高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练7.4《空间中的垂直关系》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练7.4《空间中的垂直关系》(教师版)，共10页。

1．(惠州模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
解析：由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B，D不符合题意；无法判断AC⊥PB，故C符合题意．
答案：C
2．(石家庄模拟)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( )
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．
答案：D
3．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，nα，则m∥α
B．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β
解析：若m∥n，nα，则m∥α或mα，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或nα，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.
答案：D
4．(长春质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ACD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BCD
D．平面ACD⊥平面ABD
解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.
答案：D
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中E为棱CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.
答案：C
6．(南昌调研)如图所示，四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )
A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
解析：如图所示，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB，
∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，
∵AC平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正
确；
对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M
为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；
对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴
AC⊥平面PBD，
∵PD平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；
对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．
故选B.
答案：B
7.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底
面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而
PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8.如图所示，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD
∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F分别为线段AD，PC的
中点．求证：
(1)AP∥平面BEF；
(2)BE⊥平面PAC.
证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所
示．
由于E为AD的中点，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，AD∥BC，
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，
因此四边形ABCE为菱形，
所以O为AC的中点．
又F为PC的中点，
因此在△PAC中，可得AP∥OF.
又OF平面BEF，AP平面BEF.
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.
所以四边形BCDE为平行四边形，
因此BE∥CD.
又AP⊥平面PCD，
所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，
所以BE⊥平面PAC.
9．(唐山统考)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)若PD＝AD＝2，PB⊥ AC，求点P到平面AEC的距离．
解析：(1)证明：如图所示，连接BD，交AC于点F，连接EF，
∵底面ABCD为矩形，∴F为BD中点，
又E为PD中点，∴EF∥PB，
又PB平面AEC，EF平面AEC，
∴PB∥平面AEC.
(2)∵PD⊥平面ABCD，
AC平面ABCD，∴PD⊥AC，
又PB⊥AC，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面PBD，
∵BD平面PBD，∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形．
又E为PD的中点，∴P到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离，设D到平面AEC的距离为h，
由题意可知AE＝EC＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(2)，S△AEC＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \r(6)，由VDAEC＝VEADC得eq \f(1,3)S△AEC·h＝eq \f(1,3)S△ADC·ED，解得h＝eq \f(\r(6),3)，∴点P到平面AEC的距离为eq \f(\r(6),3).
B组 能力提升练
10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(3,2) D．2
解析：设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝eq \r(2)，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，
则DE＝eq \f(1,2)h.
又2×eq \r(2)＝heq \r(22＋\r(2)2)，
所以h＝eq \f(2\r(3),3)，DE＝eq \f(\r(3),3).
在Rt△DB1E中，B1E＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(6),6).
由面积相等得eq \f(\r(6),6)× eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)x，得x＝eq \f(1,2).
答案：A
11．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，nα，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析：选项A.若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，故A错误；
B．若m⊥α，nα，则m⊥n，显然成立；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错误；
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α或n∥α或n与α相交．
答案：B
12.如图所示，三棱锥A－BCD的底面是等腰直角三角
形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E是棱CD
上的任意一点，F，G分别是AC，BC的中点，则在
下面命题中：
①平面ABE⊥平面BCD；
②平面EFG∥平面ABD；
③四面体FECG体积的最大值是eq \f(1,3).真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错误，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝eq \f(1,2)AB＝1，
而S△GCE＝eq \f(1,2)GC·CE·sin45°＝eq \f(\r(2),4)CE≤1，
故VF－GCE＝eq \f(1,3)S△GCE·FG≤eq \f(1,3).
故正确的命题为①③.
答案：C
13．已知平面α，β和直线m.给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.
(1)当满足条件________时，有m∥β.
(2)当满足条件________时，有m⊥β.
解析：(1)当mα，且α∥β时，有m∥β，故填③⑤.
(2)当m⊥α，且α∥β时，有m⊥β，故填②⑤.
答案：(1)③⑤ (2)②⑤
14．(北京东城区模拟)如图所示，在四棱锥E-BCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD＝3AB.
(1)求证：平面ACE⊥平面CDE；
(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出eq \f(EF,ED)的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)证明：因为CD⊥平面ADE，AE平
面ADE，
所以CD⊥AE.
又AE⊥DE，CD∩DE＝D，
所以AE⊥平面CDE，
因为AE平面ACE，
所以平面ACE⊥平面CDE.
(2)在线段DE上存在一点F，且eq \f(EF,ED)＝eq \f(1,3)，使AF∥平面BCE.
设F为线段DE上一点，
且eq \f(EF,ED)＝eq \f(1,3).
过点F作FM∥CD交CE于点M，
连接BM，AF，则FM＝eq \f(1,3)CD.
因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
所以CD∥AB.
又FM∥CD，所以FM∥AB.
因为CD＝3AB，所以FM＝AB.
所以四边形ABMF是平行四边形，
所以AF∥BM.
又AF平面BCE，BM平面BCE，
所以AF∥平面BCE.