(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题2-3 零点（原卷+解析）学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 水平线法1
\l "_Tc26924" 【题型二】 基础图像交点法2
\l "_Tc12217" 【题型三】 分段函数含参型2
\l "_Tc30563" 【题型四】 直线临界切线型3
\l "_Tc30563" 【题型五】 “放大镜”函数零点型4
\l "_Tc30563" 【题型六】 函数变换5
\l "_Tc30563" 【题型七】 对数函数绝对值型5
\l "_Tc30563" 【题型八】 高斯函数型6
\l "_Tc30563" 【题型九】 与三角函数结合求零点7
\l "_Tc30563" 【题型十】 周期函数7
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练8
【题型一】 水平线法：参变分离
【典例分析】
已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则函数无零点 B．若，则函数有零点
C．若，则函数有一个零点 D．若，则函数有两个零点

【提分秘籍】
基本规律
1.分离参数。得常数函数（含参水平线）
2.函数画图，需要运用到复合函数单调性，
【变式演练】
1.已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是___

2.已知函数f(x)=|lg2x|,02，若函数g(x)=f(x)−m存在四个不同的零点，则实数m的取值范围是_______.
3.已知函数f(x)=|lg2x|,x>0|x+2|−1,x≤0,若函数y=f(x)−m+1有四个零点,零点从小到大依次为a,b,c,d,则a+b+cd的值为( )
A．2 B．−2 C．−3 D．3

【题型二】 基础图像交点法
【典例分析】
设函数，的零点分别为，则（ ）

【提分秘籍】
基本规律
1.幂、指、对、对勾、双曲等函数之间图像交点。
2.可以借助二分法、单调性奇偶性等寻找交点所在区间。
【变式演练】
1.已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.当时，函数有零点 B.若函数有零点，则
C.存在，函数有唯一的零点 D.若函数有唯一的零点，则

2.设f(x)={4x−4(x≤1)x2−4x+3(x>1)，g(x)=lg2x，则ℎ(x)=f(x)−g(x)的零点个数是__________．

3.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.

【题型三】 分段函数含参
【典例分析】
已知，若，方程的解集是______；若方程的解集中恰有3个元素，则a的取值范围是______.
【提分秘籍】
基本规律
属于“动态函数”画图法
1.参数在分段函数定义域分界点处。
2.函数图像的“动态”讨论点，多从特殊点，交点，单调性改变点，奇偶性等处寻找。
3.引导学生多画分解图。
【变式演练】
1.已知函数f (x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有（ ）
A．2B．3C．4D．5

2.设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.

3.已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．

【题型四】 研究直线斜率（临界是切线）寻找交点关系
【典例分析】
已知函数,则函数的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4

【提分秘籍】
基本规律
当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。
1.交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。
2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，这样可以简化一些计算。
3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握。
【变式演练】
1.已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

3.已函数，当时，，若在区间内，有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．

【题型五】 “放大镜”函数的交点
【典例分析】
已知函数为偶函数，且当时，，则当时，方程的根有（ ）个
A．B．C．D．

【提分秘籍】
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【变式演练】
1.定义在上的函数满足：①当时， ②.
（i） _____；
（ii）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_______.

2.已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．

3.对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取，都有；
（2）函数在上单调递增；
（3），对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.

【题型六】 函数变换：
【典例分析】
已知函数，若关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，7]B．（6， +∞）C．（2 +∞）D．[8， +∞）

【提分秘籍】
基本规律
利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等等函数图像特征性质。
【变式演练】
1.设函数，若方程在区间内有且仅有两个根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2.已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数的取值范围是___________.

3.已知函数对于恒有，若与函数的图像的点交为，则=____________

【题型七】 对数函数绝对值“积定法”
【典例分析】
设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

【提分秘籍】
基本规律
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
【变式演练】
1.已知， 是方程的两个解，则（ ）
A. B. C. D.

2.已知函数f(x)=lg2x,x>0x2+2x+2,x≤0，方程f(x)−b=0有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4，且满足： x1A．(−∞,−2) B．[−3,−22] C．(−3,−2) D．(−∞,−22]

3.已知函数，（其中），若的四个零点从小到大依次为，，，，则的值是（ ）
A．16B．13C．12D．10

【题型八】 高斯函数型
【典例分析】
设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

【提分秘籍】
基本规律
取整函数（高斯函数）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心头”，一端是“实心头”
3.还可以引入“四舍五入”函数作对比
【变式演练】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（ ）.
A．2B．3C．4D．5

2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A．B．0C．1D．2

3.高斯函数（表示不超过实数x的最大整数），若函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．

【题型九】 与三角函数结合
【典例分析】
设a∈R，函数f(x)，若函数f(x)在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）

【提分秘籍】
基本规律
与三角函数结合时，三角函数提供了
1.多中心，多对称轴。
2.周期性
3.正余弦的有界性。
4.正切函数的“渐近线”性质
【变式演练】
1.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2.若函数有且只有一个零点，又点在动直线上的投影为点若点，那么的最小值为__________.

3.函数在上的所有零点之和等于______.

【题型十】 借助周期性
【典例分析】
函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．

【提分秘籍】
基本规律
本专题，讲清楚【典例分析】这道题，在周期函数中，与切线的关系。可以利用周期平移对称等距等等函数性质，求出对应的切线截距。当做选择题来分析讲解(虽然本题可以“秒杀”排除）
【变式演练】
1.定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为．
A．B．
C．D．

2.已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．

3.已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____

1.（天津市滨海新区2020-2021学年下学期）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

2.（多选题）（黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年上学期10月）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数k的值可以是（ ）
A．0B．C．D．1

3.（多选题）（河南省南阳市2018-2019学年下学期）关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）．
A．存在实数，使得函数恰有2个零点；
B．存在实数，使得函数恰有4个零点；
C．存在实数，使得函数恰有5个零点；
D．存在实数，使得函数恰有8个零点；


4.（北京市首师大附中2020-2021学年上学期）给出定义：若（其中为整数），则叫做与实数“亲密的整数”记作，在此基础上给出下列关于函数的四个说法：
①函数在是增函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数在上单调递增；
④当时，函数有两个零点.
其中说法正确的序号是__________.

5.（山东省新泰市第一中学东校2021-2022学年高三上学期第一次月考）已知函数，其中，若与的图像有两个交点，则的取值范围是_________

6.（贵州省蟠龙高级中学2020-2021学年上学期第二次月考）对于实数和，定义运算：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________.

7.（重庆市南开中学校2022届高三上学期第一次月考）设函数则函数的零点个数为_______ ；若，且函数有偶数个零点，则实数的取值范围是____________．

8.（2020届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第五次联考）已知函数满足，函数有两个零点，则的取值范围为__________．

9.（江西省奉新县第一中学2020届高三上学期第二次月考）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.

10.（陕西省安康市2021-2022学年上学期期中）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

11.（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期月考（四））高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（ ）
A．函数的值域是B．函数是周期函数
C．函数的图象关于对称D．方程只有一个实数根

12.（2020届河北省新乐市第一中学高三下学期高考冲刺）已知函数，，，已知时，函数的所有零点和为21，则当时，函数的所有零点的和为__________．