第14讲 等差数列、等比数列综合运用-2022年新高考艺术生40天突破数学90分练习题

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第14讲 等差数列、等比数列综合运用一．选择题（共14小题） 1．（2020秋•浙江期末）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则　　A． B． C． D．【解析】解：等差数列的通项公式是关于的一次函数，，故等差数列的图象是一条直线上孤立的点，等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，故等比数列的图象是指数函数上孤立的点，如图所示，当时，如下图所示，当时，如下图所示，由图可知，当，时，所以，，，．故选：．2．（2020秋•金凤区校级期末）已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则　　A． B．0 C．9 D．无法确定【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，由是与的等比中项，得，即，可得，即，，．故选：．3．（2020秋•郑州期末）已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则等于　　A．24 B．16 C．8 D．4【解析】解：等比数列中，，，，，等差数列中，．故选：．4．（2020秋•郑州期末）在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于　　A．4 B．8 C．16 D．24【解析】解：因为在等比数列中，有，所以，解得或（舍，所以，因为数列是等差数列，所以．故选：．5．（2020秋•天河区期末）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于　　A．1 B．2 C．4 D．8【解析】解：各项不为0的等差数列满足，由，可得，即有舍去），数列是公比为的等比数列，且，则．故选：．6．（2020秋•南岗区校级期末）已知等差数列的前项和为，若，，若，，成等比数列，则　　A．11 B．13 C．15 D．17【解析】解：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，所以，若，，成等比数列，所以，则，解得．故选：．7．（2020•达州模拟）在公差不为零的等差数列中，，是，的等比中项，则　　A．12 B．13 C．14 D．15【解析】解：设数列的公差为，，由已知是，的等比中项，得：，可得，可得，所以．故选：．8．（2020•西宁模拟）已知等比数列的各项都为正数，则，，成等差数列，则的值是　　A． B． C． D．【解析】解：设等比数列的公比为，且，，，成等差数列，，则，化简得，，解得，则，，故选：．9．（2020•全国模拟）公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则　　A．36 B．42 C．48 D．60【解析】解：公差不为零的等差数列的前项和为，是与的等比中项，，，解得，，．故选：．10．（2020•黑龙江二模）等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的公比等于　　A．1 B．2 C． D．【解析】解：，，成等差数列，可得，即为，即有，化为，解得舍去），故选：．11．（2020春•郫都区期末）已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则等于　　A．2 B．4 C．8 D．16【解析】解：等比数列中，，可得，解得，且，，数列是等差数列，则．故选：．12．（2020•梅州二模）已知在各项均不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于　　A．2 B．4 C．8 D．16【解析】解：由等差数列的性质：得：，或，，，故选：．13．（2020春•遂宁期末）已知数列1，，，4成等差数列，1，，，，4成等比数列，则的值是　　A． B． C．或 D．【解析】解：，，，4成等差数列，，即，，又1，，，，4成等比数列，，解得，又，，则．故选：．14．（2020•广东学业考试）公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的公差等于　　A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：设数列的公差为则①、、成等比数列②①②联立求得故选：．二．填空题（共4小题）15．（2020春•贵阳期末）在等比数列中，若，且是，的等差中项，则数列的前5项和　62　【解析】解：等比数列的公比设为，若，且是，的等差中项，可得，即，解得舍去），则数列的前5项和．故答案为：62．16．（2019秋•西城区校级月考）设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则　10　【解析】解：设等差数列的首项为，公差为．依题意有，即，由，解得，所以．故答案为：10．17．（2019秋•云南月考）在公差为3的等差数列中，，，成等比数列，则数列的前项和　　【解析】解：由题意得，即，解得，所以，所以．故答案为：．18．（2019•南通模拟）已知等差数列满足，且，，成等比数列，则的所有值为　3或4　．【解析】解：因为，，成等比数列，所以，，即，化简，得：，所以，或，解得：或，所以，或，所以，的所有值为3，4．故答案为：3或4．三．解答题（共20小题）19．（2020春•太原期末）已知等差数列中，，．等比数列满足，．（1）求数列通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由，，可得，，解得，，则，；（2）设等比数列的公比为，由，，解得，数列的前项和．20．（2019秋•临渭区期末）已知等差数列的前项和为，且，．（1）求；（2）若，，成等比数列，求正整数的值．【解析】解：（1）设公差为，则，，解得，，，所以：．（2）因为．又，，成等比数列，所以，化简得：解得：或，又，．21．（2020秋•峨山县校级期中）设是等差数列，，且，，成等比数列．（1）求的通项公式（2）求数列的前项和【解析】解：（1）因为，且，，成等比数列，所以，解得．所以．（2）因为，，所以．22．（2020春•兴庆区校级期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）由，，则设等差数列的公差为，则，所以．所以设等比数列的公比为，由题，即，所以．所以；（2），所以的前项和为．23．（2020春•汕头期末）已知是等比数列的前项和，、、成等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）设等比数列的公比为，、、成等差数列，，即，又，，解得，；（2）由（1）得，，设，①，②①②得，，．24．（2020春•东湖区校级月考）已知等比数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，分别是等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及其前项和．【解析】解：（1），，，其中为公比，，数列是以3为首项、2为公比的等比数列，；（2）由（1）可知，，，即公差，首项，数列是以为首项、18为公差等差数列，，数列的前项和为．25．（2019春•攀枝花期末）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ）由题意：化简得，因为数列的公差不为零，，，故数列的通项公式为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故数列的前项和．26．（2019秋•鄂州期中）已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若是的前项和，求数列的前项和．【解析】解：（1）由条件知，又，则有，又，故，故．（2）由（1）可得，即．27．（2019•海淀区一模）已知等差数列的公差，且，的前项和为．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求的值．【解析】（共13分）解：因为，所以，所以所以 又，因为，，是等比数列，所以所以，因为，所以28．（2020秋•鼓楼区校级期中）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．（1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】证明：（1）数列满足，，整理得：（常数），所以数列是1为首项为公比的等比数列．所以：，整理得．设首项为，公差为的等差数列的前项和为，，，所以，解得，．故．（2）由（1）得：，所以①，②，①②得：，，整理得．29．（2018秋•济南期末）已知数列的首项．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．（3）是否存在互不相等的正整数，，使，，成等差数列，且使，，成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：，，即，又由可得，，数列是首项为，公比为的等比数列；（2）解：由（1）可得：，，，，又，两式相减得：，整理得：；（3）解：假设存在，由题设可得：，且，由（2）可得：，，，整理得：，又，当且仅当时等号成立，再根据，，互不相等，，矛盾，假设不成立，即不存在．30．（2019秋•天河区校级期中）已知数列满足，，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．【解析】（1）证明：，，，即，又由可得：，数列是首项为1，公差为2的等差数列，且，；（2）解：由（1）可得：，．31．（2020•内江模拟）已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和．【解析】（1）证明：，．可得，可得，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）解：数列是以1为首项，2为公比的等比数列；，，数列的前项和：．32．（2017春•友谊县校级期中）已知数列满足，，，．（1）证明数列为等差数列；（2）求数列的通项公式．【解析】（1）证明：，且有，所以有，则，即，且，所以是首项为1，公差为的等差数列．（2）由（1）知，即，所以．33．（2020•榆林一模）已知数列，满足，，．（1）证明：数列，为等比数列；（2）记为数列的前项和，证明：．【解析】解：（1）数列，满足，，．所以整理得两式相加，即（常数），数列为等比数列；同理两式相减，即（常数）故数列为等比数列．证明：（2）由（1）得：，，整理得，所以34．（2017秋•城关区校级期中）已知数列满足，． 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）证明：．【解析】（Ⅰ）证明：，，，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，．（Ⅱ）解：，，①，②①②，得：．（Ⅲ）证明：，，2，3，，，，，2，3，，，．35．（2014•荆门模拟）已知数列满足：且．（1）若数列满足：，试证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）数列是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．【解析】解：（1）．数列是等比数列，首项为，公比为．（2）由，得．由（1）得，，．（3）由，得，，又由（2）知，，数列单调递增，与均为递减数列，数列为单调递减数列，当时，最大，即数列中存在最大项且为该数列中的首项，其值为．36．（2019春•安徽期中）已知数列满足：．（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足：，若对一切，都有成立，求实数的最小值．【解析】解：（1）因为，，所以，所以是首项为3，公差为 3的等差数列，所以，．（2）由数列满足：，可得，设，由得，即的最小值为．37．（2020秋•重庆期末）已知数列满足：，且对任意的，都有1，，成等差数列．（1）证明数列等比数列；（2）已知数列前和为，条件①：，条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前项和．【解析】解：（1）证明：由条件可知，即，，且，是以为首项，为公比的等比数列，，则；（2）选择条件①：，，，两式相减可得，，，化简得；选择条件②：，，，两式相减可得，，化简得．38．（2020秋•10月份月考）已知数列的首项为0，．（1）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）已知数列的前项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．【解析】证明：（1）数列的首项为0，，所以，整理得：（常数），所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以．解：（2）数列的前项和为，且数列满足，所以①，②，①②得：，由于不等式对一切恒成立，所以，当为偶数时，，解得．当为奇数时，，解得．综上所述：，即．