高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练5.3《等比数列及其前n项和》(教师版)
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A组 基础对点练
1.在公比为的等比数列{an}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是( )
A.- B.
C. D.
解析:由等比数列的通项公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1-2sin2(a1a4)=1-2×2=.
答案:B
2.(重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6=( )
A.16 B.32
C.64 D.128
解析:由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.
答案:C
3.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )
A.-24 B.-3
C.3 D.8
解析:设等差数列的公差为d,d≠0,a=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.
答案:A
4.(临沂模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为( )
A.- B.
C.- D.
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{an}是等比数列,所以a+=,所以a=-.
答案:A
5.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42
C.63 D.84
解析:设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.故选B.
答案:B
6.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由题意得-1+3d=-q3=8d=3,q=-2==1.
答案:1
7.已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=________.
解析:设数列{an}的公比为q,则q3==,解得q=,a1==4.易知数列{anan+1an+2}是首项为a1a2a3=4×2×1=8,公比为q3=的等比数列,所以a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2==(1-2-3n).
答案:(1-2-3n)
8.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式.
(2)若S5=,求λ.
解析:(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故a1=,
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,所以=,
因此数列{an}是以a1=为首项,以为公比的等比数列,an=n-1.
(2)由(1)得Sn=1-n,又因为S5=,
所以=1-5,即5=,解得λ=-1.
9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明++…+<.
证明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3(an+).
又a1+=,所以{an+}是首项为,公比为3的等比数列.
所以an+=,
因此{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知=.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.
于是++…+≤1++…+=<.
所以++…+<.
B组 能力提升练
10.(长春调研)等比数列{an}中,a3=9,前三项和S3=27,则公比q的值为( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或-
解析:当公比q=1时,
a1=a2=a3=9,
∴S3=3×9=27.
当q≠1时,S3=,
∴27=,
∴a1=27-18q,
∵a3=a1q2,
∴(27-18q)·q2=9,
∴(q-1)2(2q+1)=0,
∴q=-.
综上,q=1或q=-.选C.
答案:C
11.数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于( )
A.1 B.-1
C. D.2
解析:由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ.由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.
答案:D
12.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
解析:因为a1=1,公比q=,所以an=n-1,Sn==3=3-2n-1=3-2an,故选D.
答案:D
13.若数列{an+1-an}是等比数列,且a1=1,a2=2,a3=5,则an=__________.
解析:∵a2-a1=1,a3-a2=3,∴q=3,
∴an+1-an=3n-1,∴an-a1=a2-a1+a3-a2+…+an-1-an-2+an-an-1=1+3+…+3n-2=,
∵a1=1,∴an=.
答案:
14.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).
(1)求证:{an+1+2an}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解析:证明:(1)因为an+1=an+6an-1(n≥2),
所以an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).
因为a1=5,a2=5,
所以a2+2a1=15,
所以an+2an-1≠0(n≥2),
所以=3(n≥2),
所以数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,
则an+1=-2an+5×3n,
所以an+1-3n+1=-2(an-3n).
又因为a1-3=2,所以an-3n≠0,
所以{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.
所以an-3n=2×(-2)n-1,
即an=2×(-2)n-1+3n.
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