专题17.3 勾股定理逆定理（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题17.3 勾股定理逆定理（知识讲解）

【知识回顾】

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

【要点梳理】

要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

         （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）       首先确定最大边（如）.

（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

要点三、互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.

要点四、勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；

【典型例题】

类型一、原命题与逆命题

1．下列命题中逆命题是真命题的是_______________．（写序号）

（1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

（2）等腰三角形两腰上的高线相等；

（3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足；

（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．

（5）全等三角形的面积相等．

【答案与解析】

1．（1）、（2）、（4）

解:（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题；

（2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题；

（3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足，逆命题是若三条线段满足，则这三条线段是三角形的三边，是假命题；

（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题；

（5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；

故答案为：（1）（2）（4）

【总结升华】本题考查的是逆命题的概念、涉及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、三角形的三边的关系、角平分线的的判定、全等三角形的判定等知识，到命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

举一反三：

【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．

【答案】①④

提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长满足”也是正确的.

类型二、勾股定理的逆定理 

2、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．

（1）＝7，＝24，＝25；

（2）＝，＝1，＝；

（3），，()；

【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．

【答案与解析】

解：（1）∵  ，，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形是直角三角形．

   （2）∵  ，，，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形不是直角三角形．

    （3）∵  ，

∴  ，．

∵，

，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形是直角三角形．

【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．

举一反三：

【变式1】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，．

【答案】

解：由于，因此为最大边，只需看是否等于即可．

∵  ，，，∴  ，

∴  以线段为边能构成以为斜边的直角三角形．

【变式2】（2014春•永州校级期中）下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8．其中可以为直角三角形三边长的有　     　．（把所有你认为正确的序号都写上）

【答案】①②；

解：①∵52+122=132，能构成直角三角形；

②72+242=252，能构成直角三角形；

③12+22≠42，不能构成直角三角形；

④52+62≠82，不能构成直角三角形．

所以①②．

故答案为：①②．

3、已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．

【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．

【答案与解析】

解：连接AC．

∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，

∴AC==，

在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，

∴△ACD是直角三角形，

∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，

=×1×2+××2，

=1+．

故四边形ABCD的面积为1+．

【总结升华】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．

举一反三：

【变式】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．

【答案】

解：EC⊥EB．

过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD是矩形，

在Rt△BCF中，可得CF＝．

则AD＝CF＝，故DE＝AE＝AD＝．

在Rt△ABE和Rt△DCE中，

，．

∴  ．

∵  BC＝3，∴  ．

∴  ∠CEB＝90°，∴  EB⊥EC．

类型三、勾股定理逆定理的实际应用

4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了．

【答案与解析】

解：根据题意可画出上图，

PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，

在△PQR中，

，

∴  ．

∴  △PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．

又∵  “远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，

∴  ∠RPN＝45°．

由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．

【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．

【变式】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米．

（1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．

（2）求新路比原路少多少干米？

解:（1）∵在中，，

又，

是以为直角的直角三角形，

，

∵点到直线垂线段的长度最短，

是村庄C到河边的最近路．

（2）设，

千米，

千米，

在中，由勾股定理得：，

，

解得，

千米，

比少千米．

【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．