(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题10-3 概率小题基础（原卷+解析）学案

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 古典概型1
\l "_Tc26924" 【题型二】 几何概型1：长度角度型2
\l "_Tc12217" 【题型三】 几何概型2：面积型2
\l "_Tc30563" 【题型四】 几何概型3：体积型4
\l "_Tc30563" 【题型五】 几何概型4：坐标系型5
\l "_Tc30563" 【题型六】 几何概型5：线性规划型6
\l "_Tc30563" 【题型七】 几何概型6：近似估值应用型7
\l "_Tc30563" 【题型八】 几何概型7：导数函数等8
\l "_Tc30563" 【题型九】 几何概型3：微积分型（理科）8
\l "_Tc30563" 【题型十】 圆锥曲线中的几何概型9
\l "_Tc30563" 【题型十一】 综合应用10
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练11
【题型一】 古典概型
【典例分析】
已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
P(A)＝eq \f(事件A包含的可能结果数,试验的所有可能结果数)＝eq \f(m,n).
【变式演练】
1.已知函数，其中，则函数在上是增函数的概率为
A．B．C．D．
2.．投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于
A．B．C．D．
3.笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（ ）
A．B．C．D．
【题型二】 几何概型1：长度角度
【典例分析】
在矩形中，，在边上随机取一点，若是最大边的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.如图所示，两半径相等的圆，圆相交，为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段上任取一点，则在线段上的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为
A．B．C．D．
3.任取，直线与圆相交于两点，则的概率为
A．B．C．D．
【题型三】 几何概型2：面积
【典例分析】
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段，过点作的垂线，并用圆规在垂线上截取，连接；以为圆心，为半径画弧，交于点；以为圆心，以为半径画弧，交于点，则点即为线段的黄金分割点．如图所示，在中，扇形区域记为Ⅰ，扇形区域记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，（参考数据：）则
A．B．
C．D．
2.公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为1，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形（图中阴影部分）区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
3.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为
A．B．C．D．
【题型四】 几何概型3：体积
【典例分析】
如图来自某中学数学研究性学习小组所研究的几何图形，大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有1个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，小球相交部分(图中阴影部分)记为Ⅰ，大球内、小球外的部分(图中黑色部分)记为Ⅱ，若在大球中随机取一点，此点取Ⅰ，Ⅱ的概率分别记为，，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在正四面体体积为，现内部取一点，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.某四面体的三视图如下图所示，已知其正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，记命题从该四面体的四个面所在的平面中任取两个，取到的两个平面互相垂直的概率为；命题设该四面体的四个顶点恰好是一个正方体的顶点，从这个正方体中任取一点，取自四面体内的概率为．则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
3.如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【题型五】 几何概型4：坐标系型
【典例分析】
甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
两个事件之间相互独立的，可以设两个变量，构造坐标系
【变式演练】
1.甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多少
A．B．C．D．
2.国庆节前夕，甲、乙两同学相约10月1日上午8:00到8:30之间在7路公交赤峰二中站点乘车去红山公园游玩，先到者若等了10分钟还没有等到后到者，则需发短信联系．假设两人的出发时间是独立的，在8:00到8:30之间到达7路公交赤峰二中站点是等可能的，则两人不需要发短信联系就能见面的概率是
A．B．C．D．
3.近期，新冠疫苗第三针加强针开始接种，接种后需要在留观室留观满半小时后才能离开.甲､乙两人定于某日上午前往同一医院接种，该医院上午上班时间为7：30，开始接种时间为8：00，截止接种时间为11：30.假设甲､乙在上午时段内的任何时间到达医院是等可能的，因接种人数较少，接种时间忽略不计.则甲､乙两人在留观室相遇的概率是（ ）
A．B．C．D．
【题型六】 几何概型5：线性规划
【典例分析】
在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
多限制条件，构造线性规划求解
【变式演练】
1.定义：在区域内任取一点，则点满足的概率为
A．B．C．D．
2.若，满足不等式组，则成立的概率为
A．B．C．D．
3.在区域内任取一点，则满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
【题型七】 几何概型6：近似估值应用
【典例分析】
关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率的值在与之间，成为世界上第一把圆周率的值精确到位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平.我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子，在正方形中的颗豆子中，落在圆内的有颗，则估算圆周率的值为
A．B．C．D．
2.为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[−1,1]的均匀随机数x1,x2,⋯,x90和y1,y2,⋯,y90，在90组数对中，经统计有25组数对满足{y≤tanπ4x(x+1)2+(y−1)2≤4，则以此估计的π值为________．
3.关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的，能与构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数，估计的值.那么可以估计的值约为
A．B．C．D．
【题型八】 几何概型7：导数函数等综合
【典例分析】
设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知 都是定义在R上的函数, ，在有穷数列 (n=1,2,…,10）中，任意取前k项相加，则前k项和不小于的概率是
A．B．C．D．
2.已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为
A．B．C．D．
【题型九】 几何概型8：微积分型（理）
【典例分析】
如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
基本规律
利用定积分求面积算概率，此专题可做了解
【变式演练】
1.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
A．B．C．D．
2.某数学爱好者设计了一个商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系，则商标的边缘轮廓AOC恰是函数的图像的一部分，边缘轮廓线AEC恰是一段所对圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率为
A．B．C．D．
3.不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则的概率为
A．B．C．D．
【题型十】 圆锥曲线中的几何概型
【典例分析】
已知在双曲线中，参数都通过随机程序在区间上随机选取，其中，则双曲线的离心率在之内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知在椭圆方程中，参数都通过随机程序在区间上随机选取，其中，则椭圆的离心率在之内的概率为
A．B．C．D．
2.已知直线y=k(x+14)与曲线y=x恰有两个不同的交点，记的所有可能取值构成集合，是椭圆x216+y29=1上一动点，点P1(x1,y1)与点关于直线y=x+1对称，记y1−14的所有可能取值构成集合，若随机从集合中分别抽出一个元素λ1,λ2，则λ1>λ2的概率是___．
【题型十一】 综合应用
【典例分析】
中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为
A．B．C．D．
【变式演练】
1.如下图所示，阴影部分由六个全等的三角形组成，每个三角形是底边为圆的半径，顶角为的等腰三角形，若在圆内随机取一点，则该点落到阴影部分内的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.如图，在矩形ABCD中，，，在矩形ABCD中随机取一点，则点与，的距离都不小于2的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.在曲线上及其内部随机取一点，则该点取自圆上及其内部的概率为______．
1.已知圆：与轴负半轴交于点，圆与直线：交于两点，那么在圆内随机取一点，则该点落在内的概率为
A．B．C．D．

2.（理）已知实数满足,则函数存在极值的概率为
A．B．C．D．

3.在面积为 1 的正方形中任意取一点 ，能使三角形，，，的面积
都大于的概率为
A．B．C．D．

4.，表示不大于的最大整数，如，，且，，，，定义：.若，则的概率为
A．B．C．D．

5.在平面直角坐标系中，设，，向中随机投一点，则所投点在中的概率是（ ）
A．B．C．D．
6.将一颗骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为，设直线与平行的概率为，相交的概率为，则圆上到直线的距离为的点有
A．1个B．2个C．3个D．4个

7.在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为
A．B．C．D．

8.在区间内任取一个数，使得不等式成立的概率为（ ）
A．B．C．D．

9.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）
A．B．C．D．

10.由于2020年湖北省景区免费向外开放，某校高三3个毕业班决定组织学生们前去武汉参观“黄鹤楼公园”“武汉归元寺”“武汉博物馆”，若每个景区至少有一个班级参观，每个班级至少参观一处景区且最多参观一个景区，则甲班级不参观“武汉归元寺”的概率为（ ）
A．B．C．D．

11.萤石晶体常呈立方体、八面体或立方体的穿插双晶，集合体呈粒状或块状．如图是某萤石晶体的八面体结构，若各面均为边长为1的正三角形，为正方形，则在四边形内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为（ ）
A．B．C．D．

11.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________

12.若点集，设点集
现向区域M内任投一点，则点落在区域P内的概率为（ ）
A．B．C．D．