（全国通用）高考物理二轮热点题型归纳与变式演练 专题11 万有引力作用下的匀速圆周运动（解析+原卷）学案

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳
\l "_Tc17993" 【题型一】 有中心天体的对比问题
\l "_Tc26924" 【题型二】 有中心天体的估算问题
\l "_Tc12217" 【题型三】 有中心天体的追及问题
\l "_Tc30563" 【题型四】 双星、三星等
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练2
【题型一】 有中心天体的对比问题
【典例分析】两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动。图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a，横轴表示某位置到行星中心距离r平方的倒数，a­eq \f(1,r2)关系如图所示，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0。则( )
A．S1的质量比S2的大
B．P1的质量比P2的大
C．P1的第一宇宙速度比P2的小
D．P1的平均密度比P2的大
解析：选B 万有引力充当向心力，故有Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得a＝GMeq \f(1,r2)，故图像的斜率k＝GM，因为G是恒量，M表示行星的质量，所以斜率越大，行星的质量越大，故P1的质量比P2的大，由于计算过程中，卫星的质量可以约去，所以无法判断卫星质量关系，A错误，B正确；因为两个卫星是近地卫星，所以其运行轨道半径可认为等于行星半径，根据第一宇宙速度公式v＝eq \r(gR)可得v＝eq \r(a0R)，从题图中可以看出，当两者加速度都为a0时，P2半径要比P1小，故P1的第一宇宙速度比P2的大，C错误；星球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(a0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3a0,4πGR)，故星球的半径越大，密度越小，所以P1的平均密度比P2的小，D错误。
【提分秘籍】
1、行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2、开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3、开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
4、“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝ \r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝ \r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))eq \a\vs4\al(越高,越慢)
【变式演练】
1．如图所示，A、B是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，A、B两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，不计A、B两卫星之间的引力，则A、B两卫星的周期之比为( )
A．k3 B．k2
C．k D．keq \f(2,3)
解析：选A 设卫星绕地球做圆周运动的半径为r，周期为T，则在t时间内与地心连线扫过的面积为S＝eq \f(t,T)πr2，即eq \f(SA,SB)＝eq \f(rA2TB,rB2TA)＝k，根据开普勒第三定律可知eq \f(rA3,TA2)＝eq \f(rB3,TB2)，联立解得eq \f(TA,TB)＝k3，A正确。
2．[多选]如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则( )
A．T卫＜T月 B．T卫＞T月
C．T卫＜T地 D．T卫＝T地
解析：选AC 因r月＞r同＞r卫，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知，T月＞T同＞T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月＞T地＞T卫，选项A、C正确。
3．据《科技日报》报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括4颗海洋水色卫星，2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星， 以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测。设海陆雷达卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是海洋动力环境卫星的n倍，则在相同的时间内( )
A．海陆雷达卫星到地球球心的连线扫过的面积是海洋动力环境卫星的n倍
B．海陆雷达卫星和海洋动力环境卫星到地球球心的连线扫过的面积相等
C．海陆雷达卫星到地球球心的连线扫过的面积是海洋动力环境卫星的eq \r(n)倍
D．海陆雷达卫星到地球球心的连线扫过的面积是海洋动力环境卫星的 eq \r(\f(1,n))倍
解析：选C 根据Geq \f(Mm,r2)＝mrω2，解得ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，扫过的面积为S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)r2θ＝eq \f(1,2)r2ωt，因为轨道半径之比为n，则角速度之比为eq \r(\f(1,n3))，所以相同时间内扫过的面积之比为eq \r(n)。故C正确，A、B、D错误。
【题型二】 有中心天体的估算问题
【典例分析】利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
解析：选D 由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有Geq \f(Mm0,R2)＝m0g，可得M＝eq \f(gR2,G)，故A项不选；由万有引力提供人造卫星的向心力，有Geq \f(Mm1,R2)＝m1eq \f(v2,R)，v＝eq \f(2πR,T)，联立得M＝eq \f(v3T,2πG)，故B项不选；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有Geq \f(Mm2,r2)＝m2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T′)))2r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT′2)，故C项不选；同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，可求出太阳的质量，但不可求出地球的质量，故选D。
【提分秘籍】
1、在计算中心天体密度时，要注意区分星球半径R和卫星轨道半径r
2、测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT 2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【变式演练】
1．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝eq \f(k,T)
C．ρ＝kT2 D．ρ＝eq \f(k,T2)
解析：选D 火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，又M＝eq \f(4,3)πR3·ρ，可得ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(k,T2)，故只有D正确。
2．[多选]通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
解析：选AD 根据线速度和角速度可以求出半径r＝eq \f(v,ω)，根据万有引力提供向心力，则有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，整理可得M＝eq \f(v3,Gω)，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则由eq \f(GMm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，整理得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，故选项D正确。
3．我国航天事业取得了突飞猛进地发展，航天技术位于世界前列。在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送“操作指令”到接收到卫星“已操作”的信息需要的时间为2t(设卫星接收到“操作指令”后立即操作，并立即发送“已操作”的信息到控制中心)，测得该卫星运行周期为T，地球半径为R，电磁波的传播速度为c，由此可以求出地球的质量为( )
A.eq \f(π28R＋ct3,2GT2) B.eq \f(4π2R＋ct3,GT2)
C.eq \f(π22R＋ct3,2GT2) D.eq \f(π24R＋ct3,GT2)
解析：选B 由x＝vt可得：
卫星与地球的距离为x＝eq \f(1,2)c×2t＝ct
卫星的轨道半径为r＝R＋x＝R＋ct；
由万有引力公式可得：Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
解得：M＝eq \f(4π2R＋ct3,GT2)
故B正确。
【题型三】 有中心天体的追及问题
【典例分析】(多选)如图，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则周期之比为1∶8，A对；设图示位置夹角为θ【提分秘籍】
1、对于周期性运动的问题，注意要把问题考虑全面，思维要严谨．
2．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)．
3．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)．
【变式演练】
1．两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动．地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面的高度等于3R.则：
(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，且a卫星运行周期已知为Ta，则a经多长时间两卫星相距最远？
答案 (1)eq \f(1,2\r(2)) (2)eq \f(4＋\r(2),7)(2n－1)Ta，n＝1,2,3，…
解析 (1)由牛顿第二定律和万有引力定律，得Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，则T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，得Ta＝2πeq \r(\f(2R3,GM))，Tb＝2πeq \r(\f(4R3,GM))，所以eq \f(Ta,Tb)＝eq \f(1,2\r(2)).
(2)设经过时间t两卫星相距最远，则eq \f(t,Ta)－eq \f(t,Tb)＝eq \f(1,2)(2n－1)，n＝1,2,3，…
所以t＝eq \f(4＋\r(2),7)(2n－1)Ta，n＝1,2,3，….
2．当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
答案 B
解析 地球公转周期T1＝1年，由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知，土星公转周期T2＝eq \r(125)T1≈11.18年．设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq \f(2π,T1)，ω2＝eq \f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A错误，B正确；设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，解得a＝eq \f(GM,r2)，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误．
【题型四】 双星、三星等
【典例分析】2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是( )
A．黑洞A的向心力大于B的向心力
B．黑洞A的线速度大于B的线速度
C．黑洞A的质量大于B的质量
D．两黑洞之间的距离越大，A的周期越小
[解析] 双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A对B的作用力与B对A的作用力大小相等，方向相反，则黑洞A的向心力等于B的向心力，故A错误；双星具有相同的角速度，由题图可知A的半径比较大，根据v＝ωr可知，黑洞A的线速度大于B的线速度，故B正确；在匀速转动时的向心力大小关系为：mA ω2rA＝mB ω2rB，由于A的半径比较大，所以A的质量小，故C错误；由mAω2rA＝mBω2rB，rA＋rB＝L，得rA＝eq \f(mBL,mA＋mB)，L为二者之间的距离，双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以得：Geq \f(mAmB,L2)＝mAeq \f(4π2,T2)·eq \f(mBL,mA＋mB)，即：T2＝eq \f(4π2L3,GmA＋mB)，则两黑洞之间的距离越小，A的周期越小，故D错误。
[答案] B
【提分秘籍】在天体运动中彼此相距较近，在相互间的万有引力作用下，围绕同一点做匀速圆周运动的星体系统称为宇宙多星模型。要充分利用宇宙多星模型中各星体运行的周期、角速度都相等这一特点，解题模板如下。
【变式演练】
1．[多选]如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析：选CD 在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于eq \f(T0,4)，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。
2．[多选]宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 eq \r(\f(Gm,L))
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π eq \r(\f(L3,5Gm))
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2 eq \r(\f(L3,3Gm))
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 eq \f(\r(3)Gm,L2)
[解析] 在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,2L2)＝meq \f(v2,L)，解得v＝eq \f(1,2)eq \r(\f(5Gm,L))，A项错误；由周期T＝eq \f(2πr,v)知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π eq \r(\f(L3,5Gm))，B项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Geq \f(m2,L2)cs 30°＝mω2·eq \f(L,2cs 30°)，解得ω＝ eq \r(\f(3Gm,L3))，C项错误；由2Geq \f(m2,L2)cs 30°＝ma得a＝eq \f(\r(3)Gm,L2)，D项正确。
[答案] BD
3． 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为eq \f(a,2)
C．四颗星表面的重力加速度均为eq \f(Gm,R2)
D．四颗星的周期均为2πa eq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))
[解析] 四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为eq \f(\r(2),2)a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得Geq \f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq \f(Gm,R2)，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得eq \f(Gm2,\r(2)a2)＋eq \f(\r(2)Gm2,a2)＝meq \f(4π2,T2)eq \f(\r(2)a,2)，解得T＝2πa eq \r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正确。
[答案] B
1．（2021年河北卷）“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日、火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：本题考查万有引力定律。由，得，因此，解得，D项正确。
2、（2021年湖南卷）（多选）13.2021年4月29日，中国空间站“天和”核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射“问天”实验舱和“梦天”实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是( )
A.核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍
B.核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C.核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
D.后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
答案：AC
解析：本题考查万有引力定律、圆周运动和第一宇宙速度。根据万有引力定律，在地面上时核心舱受地球的万有引力，进入轨道后核心舱受地球的万有引力，A项正确；由，得，可知r越大，v越小，第一宇宙速度7.9 km/s为绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，B项错误；核心舱的轨道半径远小于同步卫星的轨道半径，由，得，r越小，T越小，核心舱的周期小于同步卫星的周期24 h，C项正确；加挂试验舱后，由万有引力提供向心力可知，与核心舱和空间站的质量无关，轨道半径不会变小，D项错误。
3.如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于( )
A．sin3θ B.eq \f(1,sin3θ)
C.eq \r(sin3θ) D. eq \r(\f(1,sin3θ))
解析：选D 设M、N的轨道半径分别为RM、RN。据题，卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时，MN连线与卫星N的运行轨道应相切，如图：
根据几何关系有RN＝RMsin θ，
根据开普勒第三定律有：eq \f(RM3,RN3)＝eq \f(TM2,TN2)
联立解得eq \f(TM,TN)＝ eq \r(\f(1,sin3θ))，故D正确。
4．天宫二号由离地面h1＝360 km的圆形轨道，经过“轨道控制”上升为离地h2＝393 km的圆形轨道，“等待”神舟十一号的来访。已知地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G。根据以上信息可判断( )
A．天宫二号在圆形轨道h2上运行的速度大于第一宇宙速度
B．天宫二号在圆形轨道h2上运行的速度大于在轨道h1上的运行速度
C．天宫二号在轨道h1上的运行周期为 eq \r(\f(4π2R＋h13,GM))
D．天宫二号由圆形轨道h1进入圆形轨道h2运行周期变小
解析：选C 根据万有引力提供向心力得：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，
所以：v＝ eq \r(\f(GM,r))，由于天宫二号的轨道半径大于地球的半径，所以天宫二号在圆形轨道h2上运行的速度小于第一宇宙速度，故A错误。根据v＝ eq \r(\f(GM,r))，由于h1＜h2，可知，天宫二号在圆形轨道h2上运行的速度小于在轨道h1上的运行速度，故B错误。天宫二号绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得周期T＝ eq \r(\f(4π2R＋h3,GM))，则在轨道h1上的运行周期：T1＝eq \r(\f(4π2R＋h13,GM))，天宫二号由圆形轨道h1进入圆形轨道h2，轨道半径增大，则运行周期变大，故C正确，D错误。
5.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
解析：选D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有Geq \f(Mm1,R＋h12)＝m1a1，即a1＝eq \f(GM,R＋h12)，对于东方红二号，有Geq \f(Mm2,R＋h22)＝m2a2，即a2＝eq \f(GM,R＋h22)，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，选项D正确，选项A、B、C错误。
动能Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(GMm,2r＋h)＝eq \f(mgr2,2r＋h)，故D错误。
6.量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知( )
A．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为 eq \f(n3,m3)
B．同步卫星与P点的速度之比为 eq \r(\f(1,n))
C．量子卫星与同步卫星的速度之比为 eq \f(n,m)
D．量子卫星与P点的速度之比为 eq \r(\f(n3,m))
解析：选D 由开普勒第三定律得eq \f(r量3,T量2)＝eq \f(r同3,T同2)，又由题意知r量＝mR，r同＝nR，所以eq \f(T同,T量)＝ eq \r(\f(r同3,r量3))＝ eq \r(\f(nR3,mR3))＝ eq \r(\f(n3,m3))，故A错误；P为地球赤道上一点，P点角速度等于同步卫星的角速度，根据v＝ωr，所以有eq \f(v同,vP)＝eq \f(r同,rP)＝eq \f(nR,R)＝eq \f(n,1)，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以eq \f(v量,v同)＝ eq \r(\f(r同,r量))＝ eq \r(\f(nR,mR))＝eq \r(\f(n,m))，故C错误；综合B、C，有v同＝nvP，eq \f(v量,nvP)＝ eq \r(\f(n,m))， 得eq \f(v量,vP)＝ eq \r(\f(n3,m))，故D正确。
7．双星系统中两个星球A、B的质量都是m，相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且eq \f(T,T0)＝k(k＜1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于A、B的连线正中间，相对A、B静止，则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为( )
A．2π eq \r(\f(L2,2Gm))，eq \f(1＋k2,4k)m B．2π eq \r(\f(L3,2Gm))，eq \f(1－k2,4k)m
C．2π eq \r(\f(2Gm,L3))，eq \f(1＋k2,4k)m D．2π eq \r(\f(L3,2Gm))，eq \f(1－k2,4k2)m
解析：选D 由题意知，A、B的运动周期相同，设轨道半径分别为r1、r2，对A有，eq \f(Gm2,L2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T0)))2r1，对B有，eq \f(Gm2,L2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T0)))2r2，且r1＋r2＝L，解得T0＝2π eq \r(\f(L3,2Gm))；有C存在时，设C的质量为M，A、B与C之间的距离r1′＝r2′＝eq \f(L,2)，则eq \f(Gm2,L2)＋eq \f(GMm,r1′2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r1′，eq \f(Gm2,L2)＋eq \f(GMm,r2′2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r2′，解得T＝2π eq \r(\f(L3,2Gm＋4M))，eq \f(T,T0)＝ eq \r(\f(m,m＋4M))＝k，得M＝eq \f(1－k2,4k2)m。故D正确。
8．如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
答案 A
解析 由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，变形得：a＝eq \f(GM,r2)，v＝ eq \r(\f(GM,r))，ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，只有周期T和M成减函数关系，而a、v、ω和M成增函数关系，故选A.
9．一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，其绕行的周期为T.假设宇航员在火星表面以初速度v水平抛出一小球，经过时间t恰好垂直打在倾角α＝30°的斜面体上，如图所示．已知引力常量为G，则火星的质量为( )
A.eq \f(3v3T4,16Gt3π4) B.eq \f(3\r(3)v3T4,16Gt3π4)
C.eq \f(3v2T4,16Gt3π4) D.eq \f(3\r(3)v2T4,16Gt3π4)
答案 B
解析 以M表示火星的质量，r0表示火星的半径，g′表示火星表面附近的重力加速度，火星对卫星的万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r\\al(2,0))＝m(eq \f(2π,T))2r0，在火星表面有Geq \f(Mm′,r\\al( 2,0))＝m′g′；平抛小球速度的偏转角为60°，tan 60°＝eq \f(g′t,v)，联立以上各式解得M＝eq \f(3\r(3)v3T4,16Gt3π4)，B正确．
10．“神舟八号”飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞行轨道在地球表面的投影如图所示，图中标明了飞船相继飞临赤道上空所对应的地面的经度．设“神舟八号”飞船绕地球飞行的轨道半径为r1，地球同步卫星飞行轨道半径为r2.则r13∶r23等于( )
A．1∶24 B．1∶156
C．1∶210 D．1∶256
答案 D
解析 从图象中可以看出，飞船每运行一周，地球自转22.5°，故飞船的周期为T1＝eq \f(22.5°,360°)×24 h＝1.5 h，同步卫星的周期为24 h，由开普勒第三定律可得eq \f(r\\al( 3,1),r\\al( 3,2))＝eq \f(T\\al( 2,1),T\\al( 2,2))＝(eq \f(1.5,24))2＝eq \f(1,256)，故选D.