第22讲 平行垂直问题-2022年新高考艺术生40天突破数学90分

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第22讲 平行垂直问题一．解答题（共30小题） 1．（2020秋•金凤区校级期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：BC∥AD；（2）求证：CE∥平面PAB．2．（2020秋•济宁期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1⊥底面ABC，且侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC＝60°，E是BB1的中点，F是AC1与A1C的交点．（1）求证：EF∥底面ABC；（2）求BC与平面A1AB所成角θ的正弦值．3．（2020•南通模拟）如图所示，已知在五棱锥P﹣ABCDE底面ABCDE为凸五边形，AE＝DC＝2，AB＝BC＝3，DE＝1，∠EAB＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝120°，F为AE上的点，且AF，平面PAE与底面ABCDE垂直．求证：（1）BC∥平面PAE；（2）PA⊥FC．4．（2020春•白云区校级期末）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝AA1＝2，N、M分别是AB、C1D的中点．（1）求证：NM∥平面A1ADD1；（2）求证：NM⊥平面A1B1M．5．（2018春•武邑县校级期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；6．（2018秋•城关区校级月考）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点，求证：MN∥平面OCD．7．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE．8．如图所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱BB1⊥面ABC，D是棱BC的中点，点M在棱BB1上，且CM⊥AC1．（1）求证：A1B∥平面AC1D；（2）求证：CM⊥C1D．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝2．若点E在线段PB上，且PE＝2EB，求证：EC∥平面PAD．10．如图．在四棱锥P﹣ABCD中．底面ABCD是平行四边形，点M为棱AB上一点AM＝2MB．点N为棱PC上一点，（1）若PN＝2NC，求证：MN∥平面PAD；（2）若MN∥平面PAD，求证：PN＝2NC．11．已知在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为平行四边形，E是PC的中点，O为BD的中点．求证：OE∥平面ADP．12．如图，四棱锥A﹣DBCE中，底面DBCE为平行四边形，F为AE的中点，求证：AB∥平面DCF．13．如图所示，已知正四棱锥S﹣ABCD，E、F分别是侧棱SA、SC的中点．求证：（1）EF∥平面ABCD；（2）EF⊥平面SBD．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD＝13，AB＝12，BC＝10，ADBC，点E、F分别是棱PB、边CD的中点．（1）求证：AB⊥面PAD；（2）求证：EF∥面PAD．15．如图，AB是圆的直径，C是圆上的点，且PA⊥BC．（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若D是PA中点，O、M分别是AB、AC中点，点E在线段OM上，求证：DE∥平面PBC．16．如图，四边形ABCD是正方形，SA＝SB＝SC＝SD，P是棱SC上的点，M，N分别是棱SB，SD上的点，SP：PC＝1：2，SN：ND＝2：1，SM：MB＝2：1求证：SA∥平面PMN．17．如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，侧棱PA⊥平面ABCD，E是PA的中点．（1）求证：PC∥平面BED；（2）求证：PC⊥BD．18．（2020秋•隆德县期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2CD＝2，PD＝2，PC，CD∥AB，PD⊥BC，E，F分别为棱AB，PB的中点．（1）证明：PD⊥平面ABCD．（2）证明：平面PAD∥平面CEF．19．（2020春•密云区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PBC；（Ⅱ）证明：AC⊥PB．20．（2019秋•临渭区期末）如图所示的多面体中，AC⊥BC，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥平面ABC，点F，G，H分别为BD，EC，BE的中点，求证：（1）BC⊥平面ACD；（2）平面HGF∥平面ABC．21．（2019秋•苏州期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若DE⊥AB，求证：AB⊥B1C．22．（2019秋•舟山期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形且CD＝2，PD＝AD＝1，E、F分别是CD、PB的中点．（1）求证：直线EF∥平面PAD；（2）求证：直线EF⊥平面PAB．23．（2020•临川区校级一模）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点．求证：（1）MN∥平面A1B1C1；（2）平面MBC1⊥平面BB1C1C．24．（2020春•河南期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．25．（2020•通州区一模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．26．（2020•广东学业考试）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．27．（2020秋•徐州月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，点E为侧棱PB的中点．求证：（1）PD∥平面ACE；（2）平面PAC⊥平面PBD．28．（2020秋•宁县期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD，E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PD⊥平面PBC．29．（2020秋•佛山期末）如图，四面体ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°，AD⊥平面BCD．M为AD中点，P为BM中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若AD＝DC，N是CD的中点，求证：NQ⊥平面ABC．30．（2020秋•西城区期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，D，E，F分别是BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面ADE．