专题5.2 分式（提高篇）专项练习-2021-2022学年七年级数学下册阶段性复习精选精练（浙教版）

专题5.2  分式（提高篇）专项练习

 一、单选题

1．若方程的根是正数，则的取值范围是(    )

A． B． C．且 D．

2．下列变形正确的是(   )

A．＝ B．＝0 C． D．＝－1

3．按下列程序计算，当a＝－2时，最后输出的答案是（   ）．

A． B． C．－1 D．

4．使代数式有意义的x的取值范围是（ ）

A． B． C．且 D．一切实数

5．使代数式 有意义的x满足(   )

A．x≠3且x≠2                                  B．x≠3且x≠-1               

C．x≠2且x≠-2               D．x≠-1,x≠2且x≠3

6．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（     ）

A．2                        B．3                        C．4                                   D．5

7．、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为千米/小时，则所列方程是(    )

A． B．

C． D．

8．若（+）•w=1，则w等于（　　）

A．a+2 B．﹣a+2 C．a﹣2 D．﹣a﹣2

9．当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）

A．﹣1 B．1 C．0 D．2015

10．若满足,则的值为（     ）

A．1或0 B． 或0 C．1或 D．1或

二、填空题

11．已知＝3，则代数式的值为___．

12．已知x为正整数，当时x=________时，分式的值为负整数．

13．若关于x的分式方程无解，则m的值_____．

14．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，根据题意，列出方程 _________.

15．观察下列各式：，；；；…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为________________.

16．设x、y为正整数，并计算它们的倒数和，接着将这两个正整数x、y分别加上1、2后，再计算它们的倒数和，请问经过这样操作之后，倒数和之差的最大值是__．

17．已知:,则的值为_____.

18．已知:满足方程,则代数式的值是_____.

19．如果实数x、y满足方程组，求代数式（+2）÷．

20．若,则_____.

三、解答题

21．计算：（1）（a2+3a）÷；（2）（1﹣）÷（﹣2）

22．解下列方程：（1）+=1；（2）.

23．先化简，再求值：，其中.

24．化简并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数．

25．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，，….任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如=+，=+，=+，….

(1)根据对上述式子的观察，你会发现.请写出□，○所表示的数．

(2)进一步思考，单位分数(n是不小于2的正整数)＝，请写出△，☆所表示的代数式，并加以验证．

26．某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．

（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？

（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．

27．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．

（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；

（2）设第k所民办学校所得到的奖金为元（1），试用k、n和b表示（不必证明）；

（3）比较和的大小（k=1，2 ，……，），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．

参考答案

1．A

【分析】先求出分式方程的解，得出，求出的范围，再根据分式方程有解得出，，求出，，即可得出答案．

解：方程两边都乘以得：，

，

，

，

方程的根为正数，

，

解得：，

又∵，，

∴，，

即的取值范围是，

故选：A．

【点拨】本题考查了分式方程解的应用，关键是求出和得出，，题目比较好，是一道比较容易出错的题目．

2．D

【解析】

【分析】利用分式的性质一一判断即可．

【详解】

A、≠，故本选项不符合题意；

B、＝1，故本选项不符合题意；

C、，故本选项不符合题意；

D、，故本选项正确.

故选D．

【点拨】本题考查分式的基本性质，解题的关键是记住：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

3．D

【解析】

【分析】根据题意列出关于m的代数式，将a=-2代入计算即可求出值.

【详解】由题可知（a3-a）÷a2+1=a-+1，

当a=-2时，原式=-2-+1=．

故选：D．

【点拨】此题考查了代数式求值，根据题意列出正确的关系式是解本题的关键．

4．C

【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须．故选C．

5．D

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件，即可解答．

【详解】∵=有意义，

∴x-3≠0，x-2≠0，x+1≠0，

∴x≠3，x≠2，x≠-1，

故选：D．

【点拨】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是熟记分式有意义的条件．

6．D

【分析】设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．

【详解】设这个数是a，

把x=5代入得：（-2+5）=1-，

∴1=1-，

解得：a=5．

故选D．

【点拨】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程是解此题的关键．

7．B

【分析】甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，列出方程即可得.

【详解】甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，由题意得

－＝，

故选B.

【点拨】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

8．D

【解析】将方程整理得： 则 即 解得： .故选D.

9．A

【分析】

解：设a为负整数．∵当x=a时，分式的值=，当x=﹣时，分式的值==，∴当x=a时与当x=-时，两分式的和=+=0，∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0，∴所得结果的和==﹣1．故选A．

点拨：本题主要考查的是分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．

10．D

【详解】令,则 则且,则k=1，当k=1则；当k=-1，.

故选D.

11．4

【分析】由＝3,得=3即y-x=3xy,然后代入代数式,进行消元,即可得到结论.

【详解】解：由＝3,得=3即y-x=3xy，x-y=-3xy,

则===4

故答案为:4

【点拨】本题主要考查代数式的求解,利用消元法是解决本题的关键.

12．3、4、5、8 

【解析】由题意得：2﹣x＜0，解得x＞2，又因为x为正整数，讨论如下：

当x=3时， =﹣6，符合题意；

当x=4时， =﹣3，符合题意；

当x=5时， =﹣2，符合题意；

当x=6时， =﹣，不符合题意，舍去；

当x=7时， =﹣，不符合题意，舍去；

当x=8时， =﹣1，符合题意；

当x≥9时，﹣1＜＜0，不符合题意．故x的值为3，4，5，8．

故答案为：3、4、5、8．

13．-0.5或-1.5

解：方程两边都乘x(x-3)，得(2m+x)x-x(x-3)=2(x-3)，

即(2m+1)x=-6

当2m+1=0时，这个方程无解，此时m=-0.5

关于x的分式方程-1=无解

故x=0或x-3=0，即x=0或x=3

当x=0时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·0=-6，此方程无解

当x=3时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·3=-6，解得m=-1.5

综上所述，m的值是-0.5或-1.5

故答案为：-0.5或-1.5．

14．

【解析】试题分析：设乙队每天安装x台，根据甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，则．

故答案是．

考点：由实际问题抽象出分式方程．

15．

【解析】根据一系列的等式，发现：满足 的两个数的积等于它们的和(n表示正整数). 用关于n的等式表示这个规律为.

故答案：.

16．

【解析】由题意得：x≥0，y≥0，x、y都为正数，

+－（+）=－+－=+，

要使倒数和之差最大即要使分母+x以及+2y最小，

当x=1，y=1时，分母+x以及+2y最小，

此时倒数之和最大值为：+=.

故答案为.

点拨：本题关键在于将倒数之和表示出来，再化简求出最值.

17．3

【解析】根据，得： 将方程两边同时除以ab，=3.

故答案：3.

18．

【解析】

因为，则 .

故答案：.

19．1

【解析】

解：原式==xy+2x+2y，方程组：，解得：，当x=3，y=﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为1．

点拨：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．-1

【解析】

根据得： .

故答案：-1.

21．（1）a；（2）

【解析】

【试题分析】

（1）将各式子因式分解，再约分，化简即可；

（2）先将括号内式子通分，即（1﹣）÷（﹣2）= ，再因式分解，即原式= ；转化为乘法运算，即原式=.

【试题解析】

（1）（a2+3a）÷=a（a+3）÷=a（a+3）×=a．

（2）（1﹣）÷（﹣2）=÷=•=．

【方法点拨】本题目是一道分式的化简求值，方法是：先将每个式子进行因式分解，再约分，化简.

22．（1）分式方程的解为x=﹣4；（2）原分式方程无解．

【解析】

【试题分析】

（1）去分母得：3+x（x+3）=x2﹣9.解方程得：x=﹣4.将x=-4代入最简公分母得：（x+3）（x﹣3）≠0. 所以原分式方程的解为x=﹣4．

（2）方法同（1）.

【试题解析】

（1）方程两边乘（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣9.解得x=﹣4.

检验：当x=﹣4时，（x+3）（x﹣3）≠0.

所以原分式方程的解为x=﹣4．

（2）方程两边乘（x2-1），得(x+1)2-4=x2-1.解得x=1.

检验：当x=1时，x2-1=0，因此x=1不是原分式方程的解.

所以，原分式方程无解．

23．，.

【解析】

分析：先化简括号内的式子，再根据分式的除法进行计算即可化简原式，然后将x=-2代入化简后的式子即可解答本题．

详解：原式

=.

∵，∴，舍去，

当时，原式.

点拨：本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．

24． ，时，-1.   

【分析】

首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行分式的乘除法计算得出化简结果，根据分式的性质、三角形的三边关系定理得出a的值，然后代入化简后的式子即可得出答案．

解：原式==，

∵与、构成的三边，且为整数
∴，

由题可知、、，
∴，

∴原式=．

【点拨】本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．本题需要注意的是在选择a的值的时候，一定要保证原分式有意义．

25．（1） 6，30；（2）n+1，n(n+1)

【解析】试题分析：（1）通过观察直接写出口，○所表示的数分别为：6 ，30 ；（2）通过前面几个式子找出规律，再对找出的规律验证即可.

试题解析：

(1) 6 ，30 ；

 (2)n=2时， =；

n=3时，；

n=4时，；

……

=+.

所以□，△所表示的式子n+1,  n(n+1).

验证： .

点拨：掌握分式的加法运算.

26．甲盒用0．6米材料；制作每个乙盒用0．5米材料；l=0．1n+1500,1700．

【分析】首先设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料，根据乙的数量－甲的数量=2列出分式方程进行求解；根据题意得出n的取值范围，然后根据l与n的关系列出函数解析式，根据一次函数的增减性求出最小值．

解：（1）设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料

由题可得： 解得x=0.5（米）

经检验x=0.5是原方程的解，所以制作甲盒用0.6米

答：制作每个甲盒用0．6米材料；制作每个乙盒用0．5米材料

（2）由题

∴

∵，∴l随n增大而增大，

∴当时，

考点：分式方程的应用，一次函数的性质．

27．（1） ,；

（2） ；

（3） ．奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少．

【解析】

【试题分析】

（1）根据第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，得：

（2）根据（1）中的两个式子， ；

（3），，则，则.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.

【试题解析】

（1）根据题意得：

（2）根据（1）中的两个式子，

（3），，则，则.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.

【方法点拨】本题目是一道分式的实际应用问题，第一个问题有难度，依据奖金的分配规则，写出 的表达式；第二问在第一问的基础上，找出规律，直接写出 的表达式即可；第三问用作差法比较两个分式的大小，若差为正数，则被减数大于减数；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.