第15讲 数列通项及求和-2022年新高考艺术生40天突破数学90分练习题

第15讲 数列通项及求和

一．填空题（共1小题）

1．（2020秋•南山区校级期末）数列满足，，则数列的通项公式为　　．

【解析】解：，

当时，，

两式作差得，

即，，

即，

即，

则，，，

则，

当时，，不满足，

故，

故答案为：

二．解答题（共39小题）

2．（2020秋•新余期末）已知递增等比数列，，，另一数列其前项和．

（1）求、通项公式；

（2）设其前项和为，求．

【解析】解：（1）设公比为的递增等比数列，，

根据等比数列的性质，由于，

所以，解得，，进一步求出，所以，

由于数列其前项和．当时，．

当时，（符合通项公式），故，

（2）由（1）得：，

所以①，所以②，

①②得，

整理得：，

所以．

3．（2020秋•宁县校级期末）在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和．

【解析】解：（1）设公差为的等差数列中，首项为，

由于：，，

所以：，

解得：．

所以：，

利用，

解得：．

所以：，

（2）由于：，

所以：

所以：，

故：

，

，

．

4．（2020秋•松山区校级期末）已知数列满足，．等比数列的公比为3，且．

（1）求数列和的通项公式；

（2）记数列，求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列满足，，

是以为首项，以为公差的等差数列，

，

，

等比数列的公比为3，且，

，

，

，

（2），

．

5．（2020春•九龙坡区校级月考）在等比数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求．

【解析】解：（1）根据题意，因为是等比数列，设公比为，首项为

则有，，

解得，

时，，

时，

所以或

（2）令，是首项为，公比为的等比数列，

则

6．（2020春•十堰期末）已知数列为等比数列，，且，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1）根据题意，设等比数列的公比为，

若，且，，

则，，

则其公比，

则，

故

（2）根据题意，由（1）的结论，则，

则

．

7．（2020•厦门模拟）已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，其前项和为，证明：．

【解析】解：（1）解：设等差数列的公差为，依题意得，解得：，

；

（2）证明：由（1）得：，

，

．

8．（2020•河南模拟）已知各项都为正数的等比数列，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求．

【解析】解：（1）设各项都为正数的等比数列的公比为，则．

，，，解得：，，所以，；

（2）由（1）知，，

当时，；当时，，

所以．

9．（2020春•闵行区校级期中）已知为的前项和，是等比数列且各项均为正数，且，，．

（1）求和的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【解析】解：（1），当时，有，又当时，有也适合，．

设等比数列的公比为，由题意得：，解得，

故；

（2）由（1）得，

①，

又②，

由①②得：

．

10．（2020春•三台县期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，得，

解之得：，

，

即；

（Ⅱ），，

，

．

11．（2020•新疆模拟）已知数列的前项和为，且满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ），令，解得，，又，两式相减，得，

是以为首项，为公比的等比数列，；

（Ⅱ），，

．

12．（2020•兰州模拟）在等差数列中，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，为数列的前项和，若，求的值．

【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差是，由，得：解得，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所以，

由解得．

13．（2020春•雁塔区校级月考）已知正项等比数列满足，，数列满足，．

（1）求、的通项公式；

（2）记，求数列的前项和为．

【解析】解：（1）设正项等比数列的公比为，

由，得：，解得，

，

，；

（2）由（1）可知，

①，

②，

①②得：，

．

14．（2019秋•费县期末）已知首项为1的等比数列的前3项和为3．

（1）求的通项公式；

（2）著，，求数列的前项和．

【解析】解：（1）设公比为，则，

解得或，

所以或．

（2）依题意可得，

所以，

所以．

15．（2020秋•鼎城区校级期中）已知数列中，，，设．

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）证明：当时，，

，所以是以为1首项，为1公差的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，

所以．

16．（2020•大武口区校级一模）公差不为0的等差数列，为，的等比中项，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）差不为0的等差数列，为，的等比中项，且．

则：，

解得，

整理得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

所以，

整理得．

17．（2020春•宣城期末）已知数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）当时，求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列的前项和为，且，①．

所以：②，

①②得：，

，

又，

故．

（2）由于，

所以：，

由于：，

所以：，

．

18．（2020•重庆模拟）设数列的前项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列的前项和为，①．

当时，

解得：，

当时，．②

①②得：，

所以：（常数），

故：数列是以为首项，为公比的等比数列．

则：（首项符合通项），

所以：．

（2）由于：，

则：．

所以：，

则：，

故：．

19．（2020秋•会昌县月考）设数列的前项和为，已知，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列的前项和为，已知，，

当时，由，

可得，，

，．

（2）设，．

可得：

，．

20．（2020秋•大武口区校级期中）已知数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列的前项和为，且，，

时，，

解得．

时，，解得，对于上式也成立．

．

（2）数列满足．

数列的前项和，

，

，

．

21．（2020秋•秦都区校级月考）已知数列满足，求数列的通项公式和前项和．

【解析】解：由，得

，，

两式作差得：，

．

又，不适合上式，

；

．

22．（2019•广州一模）已知是等差数列，且，．

（1）求数列的通项公式

（2）若，，是等比数列的前3项，求的值及数列的前项和．

【解析】解：（1）数列是等差数列，设公差为，且，．

则：，

解得：

所以：．

（2）若，，是等比数列的前3项，

则：，

整理得：，

解得：；

所以：等比数列的公比为．

．

则，

故：，

，

．

23．（2019春•滁州期中）已知等差数列满足：，．

（1）求数列其通项公式；

（2）设数列，求数列的前项和．

【解析】解：（1）由题设首项为，公差为，得，

解得．

所以通项公式．

（2）由题（1）得，

（1）

（2）

由（1）（2）得，

得．

24．（2019春•临川区校级月考）递增的等差数列的前项和为．若与是方程的两个实数根．

（1）求数列的通项公式；

（2）当为多少时，取最小值，并求其最小值；

（3）求．

【解析】（1）因为与是方程的两根，

所以，又，

解得，或，，

又因为该等差数列递增，

所以，，

则公差，，

所以；

（2）由，

即，解得，又，

所以当或12时，

取最小值，最小值为；

（3）由（2）知，当时，当时，

①当时，

；

②当时，

25．（2019秋•宛城区校级月考）已知递增等比数列，，，

（1）求的通项公式

（2）设，且前项和为，求

【解析】解：（1）设数列的公比为，由于等比数列单调递增，

，，

所以，

解得，，

所以．

故．

（2）由于，

所以，

则①，

②，

①②得．

故

26．（2020春•山东月考）已知数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）当时，

当时由，，

两式相减得，

即，

且上式对于时也成立，

所以数列的通项公式．

（Ⅱ）因为，

．

所以，

，

，

．

27．（2020•湖南一模）已知等比数列的前项和为，且对一切正整数恒成立．

（1）求和数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：等比数列的前项和为，且对一切正整数恒成立，

当时，，，

解得：，

当时，，

两式相减得：，

即：（常数），

故：数列是以，公比为2的等比数列．

所以：．

（2）由于：，

所以：，

则：，

，

．

28．（2020•梅河口市校级模拟）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列的前项和为，

时，，

时，．时上式也成立．

．

又．

，

解得．

（2）数列满足．

数列的前项和．

，

，

解得．

29．（2020•定远县模拟）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．

【解析】解：（1）数列满足，①

当时，有，变形可得，

当时，有，②，

①②可得：，变形可得：，

则数列是以为首项，公比为2的等比数列，故，

（2）根据题意，，

当时，，

数列为等差数列，且首项，公差；

则，

则当时，取得最小值，且其最小值为．

30．（2019•新疆模拟）已知为数列的前项和，满足，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】解：（1）由于为数列的前项和，满足，①当时，，②

由①②得：，即，

由于，．所以．

当时，解得，所以数列是以2为首项，1位公差的等差数列．

所以．

（2）由于，所以．

设，故①，所以②，

①②得：，整理得，

所以．

31．（2018秋•会宁县期末）记为数列的前项和，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求满足等式的正整数的值．

【解析】解：（1）为数列的前项和，且满足①．

当时，

解得：．

当时，②．

②①得：，

故：，

则：（常数），

所以：（首项符合通项），

故：．

（2）由于，

所以：，

则：，

所以：，

整理得：，

解得：．

32．（2019•汕尾模拟）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列的前项和为，且①．

当时，

解得．

当时，②，

①②得：，

故：数列是以．

所以：．

由于首项符合通项，

故：．

（2）由于，

所以：，

故①，

②，

①②得：，

整理得：．

33．（2020春•浙江期中）已知数列满足：．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式．

【解析】解：（Ⅰ）数列满足：．

；；

；

①②得：；

所以，，

因为满足上式，

所以．

（Ⅱ），；

累加得；

因为满足上式，

所以．

34．（2020秋•连云港月考）已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，则在数列中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）由题意，得，

当时，，

两式相减，得，

即．

当时，，也满足上式，

所以数列的通项公式．

（2），

法一：，，显然不适合；，适合，

即，，构成公差为的等差数列；

，适合，

即，，构成公差为的等差数列；

当时，假设，，成等差数列，

则，

即，

而当时，，

所以不是数列中的项，

所以当时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．

综上，，和，适合条件．

法二：，显然不适合；

当时，设，，成等差数列，则，

即，解得．

当时，，则，，构成公差为的等差数列；

当时，，则，，构成公差为的等差数列；

当时，，则，所以不是数列中的项，

所以当时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．

综上，，和，适合条件．

35．（2020秋•湖北月考）设数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）不等式，，求的最小值．

【解析】解：（1）由，当得，即

当，，于是，

即，即，

所以，．

（2）所以，

由得，，．

故，即，

故整数的最小值为7．

36．（2020秋•全国月考）已知数列的前项和，在等差数列中，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求数列中项的最大值．

【解析】解：（Ⅰ）因为，所以．

当时，，

两式相减，得，即，

所以是等比数列，公比，

当时，，即，

所以．

（Ⅱ）设的公差为，则

解之得，所以．

所以．

设，

则．

因为当时，，

当时，，

当时，，

所以当或13时最大，即最大，

最大值为．

37．（2020秋•上月考）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，是否存在正项数列，，满足，且当时，有 ______？

请在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，若数列存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）若选①；

则，，，，

所以．

（2）若选②；

则①，

当时，②，

①②得：，

当时，，

所以．

（3）若选③，

所以，，，

所以所有的式子相乘得：．

由于时，（符合通项），

所以

故答案为：（1）选①时，（2）选②时，，（3）选③时，；

38．（2020秋•全国月考）已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列．

（1）证明是等比数列；

（2）求使得成立的最小正整数的值．

【解析】证明：（1）数列满足，且，当时，解得，

由于数列是公差为的等差数列．

所以，

故．

所以（常数），

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）可知，

所以．

数列单调递增，

由于，，

所以的最小值为12．

39．（2020秋•洛阳期中）已知等比数列的前项和．

（1）求的值，并求出数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

【解析】解：（1），

当时，，

当时，，

数列是等比数列，，，

；

（2），

，

．

40．（2019秋•浦东新区校级期中）设数列的前项和为，其满足：．

（1）试求的值；

（2）证明：数列为等比数列；

（3）求数列的通项公式及前项和公式．

【解析】解：（1）当时，，解得．

（2）由于．①，

则②，

②①得：，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．

（3）由（2）得：，

所以．

故．