高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练5.2《等差数列及其前n项和》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)

A．－1　　　　　　　　 B．0

C.   D.

解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，数列{an}单调递增，∴a2＝，a4＝.∴公差d＝＝.∴a1＝a2－d＝0.

答案：B

2．等差数列{an}中，a1＝1，an＝100(n≥3)．若{an}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为(　　)

A．3,7,9,15,100  B．4,10,12,34,100

C．5,11,16,30,100  D．4,10,13,43,100

解析：由等差数列的通项公式得，公差d＝＝.又因为d∈N，n≥3，所以n－1可能为3,9,11,33,99，n的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B.

答案：B

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)

A．5  B．7

C．9  D．11

解析：因为{an}是等差数列，

∴a1＋a5＝2a3，即a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，

∴S5＝＝5a3＝5，故选A.

答案：A

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8－S4＝36，a6＝2a4，则a1＝(　　)

A．－2  B．0

C．2  D．4

解析：设等差数列{an}的公差为d，∵S8－S4＝36，a6＝2a4，

∴

解得故选A.

答案：A

5．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)

A．12  B．13

C．14  D．15

解析：由S5＝，得25＝，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.

答案：B

6．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)

A．100  B．99

C．98  D．97

解析：由题意可知，

解得a1＝－1，d＝1，

所以a100＝－1＋99×1＝98.

答案：C

7．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于__________．

解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1，又∵an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38， 解得n＝10.

答案：10

8．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．

解析：设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5.

答案：5

9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

(1)求a及k的值．

(2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

解析：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，

则bn＝＝n＋1，

故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn＝＝.

10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}为等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

解析：(1)证明：∵bn＝，且an＝，

∴bn＋1＝＝＝，

∴bn＋1－bn＝－＝2.

又∵b1＝＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．

(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝.∴数列{an}的通项公式为an＝.

B组　能力提升练

11．(唐山统考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(　　)

A．18  B．12

C．9  D．6

解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.

答案：D

12．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，公比为q，数列{cn}中，cn＝anbn，Sn是数列{cn}的前n项和．若Sm＝11，S2m＝7，S3m＝－201(m为正偶数)，则S4m的值为(　　)

A．－1 601  B．－1 801

C．－2 001  D．－2 201

解析：令A＝Sm＝11，B＝S2m－Sm＝－4，C＝S3m－S2m＝－208，

则qm·A＝(a1b1＋a2b2＋…＋ambm)qm＝a1bm＋1＋…＋amb2m.

故B－qm·A＝(am＋1－a1)bm＋1＋…＋(a2m－am)b2m＝md(bm＋1＋…＋b2m)，其中，d是数列{an}的公差，q是数列{bn}的公比．

同理C－qm·B＝md(b2m＋1＋…＋b3m)＝md(bm＋1＋…＋b2m)·qm，

故C－qm·B＝qm(B－qm·A)．代入已知条件，可得11(qm)2＋8qm－208＝0，解得qm＝4或qm＝－(因m为正偶数，舍去)．

又S4m－S3m＝(a1b1＋a2b2＋…＋ambm)q3m＋3md(bm＋1＋…＋b2m)q2m＝11×43＋3(B－qm·A)×42＝11×43－3×12×43＝－1 600.

故S4m＝S3m－1 600＝－1 801.

答案：B

13．(长春质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为(　　)

A．9  B．10

C．11  D．12

解析：由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝－2t，其中t>0，因此a10＝t，a11＝－t，即当n＝10时，Sn取得最大值，故选B.

答案：B

14．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．

解析：因为{an}，{bn}为等差数列，

所以＋＝＋＝＝，

因为＝＝＝＝.

所以＝.

答案：

15．(银川模拟)在等差数列{an}中，已知a3＝7，a6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________．

解析：由题知公差d＝＝＝3，所以an＝7＋(n－3)d＝3n－2，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即为 a50＝3×50－2＝148.

答案：148

16．(太原模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，S2 015＝0.

(1)求Sn的最小值及此时n的值．

(2)求n的取值集合，使其满足an≥Sn.

解析：(1)设公差为d，则由S2 015＝02 015a1＋d＝0a1＋1 007d＝0，

d＝－a1，a1＋an＝a1，

所以Sn＝(a1＋an)＝·a1

＝(2 015n－n2 )．

因为a1＜0，n∈N*，

所以当n＝1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.

(2)an＝a1，

Sn≤an(2 015n－n2)≤a1.

因为a1＜0，所以n2－2 017n＋2 016≤0，

即(n－1)(n－2 016)≤0，

解得1≤n≤2 016.

故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 016，n∈N*}．