ⅰ）证明在，上是增函数；（Ⅱ）求在，上的最大值及最小值．【解析】证明：在，上任取，，且（2分）（1分）（1分），，，即故在，上是增函数（2分）解：由知：在，上是增函数当时，有最小值2；当时，有最大值（2分）30．（2019秋•苏州期中）已知函数．（1）求的定义域、值域及单调区间；（2）判断并证明函数在区间上的单调性．【解析】解：（1）由，得，所以的定义域为，，，由，得的值域为，，，的单调递减区间为和（2）在上是减函数，证明如下：，，，，在上是减函数．方法二：任设，，，，，，，，，，函数在区间上是递减函数．31．（2019秋•哈尔滨校级期中）已知．（1）画出这个函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值和最小值．【解析】解：（1），作出其图象如下： （2）由的图象可得，单调递减区间为：，，，，，；递增区间为：，，，．（3）由的图象可得，当时，取得最大值为4，当时，取得最小值．32．（2019秋•秦淮区校级期中）（1）求函数的值域；（2）求函数的单调区间．【解析】解：（1），则，所以，因为抛物线开口向上，对称轴为直线，所以当时，取得最小值为，无最大值，所以函数的值域为．（2）设．令，解得，所以函数的定义域为，，，对称轴方程为，在，上为单调增函数，而在上为单调减函数，因为为单调减函数，函数的单调增区间为，单调减区间为，．33．（2019•广州学业考试）已知，函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）求函数的零点个数．【解析】解：（1）当时，，当时，，对称轴为，所以，的单调递增区间为；当时，，对称轴为，所以，的单调递增区间为．（2）令，即，，求函数的零点个数，即求与的交点个数；当时，，对称轴为，当时，，对称轴为，①当时，，故由图象可得，与只存在一个交点．②当时，，且，故由图象可得，当时，，与只存在两个交点；当时，，与只存在一个交点；当时，，与只存在三个交点．③当时，，故由图象可得，与只存在一个交点．综上所述：当时，存在三个零点；当时，存在两个零点；当时，存在一个零点．34．（2019•丰台区二模）已知函数在处有极值．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间，上有且仅有一个零点，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意知：，得，，令，得或，令，得，的单调递增区间是和，单调递减区间是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，为函数极大值，为极小值．函数在区间，上有且仅有一个零点，或或或或，即，，即的取值范围是．日期：2020/12/14 17:07:45；用户：陈宏天；邮箱：hngsgz053@xyh.com；学号：25355901