专题16.5 二次根式加减（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

这是一份专题16.5 二次根式加减（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案，共6页。学案主要包含了知识回顾，学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华等内容，欢迎下载使用。

1、二次根式的概念：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，
2、最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
【学习目标】
概念：同类二次根式，法则：二次根式的加减法法则，
会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【要点梳理】
要点一、同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
特别说明：
(1)判断同类二次根式的方法：先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；相同就是二次根式；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，不受其他因素影响判断.
2.合并同类二次根式
方法：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
特别说明：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
要点二、二次根式的加减
1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：
1)化简（将每个二次根式都化简成为最简二次根式）；
2)判定（判断哪些二次根式是同类二次根式）；
3)合并（同类二次根式系数相加减）.
要点三、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
【典型例题】
类型一、同类二次根式
1. （2020·上海八年级期中）二次根式、中与是同类二次根式的是______．
【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得出结论．
解：∵=，=，=2
∴与是同类二次根式的是
故答案为：．
【点睛】此题考查的是同类二次根式的判断，掌握二次根式的性质和同类二次根式的定义是解题关键．
举一反三：
【变式1】（2020·上海浦东新区·八年级期中）若最简二次根式2与3是同类二次根式，则x＝_____．
【答案】﹣2或1
【分析】根据同类二次根式定义列式计算即可；
解：因为最简二次根2与3是同类二次根式，
所以x+7＝9﹣x2，且x+7≥0、9﹣x2≥0，
解得x1＝﹣2．x2＝1，
故答案是：﹣2或1．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．
【变式2】（2020·灵宝市实验中学八年级月考）已化简的和是同类二次根式，则a+b＝_____．
【答案】
【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．
解：已化简的和是同类二次根式，
可得：，
解得：，
把a＝，b＝代入a+b＝
故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式定义以及建立方程组求出解，再代入求值的问题，这类问题是典型题目．
类型二、二次根式的加减运算
2.计算
7．（2020·高台县南华初级中学八年级期末）计算
（1）－+ （2）
解：（1）原式；
（2）原式．
【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.
举一反三：
【变式1】（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）
（1）
（2）
解：（1）
；
（2）
；
类型三、二次根式的混合运算
3．（2019·鄄城县箕山镇箕山中学八年级期中）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式=
（2）原式=
【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4、（2020·遵化市第三中学八年级月考）观察下列等式：
解答下列问题：
（1）写出一个无理数，使它与的积为有理数；
（2）利用你观察的规律，化简；
（3）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）由平方差的运算法则，即可得到答案；
（2）找出题目中的规律，把分母有理化，即可得到答案；
（3）先把分母有理化，然后进行化简，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴这个无理数为：；
（2）==；
（3）
=
=．
【总结升华】本题考查了二次根式的运算法则，分母有理化，平方差运算，熟练掌握运算法则，正确的发现题目中的规律是解题关键．数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.
举一反三：
【变式】（2020·忠县乌杨初级中学校八年级月考）阅读下面的问题：
；
；
试求：(1)； (2)
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）首先分母有理化，然后在根据二次根式运算法则计算即可；
（2）首先根据平方差公式进行分母有理化，然后根据二次根式运算法则计算即可．
解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=
=
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除，平方差公式，关键是掌握平方差运算法则．