高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练8.1《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练8.1《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》(教师版)，共6页。试卷主要包含了已知直线l1等内容，欢迎下载使用。
1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cs α＝0，则a，b满足( )
A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
解析：因为sin α＋cs α＝0，
所以tan α＝－1.
又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.
而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)，
所以－eq \f(a,b)＝－1，即a－b＝0.
答案：D
2．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是( )
A．[－eq \r(3)，1]
B．(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，1))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)
解析：因为kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，所以k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)．
答案：B
3．(开封模拟)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－eq \f(1,4)的直线方程为( )
A．3x＋4y＋15＝0
B．3x＋4y＋6＝0
C．3x＋y＋6＝0
D．3x－4y＋10＝0
解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－eq \f(3,4)，又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
答案：A
4．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜eq \f(1,5)
B．k＞1或k＜eq \f(1,2)
C．k＞1或k＜eq \f(1,5)
D．k＞eq \f(1,2)或k＜－1
解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，
则－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解得k＞eq \f(1,2)或k＜－1.
答案：D
5．(张家口模拟)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线eq \r(3)x－y＝3eq \r(3)的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－eq \r(3)，n＝1
B．m＝－eq \r(3)，n＝－3
C．m＝eq \r(3)，n＝－3
D．m＝eq \r(3)，n＝1
解析：对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－eq \f(3,n)，即－eq \f(3,n)＝－3，n＝1.
因为eq \r(3)x－y＝3eq \r(3)的倾斜角为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线eq \r(3)x－y＝3eq \r(3)的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－eq \f(m,n)＝－eq \r(3)，m＝ eq \r(3).
答案：D
6．经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为( )
A．5x＋2y＝0或x＋2y＋1＝0
B．x＋2y＋1＝0
C．2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0
D．2x＋5y＝0
解析：当截距为零时，直线方程为y＝－eq \f(2,5)x；当截距不为零时，设直线方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，因为直线过点A(－5,2)，所以eq \f(－5,2b)＋eq \f(2,b)＝1，计算得b＝－eq \f(1,2)，所以直线方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,－\f(1,2))＝1，即x＋2y＋1＝0，所以所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
答案：C
7．若直线y＝kx＋1与以A(3,2)，B(2,3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是________．
解析：由题可知直线y＝kx＋1过定点P(0,1)，且kPB＝eq \f(3－1,2－0)＝1，kPA＝eq \f(2－1,3－0)＝eq \f(1,3)，结合图象可知，当直线y＝kx＋1与以A(3,2)，B(2,3)为端点的线段有公共点时，k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
8．将直线y＝x＋eq \r(3)－1绕它上面一点(1，eq \r(3))沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．
解析：由y＝x＋eq \r(3)－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°，角变为60°，所以所求直线的斜率为eq \r(3).又因为直线过点(1，eq \r(3))，所以直线方程为y－eq \r(3)＝eq \r(3)(x－1)，即y＝eq \r(3)x.
答案：y＝eq \r(3)x
9．已知点A(－1，t)，B(t,4)，若直线AB的斜率为2，则实数t的值为________．
解析：由题意知，kAB＝2，即eq \f(4－t,t＋1)＝2，解得t＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
10．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n＞0)互相垂直，则eq \f(m,n)的取值范围为________．
解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(m,m2＋2m)＝eq \f(1,m＋2)，则0＜eq \f(1,m＋2)＜eq \f(1,2)，故eq \f(m,n)的取值范围为(0，eq \f(1,2))．
答案：(0，eq \f(1,2))
B组 能力提升练
11．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2＋4k,k)，0))，B(0,2＋4k)．依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2＋4k,k)＜0，,2＋4k＞0，))解得k＞0.因为S＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2＋4k,k)))·|2＋4k|＝eq \f(1,2)eq \f(2＋4k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16k＋\f(4,k)＋16))≥eq \f(1,2)×(2×8＋16)＝16.当且仅当16k＝eq \f(4,k)，即k＝eq \f(1,2)时，等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.
答案：B
12．设直线l的方程为x＋ycs θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0，π) .eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) .eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
解析：当cs θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为eq \f(π,2)；
当cs θ≠0时，由直线l的方程，可得斜率k＝－eq \f(1,cs θ).
因为cs θ∈[－1,1]且cs θ≠0，
所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
又α∈[0，π)，所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
综上知，直线l的倾斜角α的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
答案：C
13．(西安临潼区模拟)已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是( )
A．0 B．2
C.eq \r(2) D．1
解析：直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和eq \f(1,a)，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋eq \f(1,a)≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.
答案：D
14．(北京二十四中模拟)已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0, 则点N的坐标是( )
A．(－2，－1) B．(2,3)
C．(2,1) D．(－2,1)
解析：∵点N在直线x－y＋1＝0上，
∴可设点N坐标为(x0，x0＋1)．
根据经过两点的直线的斜率公式，得kMN＝eq \f(x0＋1＋1,x0)＝eq \f(x0＋2,x0).
∵直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－eq \f(1,2)，
∴kMN×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，即eq \f(x0＋2,x0)＝2，解得x0＝2.因此点N的坐标是(2,3)，故选B.
答案：B
15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq \f(|AB|2,2)＝eq \f(12＋32,2)＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.
答案：5
16．已知直线x＝eq \f(π,4)是函数f(x)＝asin x－bcs x(ab≠0)图象的一条对称轴，则直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为________．
解析：f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x－φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a)，将x＝eq \f(π,4)代入，得sin(eq \f(π,4)－φ)＝±1，即eq \f(π,4)－φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得φ＝－kπ－eq \f(π,4)，k∈Z.所以tan φ＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－kπ－\f(π,4)))＝－1＝eq \f(b,a)，所以直线ax＋by＋c＝0的斜率为－eq \f(a,b)＝1，故倾斜角为eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)