(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题6-1 数列递推求通项15类归纳(01)（原卷+解析）学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 通过“累加法”学通项思想1：基础型1
\l "_Tc26924" 【题型二】 通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型2
\l "_Tc12217" 【题型三】 通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型”2
\l "_Tc30563" 【题型四】 通过“累加法”学通项思想4：累积法3
\l "_Tc30563" 【题型五】 周期数列3
\l "_Tc30563" 【题型六】 构造二次等比数列型（待定系数型）4
\l "_Tc30563" 【题型七】 分式递推4
\l "_Tc30563" 【题型八】 构造二阶等差数列型5
\l "_Tc30563" 【题型九】 前n项积型5
\l "_Tc30563" 【题型十】 特殊通项1：“和”型求通项6
\l "_Tc30563" 【题型十一】特殊通项2：正负相间讨论型7
\l "_Tc30563" 【题型十二】特殊通项3：奇偶讨论型7
\l "_Tc30563" 【题型十三】特殊通项4：“求和公式换元”型8
\l "_Tc30563" 【题型十四】特殊通项5：因式分解型8
\l "_Tc30563" 【题型十五】特殊数列6：其他几类特殊数列求通项9
\l "_Tc30563" 【题型十六】压轴小题10
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练10
说明：为了达到更有针对性的复习，大题只提供求通项那一问的解答，略去后续非通项的解答
【题型一】通过“累加法”学通项思想1：基础型
【典例分析】
已知数列中，已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法，如典例分析
2.“等比累加法”，如变式1
3.“裂项累加法”，如变式2
4.无理根式裂项累加法，如变式3
【变式演练】
1.已知数列满足，，则（ ）
A．510B．512C．1022D．1024
2.已知数列{an}满足，，n∈N*，求数列的通项公式an.
3.数列an中，a1=0,an+1−an=1n+n+1且an=9，则n=_________
【题型二】 通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型
【典例分析】
已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．数列的最小项为和 D．数列的最大项为和
【提分秘籍】
基本规律
换元型，是许多复杂通项的基本变换之一
1.换元等差累加法，如典例分析
2.换元对数相消累加法。如变式1
3.同除换元等比累加法，如变式2
4.同除换元裂项累加法，如变式3
【变式演练】
1.在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.
3.已知数列{an}满足a1＝1，an﹣an+1＝，则a10的值是（ ）
A．B．C．D．
【题型三】 通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型”
【典例分析】
已知数列满足，，则数列的通项公式____．
【提分秘籍】
基本规律
1.双系数同除换元，如典例分析。
2.同除裂项型，如变式1
3.同构型同除型，如变式2，也可以裂项分离常数，构造累加法
【变式演练】
1.已知数列满足，则______.
2.已知数列中，，，，则的取值范围是_____________．
【题型四】 累积法
【典例分析】
已知数列满足，，则的值为 ___，的值为_ ____.
【提分秘籍】
基本规律
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
【变式演练】
1.已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
2.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.
3.数列满足：，，则数列的通项公式___________.
【题型五】 周期数列
【典例分析】
已知数列满足，则
A．0B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.周期数列型一：分式型，如典例分析
2.周期数列型二：三阶递推型，如变式1
3.周期数列型三：乘积型，如变式2
4.周期数列型四：反解型，如变式3
【变式演练】
1.数列中，，，，那么
A．1B．2C．3D．-3
2.在数列中，若，并有对且恒成立；则_______________．
3.设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前2019项的乘积为
A．B．1C．2D．.3
【题型六】 构造二阶等比数列型（待定系数型）
【典例分析】
已知数列满足：，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【提分秘籍】
基本规律
形容 为常数）,构造等比数列。特殊情况下，当q为2时，=p，如变式1
【变式演练】
1.数列满足则
A．33B．32C．31D．34
2.已知数列中，，（且），则数列通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【题型七】 分式递推
【典例分析】
在数列中，，，则是这个数列的第________________项．
【提分秘籍】
基本规律
形如 为主(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【变式演练】
1.数列满足：，且 ，则数列的通项公式是=_____．
2.已知在数列中，，，则数列的通项公式为______.
3.已知数列满足．（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前项和为,用数学归纳法证明:.
【题型八】构造二阶等差数列
【典例分析】
数列满足：，且，则数列的前项和__________.
【提分秘籍】
基本规律
形如,构造等差数列，可通过同除构造等差数列
【变式演练】
1.数列满足，（），则__________．
2.数列{an}中，，，则
A．B．C．D．
3.如果数列满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型九】 前n项积型
【典例分析】
已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为____．
【提分秘籍】
基本规律
类比前n项和求通项过程：
1.n=1，得a1
2.n时，
【变式演练】
1.若数列的前n项的积为，则_____________.
2.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，且，，下列结论正确的是（ 多选题 ）
A．B．
C．数列无最大值D．是数列中的最大值
3.已知各项均不为零的数列的前n项积满足，则________，数列的前n项和________．
【题型十】 特殊通项1：“和”型求通项
【典例分析】
已知数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为 ( )
A．5 B． C．D．
【提分秘籍】
基本规律
满足，称为“和”数列，常见如下几种：
1.“和”常数型，如典例分析。
2.“和”等差型，如变式1
3.“和”二次型，如变式2
4.“和”换元型，如变式3
【变式演练】
1.知数列满足：，且a1=2，则________________．
2.已知数列的前项和为，若，且，则
A．－5B．－10C．12D．16
3.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则______.
【题型十一】 特殊数列2：正负相间讨论型
【典例分析】
已知数列中，，，则___________.
【提分秘籍】
基本规律
利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
【变式演练】
1.已知数列满足，则___________.
2.数列满足，前16项和为540，则 .
3.已知数列满足，则的前40项和为__________．
【题型十二】 特殊数列3：奇偶讨论型
【典例分析】
已知数列的前项和为，且，，则
A．200B．210C．400D．410
【提分秘籍】
基本规律
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列
【变式演练】
1.已知数列的首项，且满足，则=________．
2.在数列中，，，则下列结论成立的是（ ）
A．存在正整数，使得为常数列
B．存在正整数，使得为单调数列
C．对任意的正整数，集合为有限集
D．存在正整数，使得任意的、，当时，
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
【题型十三】 特殊数列4：“求和公式换元”型
【典例分析】
已知数列满足.求数列的通项公式.
【提分秘籍】
基本规律
和共式如，把an任意换元可得
【变式演练】
1.若数列满足,,则______ ．
2.已知数列满足，，则_________________．
3.在数列中，, 则数列的通项公式_____．
【题型十四】 特殊数列5：因式分解型求通项
【典例分析】
已知正项数列的前项和满足=,
(1)求数列的通项公式;
(2)设=是数列的前项和,证明:对于任意都有.
【变式演练】
1.设是首项为1的正项数列，且，则____，_____.
2.已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【题型十五】 特殊数列6：其他几类特殊数列求通项
【典例分析】
已知正项数列满足，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：.
【提分秘籍】
基本规律
1.二次型：形如，如典例分析
2.三阶递推：形如型，多在大题中，有引导型证明要求，如变式1
3.“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”如变式2
4.数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程），如变式3
【变式演练】
1.在数列中，，，.
（1）证明为等比数列；
（2）求.
2.已知和满足，，，．
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式；
3.设正数数列的前项和为，且，试求，并用数学归纳法证明你的结论.
【题型十六】 压轴小题
【典例分析】
1.已如数列，，且，则_____，______.
2.已知数列与满足，且，则__________．
3.已知数列是共有k个项的有限数列，且满足，若，，，则_.
4.已知数列满足，且，则__________.

5.已知数列满足，且，则数列的通项公式__________．
1.在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
2.已知数列中，，，则该数列的通项_______.

3.已知数列中，，，则（ ）
A．3B．C．D．
4.已知数列{an}中，，．（1）若，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；（3）若，求数列的前n项和Sn．

5.已知数列满足，，则__________．
6.已知数列中，且，则__________．

7.若是正项递增等比数列，表示其前n项之积，且，则当取最小值时，n的值为_________.

8. 数列满足，则的前项和为
9.已知数列满足，则的通项公式______．

10.数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.

11.已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;