2022届全国高考数学考前20天终极冲刺模拟卷（7）含解析

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（7）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，且，则　　

A． B． C．1 D．3

2．已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为　　

A． B． C． D．

3．某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为　　

A．75 B．100 C．150 D．200

4．已知函数的零点位于区间，上，则　　

A． B． C． D．

5．在中，角，，所对的边分别为，，，且满是，则角　　

A． B． C． D．

6等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则　　

A．2 B． C．4 D．

7．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式（1）的解集为　　

A． B． C． D．

8．在四棱锥中，，过直线的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱交于点，则　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．2014年7月18日，教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》．学生体测成绩达到或超过良好，才有资格参与评优与评奖．中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15秒．某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩（单位：秒），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

由直方图推断，下列选项正确的是　　

A．直方图中的值为0.4 

B．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒 

C．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒 

D．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了

10．若非零实数，满足，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

11．已知函数，则　　

A．在，上的最小值是1 

B．的最小正周期是 

C．直线是图象的对称轴 

D．直线与的图象恰有2个公共点

12．已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是　　

A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．，则　　．

14．小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件为“4个人去的景点互不相同”，事件为“只有小赵去了龙虎山景点”，则　　．

15．已知双曲线的左、右焦点分别是、，是的渐近线与圆的一个交点（点位于第一象限），直线与在第四象限相交于点，是坐标原点，若，则的离心率为　　．

16．不共线向量，满足．若对于给定的实数，存在唯一的点，满足且，则的最小值是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．从①，，成等比数列，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

已知等差数列的前项和为，，____，，求数列的前项和为．

18．如图，在四边形中，是等腰直角三角形，，，，，与交于点．

（1）求；

（2）求的面积．

19．在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．

20．已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病．现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用表示化验总次数．

（1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求的概率；

（2）求的分布列与数学期望．

21．已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，且当直线与轴垂直时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的上顶点为，线段的垂直平分线交轴于点，为坐标原点，求面积的取值范围．

22．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（7）答案

1．解：，，且，

．

故选：．

2．解：设复数，则，

所以，

所以，解得，，

所以，则复数对应点的坐标为，

故选：．

3．解：，

，

，

此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．

故选：．

4．解：函数是连续减函数，，，

，

函数的零点位于区间即上，

又，．

则．

故选：．

5．解：因为，可得，即，

所以由正弦定理可得，

可得，

因为，

可得，

因为，

所以．

故选：．

6解：根据题意，设等比数列的公比为，

若，，则，

则有，解可得，

又由，即，解可得，

则，

故选：．

7．解：令，

，

，

，在恒成立，

在为增函数，

（1），

（1），

（1）（1），

（1），

，

，

故选：．

8．解：设该平面与交于，，，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，

，则，

设，则，

再设四棱锥的体积为，

，，可得，，

又，，

又，，

，

即，又，解得．

故选：．

9．2解：由频率之和为1可知，，解得，故选项正确；

直方图的众数就是频率最高组的中点，即，故选项正确；

直方图的中位数是频率相等的分点，设为，则有，解得，故选项错误；

由频率分布直方图可知，成绩小于14.15秒的人数所占百分比为：

，故选项错误．

故选：．

10．解：根据题意，依次分析选项：

对于，若，均为负数，则不等式显然不成立，则错误；

对于，实数，满足，则，则，正确，

对于，由的结论，，在不等式的两边同时加上，得，

则成立，则正确；

对于，取，，则，所以不成立，则错误．

故选：．

11．解：．

：在，，的最小值在时取得，，故正确．

，

．故错．

是图像的对称轴，故正确．

：当时，，当时，，故图像如图，共有2个交点．

故选：．

12．解：，，

因为，所以，

，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，故选项正确；

，

，

，，

所以是首项为，公比为的等比数列，

，故选项正确；

，所以，故选项错误；

，故选项正确．

故选：．

13．解：，

则，

故答案为：．

14．解：小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游，

每人只参加了其中一个景点的旅游，

记事件为“4个人去的景点互不相同”，事件为“只有小赵去了龙虎山景点”，

则（B），

，

．

故选：．

15．解：设双曲线的半焦距为，可得，，

由，解得，，

由，

又，

可得，

由，

化简可得，即，

即有．

故答案为：．

16．解：由，则有，所以（其中为向量，的夹角），

因为点唯一，所以关于的方程有唯一解，

于是△，则，又，消去得，

所以，当且仅当时等号成立，

故的最小值是4．

故答案为：4．

17．解：选①，设数列的公差为，则由可得，

由，，成等比数列得，

联立以上两式可得，或，，

若，，则，，；

若，，则，，

．

选②，设数列的公差为，则由可得，

由得，

联立以上两式可得，，

则，，

．

选③，设数列的公差为，则由可得，

，

，，

由得，则，

则，，

．

18．解：（1）如图所示：

设，则，，，

所以，所以，

所以，

，

所以．

由余弦定理：，

所以，

解得，

作，所以，

，

，

（2）设，在中，由正弦定理得：，

所以，

所以，

在中，有，即，

解得或．

由于，

故．

所以，

则．

19．（1）证明：取中点，连接，，

由题知，为的平分线，，，

设点是点在平面上的射影，由题知，点在上，

连接，则平面．

平面平面，平面平面，平面，，

平面，（2分）

．

因为和平面所成的角为，即，，又，

四边形为平行四边形，，（5分）

平面，平面，平面．（6分）

（2）解：以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，（8分）

设平面的一个法向量为，

则，取，得，

取平面的法向量为（10分）

设平面与平面所夹角为，

则，（11分）

平面与平面所夹角余弦值为．（12分）

20．解：（1）设“第次化验结果为阳性”为事件，“第次化验结果为阴性”为事件，，2，3，4，5，，

第一只阳性且对应的可能事件为两只患病小鼠在第一次和第三次测，其余4只任意排，共有种，

第一只测试阳性的排列方法共有种，

则所求的概率为；

（2）的可能取值为2，3，4，5，

则，，

，

，

所以的分布列为：

故的数学期望为．

21．解：（1）设，则，

又由离心率得，，

又因为，则，

由上可得，，，

即得椭圆的方程为：．

（2）根据题意可得，直线的斜率存在且不为0，右焦点为，

则设直线的方程为，点，，，，

联立椭圆方程得，

化简可得，则△，

且有，

设线段的中点坐标为，，则，，

所以可得线段的中垂线的方程即为：，

即得点，

所以，

，

的面积的取值范围为．

22．（Ⅰ）证明：令，，

（1）当时，，

因为，

所以在，上单调递增，且，

当时，，当时，，

所以在，上单调递减，在上单调递增，

所以，所以；

（2）当时，则，所以．

综上所述，当时，．

（Ⅱ）解：令，，

则，

由题意得在，上恒成立，因为，

所以，所以，

下证当时，在，上恒成立，

因为，

令，只需证明在，上恒成立，

（1）当时，，

，因为在，上单调递减，所以，

所以在，上单调递减，所以，

所以在，上单调递减，所以；

（2）当时，．

综上所述，实数的取值范围是，．