安徽省合肥市第八中学高一下学期期末复习数学限时作业（9）

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1．下列命题中正确的是（ ）
A．两个平面可以有且仅有一个公共点
B．两两相交的直线一定共面
C．如果一条直线与两个相交的平面均平行，那么这条直线与这两个相交平面的交线也平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意直线平行
【答案】C
2．已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】B
3．若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
4．如图是某正方体的展开图，其中A，B，C，D，E，F分别是原正方体对应棱的中点，则在原正方体中与异面且所成角为的直线是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
5．设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点．若 ，则（ ）
A．－1B．0C．1D．3
【答案】B
因为三点共线，所以，
所以，
即，
因为，
所以
故选：B．
6．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心.已知，则角A的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
取的中点D，则，
，所以，
又由，当且仅当时等号成立，
所以，
故选：A.
二、多选题
7．对于给定的异面直线、，以下判断正确的是（ ）
A．存在平面，使得，
B．存在直线，使得同时与、垂直且相交
C．存在平面、，使得，，且
D．对于任意点，总存在过且与、都相交的直线
【答案】BC
8．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且平面EFG，则（ ）
A．B．平面EFG
C．三棱锥的体积为D．P点的轨迹长度为2
【答案】BCD
【详解】
对于A，取的中点为，连接，由正方体的性质可知，，而与相交，所以不平行，故A错误；
对于B，连接，容易知道平面平面，由面面平行的性质可知平面EFG，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由B可知平面平面，即点的轨迹为线段，长度为，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分
9．已知(是虚数单位)是方程的一个根，则__________.
【答案】1
，
，解得 ，
，
故答案为：1
10．已知是夹角为的两个单位向量，，.若，则实数k的值为________．
【答案】
由得 ，
整理，得k－2＋(1－2k)＝0，
可得，
所以，
故答案为：.
11．如图，在中，为中点，若，，和的夹角为，则______.
【答案】
因为和的夹角为，所以，
因为为中点，所以，
则，
故，
故答案为：.
12．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则三棱锥的体积为______，球的体积为______．
【答案】
如图，，是边长为2的正三角形，
所以三棱锥为正三棱锥，
则顶点在底面的投影为底面三角形的中心，
连接并延长，交于，
∴，，
∴，
∴；
又∵，，，
∴平面，则，
∵，分别是，的中点，∴，
又∵，∴，
∴，∴平面，
∴正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，
且，∴，
将三棱锥补形成正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
所以直径为，
∴外接球的半径为，
故外接球的体积为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分
13．在斜三棱柱中，，平面，E，F分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）已知，斜三棱柱的体积为8，求点E到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
（1）连结，由三棱柱知，四边形为平行四边形，
因为分别是，的中点，即为中位线，所以且，
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，所以为三棱柱的高，
又因为，且，所以，
而，所以，
因为平面，所以点E到平面的距离等于点F到平面的距离，
由等体积法得即，
所以即点E到平面的距离为.
14．在三棱锥中，，分别是棱，上的点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，记三棱锥与三棱锥的体积分别为，，且，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（1）平面，平面，平面平面，，
又平面，平面，平面；
（2），，，
，，；
由（1）知：，，，
，又平面，
.