高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练5.1《数列的概念与简单表示法》(教师版)

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1．已知数列{an}的前4项为2,0,2,0，则归纳该数列的通项不可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数,0，n为偶数))
C．an＝2sineq \f(nπ,2) D．an＝cs(n－1)π＋1
解析：对于C，当n＝3时，sin eq \f(3π,2)＝－1，则a3＝－2，与题意不符．
答案：C
2．已知数列eq \r(2)，eq \r(5)，2eq \r(2)，eq \r(11)，…，则2eq \r(5)是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第19项 D．第11项
解析：数列即：eq \r(2)，eq \r(5)，eq \r(8)，eq \r(11)，…，据此可得数列的通项公式为：an＝eq \r(3n－1)，由eq \r(3n－1)＝2eq \r(5)，解得：n＝7，即2eq \r(5)是这个数列的第7项．
答案：B
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：a4＝S4－S3＝20－12＝8.
答案：C
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )
A．2n－1 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－1 D.eq \f(1,2n－1)
解析：由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，eq \f(Sn＋1,Sn)＝eq \f(3,2)，而S1＝a1＝1，所以Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1，故选B.
答案：B
5．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是( )
A．4eq \f(1,5) B．4eq \f(2,5)
C．4eq \f(3,5) D．4eq \f(4,5)
解析：由题知：an＋1＝eq \f(2nan－n－1an－1,n＋1)，
a3＝eq \f(2×2×3－1,3)＝eq \f(11,3)，a4＝eq \f(2×3×\f(11,3)－2×3,4)＝4，
a5＝eq \f(2×4×4－3×\f(11,3),5)＝eq \f(21,5)，a6＝eq \f(2×5×\f(21,5)－4×4,6)＝eq \f(26,6)，故an＝eq \f(5n－4,n)，所以a20＝eq \f(5×20－4,20)＝eq \f(24,5)＝4eq \f(4,5).
答案：D
6．(北京模拟)数列{an}满足an＋1(an－1－an)＝an－1(an－an＋1)，若a1＝2，a2＝1，则a20＝( )
A.eq \f(1,210) B.eq \f(1,29)
C.eq \f(1,10) D.eq \f(1,5)
解析：数列{an}满足an＋1(an－1－an)
＝an－1(an－an＋1)，
展开化为eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an).
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，公差为eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，首项为eq \f(1,2).
所以eq \f(1,a20)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×19＝10，解得a20＝eq \f(1,10).
答案：C
7．(唐山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(a14n－1,3)，若a4＝32，则a1＝__________.
解析：∵Sn＝eq \f(a14n－1,3)，a4＝32，
∴eq \f(255a1,3)－eq \f(63a1,3)＝32，∴a1＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝________.
解析：当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.
答案：12
9．(长沙模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 018＝________.
解析：因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，
所以a2＝－(1＋1)＝－2，
a3＝－2＋1＝－1，a4＝－(－1＋1)＝0，a5＝0＋1＝1，a6＝－(1＋1)＝－2，a7＝－2＋1＝－1，…，所以{an}是以4为周期的周期数列，因为2 018＝504×4 ＋2，所以S2 018＝504×(1－2－1＋0)＋1－2＝－1 009.
答案：－1 009
10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，则数列{an}的通项公式为________．
解析：由题干图可知，an＋1－an＝n＋1，a1＝1，由累加法可得an＝eq \f(nn＋1,2).
答案：an＝eq \f(nn＋1,2)
B组 能力提升练
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an＝( )
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，∴an＋1＝2an，∵a1＝2a1－4，∴a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＝4·2n－1＝2n＋1，故选A.
答案：A
12．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则eq \f(a3,a5)的值是( )
A.eq \f(15,16) B.eq \f(15,8)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,8)
解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1,2)a4＝eq \f(1,2)＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝eq \f(2,3)，∴eq \f(a3,a5)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)＝eq \f(3,4).
答案：C
13．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：由3an＋1＝3an－2得an＋1＝an－eq \f(2,3)，则{an}是等差数列，又a1＝15，∴an＝eq \f(47,3)－eq \f(2,3)n.∵ak·ak＋1<0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(47,3)－\f(2,3)k))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(45,3)－\f(2,3)k))<0，∴eq \f(45,2)答案：C
14．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且eq \f(an－1－an,an－1)＝eq \f(an－an＋1,an＋1)(n≥2)，则这个数列的第10项等于( )
A.eq \f(1,210) B.eq \f(1,29)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,10)
解析：∵eq \f(an－1－an,an－1)＝eq \f(an－an＋1,an＋1)，∴1－eq \f(an,an－1)＝eq \f(an,an＋1)－1，即eq \f(an,an－1)＋eq \f(an,an＋1)＝2，∴eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an)，故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列．又∵d＝eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1,a10)＝eq \f(1,2)＋9×eq \f(1,2)＝5，故a10＝eq \f(1,5).
答案：C
15．(黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2n－3，n≥2.))
答案：an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2n－3，n≥2))
16．(郑州模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，
即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn}，则b2 018＝________.
解析：由题意得，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…构成以8为周期的周期数列，所以b2 018＝b2＝1.
答案：1