高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练3.7《正弦定理和余弦定理》(教师版)

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1．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs B,b)，则B的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：由正弦定理知，eq \f(sin A,sin A)＝eq \f(cs B,sin B)，∴sin B＝cs B，∴B＝45°.
答案：B
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D．3
解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcs A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq \f(1,3)(舍去)，故选D.
答案：D
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cs2A＋cs 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9
C．8 D．5
解析：化简23cs2A＋cs 2A＝0，得23cs2A＋2cs2A－1＝0，解得cs A＝eq \f(1,5).由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccs A，代入数据，解方程，得b＝5.
答案：D
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin BA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：根据正弦定理可得a2＋b2答案：C
5．(长沙模拟)在△ABC中，A＝eq \f(π,4)，b2 sin C＝4eq \r(2)sin B，则△ABC的面积为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为b2sin C＝4eq \r(2)sin B，所以b2c＝4eq \r(2)b，即bc＝4eq \r(2)，故S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝2.
答案：B
6．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝eq \f(2\r(2),3)，a＝3，S△ABC＝2eq \r(2)，则b的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．2或3
解析：因为S△ABC＝2eq \r(2)＝eq \f(1,2)bcsin A，所以bc＝6，又因为sin A＝eq \f(2\r(2),3)，所以cs A＝eq \f(1,3)，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.
答案：D
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs B＝acs C＋ccs A，则B＝________.
解析：由正弦定理可得2sin Bcs B＝sin Acs C＋sin Ccs A＝sin(A＋C)＝sin B，所以cs B＝eq \f(1,2)，又因为0＜B＜π，所以B＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则cs B的值为________．
解析：因为A＝2B，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，b＝3，c＝1，
所以eq \f(a,2sin Bcs B)＝eq \f(3,sin B)，可得a＝6cs B，
由余弦定理可得：a＝6×eq \f(a2＋1－9,2a)，所以a＝2eq \r(3)，
所以cs B＝eq \f(a,6)＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
9．(成都模拟)已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin 2A＝eq \r(3)cs 2A，且角A为锐角．
(1)求三角形内角A的大小；
(2)若a＝5，b＝8，求c的值．
解析：(1)由题意，sin 2A＝eq \r(3)cs 2A，即tan 2A＝eq \r(3).
所以2A＝eq \f(π,3)或者2A＝eq \f(4π,3)，因为角A为锐角，所以A＝eq \f(π,6).
(2)由(1)可知A＝eq \f(π,6)，a＝5，b＝8；由余弦定理，2bccs A＝c2＋b2－a2，可得：c2－8eq \r(3)c＋39＝0，
解得c＝4eq \r(3)＋3或者4eq \r(3)－3.
10．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cs B；
(2)设B＝90°，且a＝eq \r(2)，求△ABC的面积．
解析：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,4).
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝eq \r(2).
所以△ABC的面积为1.
B组 能力提升练
11．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝2b2－2b2cs A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cs A)，所以sin A＝cs A，即tan A＝1，又0答案：C
12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(b,a)＝eq \r(2)，则该三角形的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：因为eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(b,a)，由正弦定理得eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(sin B,sin A)，所以sin 2A＝sin 2B.由eq \f(b,a)＝eq \r(2)，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．故选A.
答案：A
13．在△ABC中，若eq \f(sin C,sin A)＝3，b2－a2＝eq \f(5,2)ac，则cs B的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,4)
解析：由题意知，c＝3a，b2－a2＝eq \f(5,2)ac＝c2－2accs B，所以cs B＝eq \f(c2－\f(5,2)ac,2ac)＝eq \f(9a2－\f(15,2)a2,6a2)＝eq \f(1,4).
答案：D
14．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cs A＝________.
解析：在△ADC中，由正弦定理得eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(\f(4,7)AB,sin∠ACD)eq \f(AC,\f(4,7)AB)＝eq \f(sin∠ADC,sin∠ACD)，同理，在△BCD中，有eq \f(BC,sin∠BDC)＝eq \f(\f(3,7)AB,sin∠BCD)eq \f(BC,\f(3,7)AB)＝eq \f(sin∠BDC,sin∠BCD)，又sin∠ADC＝sin∠BDC，sin∠ACD＝sin∠BCD，所以有eq \f(AC,\f(4,7)AB)＝eq \f(BC,\f(3,7)AB)AC＝eq \f(4,3)BC，由正弦定理得sin B＝eq \f(4,3)sin A，又B＝2A，
所以sin B＝2sin Acs A，所以cs A＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
15．(杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝eq \f(π,4)，b＝eq \r(6)，△ABC的面积为eq \f(3＋\r(3),2)，则c＝________，B＝________.
解析：因为A＝eq \f(π,4)，b＝eq \r(6)，△ABC的面积为eq \f(3＋\r(3),2)＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×c×eq \f(\r(2),2)，所以解得：c＝1＋eq \r(3)，所以由余弦定理可得：a＝eq \r(b2＋c2－2bccs A)＝2，可得：cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，又0＜B＜π，故B＝eq \f(π,3).
答案：1＋eq \r(3) eq \f(π,3)
16．(泉州模拟)已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，acsin A＋4sin C＝4csin A.
(1)求a的值；
(2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部)，△OBC的面积为eq \f(\r(3),3)，b＋c＝4，判断△ABC的形状，并说明理由．
解析：(1)由正弦定理可知，sin A＝eq \f(a,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)，
则acsin A＋4sin C＝4csin Aa2c＋4c＝4ac，
因为c≠0，所以a2c＋4c＝4aca2＋4＝4a(a－2)2＝0，可得a＝2.
(2)设BC的中点为D，则OD⊥BC，
所以S△OBC＝eq \f(1,2)BC·OD.
又因为S△OBC＝eq \f(\r(3),3)，BC＝2，所以OD＝eq \f(\r(3),3)，
在Rt△BOD中，tan ∠BOD＝eq \f(BD,OD)＝eq \f(\f(1,2)BC,OD)＝eq \f(1,\f(\r(3),3))＝eq \r(3).
又0°＜∠BOD＜180°，所以∠BOD＝60°，
所以∠BOC＝2∠BOD＝120°，
因为O在△ABC内部，所以∠A＝eq \f(1,2)∠BOC＝60°，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A.
所以4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又b＋c＝4，
所以bc＝4，所以b＝c＝2，
所以△ABC为等边三角形．