(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题9-2 轨迹八类求法（原卷+解析）学案

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TOC \ "1-3" \h \u TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 直接法求轨迹1
\l "_Tc26924" 【题型二】 相关点代入法求轨迹2
\l "_Tc12217" 【题型三】 定义法求轨迹2
\l "_Tc30563" 【题型四】 交轨法求轨迹3
\l "_Tc30563" 【题型五】 参数求轨迹4
\l "_Tc30563" 【题型六】 立体几何中的轨迹4
\l "_Tc30563" 【题型七】 向量与求轨迹6
\l "_Tc30563" 【题型八】 新高考：复数中求轨迹7
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练8
一般情况下，求轨迹题，多在解析几何大题第一问，小题不太多。本专题例题所选大题，大多把第二问隐去。第二问放到下一个专题中归纳细讲。
【题型一】直接法求轨迹
【典例分析】
设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
可以直接列出等量关系式
解题步骤：
1.根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）
2.根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
3.注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件
【变式演练】
1.若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
2.已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝6|eq \(NP,\s\up6(→))|.(1)求动点P的轨迹C的方程；
【题型二】 相关点代入法
【典例分析】
已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．
【提分秘籍】
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代换关系。
求谁设谁，设所求点坐标为（x，y）
所依赖的点称之为“参数点”，设为或等
“参数点”满足某个（些）方程，可供代入
寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。
代入方程，消去参数值
【变式演练】
1.已知抛物线 的焦点为.
(1)点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;
2.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求动点的轨迹曲线的方程；
3.设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且eq \(MN,\s\up6(→))＝2eq \(MP,\s\up6(→))，eq \(PM,\s\up6(→))⊥eq \(PF,\s\up6(→))，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
【题型三】 定义法
【典例分析】
已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
【提分秘籍】
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．
椭圆，双曲线，抛物线的定义
一些特殊图像的定义，如阿波罗尼斯圆
两个圆内外切情况下，较多与圆锥曲线定义有关
【变式演练】
1、已知两个定圆O1:(x+2)2＋y2＝1：和O2(x-2)2＋y2＝4，它们的半径分别是1和2，.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，求动圆圆心M的轨迹方程，
2、已知点，直线，点是直线上动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（ ）
双曲线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆
3.已知点满足条件.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
【题型四】 交轨法
【典例分析】
如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。
(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;
【提分秘籍】
交轨法，即轨迹交点法。
所求点满足条件方程1
所求点满足条件方程2
动点是两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当的技巧消去参数得到轨迹的普通方程
参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.
【变式演练】
1.已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。
2.由圆外一定点向圆做割线，交圆周于A、B两点，求弦AB中点的轨迹
【题型五】 参数法
【典例分析】
如图3所示，过双曲线C：的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程。
【提分秘籍】
解题步骤：
1 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；
2.消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。
【变式演练】
1.已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
3.设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
【题型六】 立体几何中的轨迹
本方法可参考立体几何专题对应的轨迹题型和方法总结
【典例分析】
已知正方体的棱长为a，定点M在棱上（但不在端点A，B上），点P是平面内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为，则点P的轨迹所在曲线为（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
【提分秘籍】
立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入
建系，利用空间坐标系求出方程。
通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨迹转化为平面轨迹求解。
【变式演练】
1.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，并且平面，则动点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．线段
2.在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方体（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.
3.如图，正方体中，为边的中点，点在底面和侧面上运动并且使，那么点的轨迹是（ ）
A．两段圆弧B．两段椭圆弧
C．两段双曲线弧D．两段抛物线弧
【题型七】 向量与轨迹
【典例分析】
已知O，A，B为平面上三点，若，，动点P和实数，满足，，，则动点P轨迹的测度是__________.（注：当动点的轨迹是曲线时，其测度指其长度；当动点的轨迹是平面区域时，其测度指该区域面积.）
【提分秘籍】
向量背景下求轨迹
1.向量几何意义
2.向量坐标运算或者数量积运算
【变式演练】
1.已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为___________.
2.如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当P在C点时，，
B．当时，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．当P是线段CE的中点时，，
3.已知是所在平面内一点，以下说法正确的是（ ）
A．若动点满足，则点的轨迹一定通过的重心．
B．若点满足，则点是的垂心．
C．若为的外心，且，则是的内心．
D．若，则点为的外心
【题型八】 复数中的轨迹（新高考）
【典例分析】
已知复平面内点对应的复数为，点对应的复数为，．若，在的轨迹上任取一点，求的面积取值范围．
【提分秘籍】
复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求
利用复数的模运算转化
利用复数的几何意义
【变式演练】
1.若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
2.已知复数满足，则的轨迹为（ ）
A．线段B．直线
C．椭圆D．椭圆的一部分
3.设非零复数是复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（ ）
A．双曲线B．圆C．一条直线D．抛物线
1．（上海市徐汇区2020-2021学年上学期期末）设是定直线的法向量，定点在直线上，定点在直线外，为一动点，若点满足，则动点的轨迹为（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
2.（安徽省黄山市2020-2021年上学期）已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
3.（山东省潍坊市2021-2022学年上学期高中学科核心素养测评）已知两定点，，动点与､的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．4
4.（福建省福州高级中学2021-2022学年上学期期中）已知椭圆（a>b>0）的两个焦点分别为F1，F2，设Р为椭圆上一动点，角的外角平分线所在直线为l，过点F2做l的垂线，垂足为S，当点Р在椭圆上运动时，点S的轨迹所围成的图形的面积为：（ ）
A．a2B．4a2C．'D．
5.（2021·湖南省郴州市9月月考）试运用类似上面的解法解下列问题：求函数的值域．
6.（新疆克拉玛依市2022届高三第三次模拟检测数学（理）试题）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：
如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.
7.（四川省绵阳市绵阳第一中学2021-2022学年上学期期中数学试题）满足的点的轨迹是（ ）
A．圆B．双曲线C．直线D．抛物线
8.（北京科技大学附属中学2020-2021学年上学期）已知定点、，是动点且直线、的斜率之积为，则动点的轨迹可能是（ ）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
9.( 福建省泉州科技中学2022届高三上学期期中考试数学试题)如图，设点A，B的坐标分别为，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求△MON的面积.
10.( 福建省莆田第二中学2021-2022学年12月阶段性检测数学试题)在平面直角坐标系中，动圆经过点，且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）直线与曲线交于、两点，若以为直径的圆经过点（为坐标原点），求直线的方程.