专题17.4 勾股定理逆定理（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题17.4 勾股定理逆定理（专项练习）

一、单选题

1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（    ）

A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，16 D．3，4，5

2．在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ）．

A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④

3．具备下列条件的三角形，不是直角三角形的是（    ）

A． B．

C．三角形三边分别为7，24，25 D．

4．如图，在等腰Rt△ABC，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为（　　　）

A．10 B．16 C．40 D．80

5．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，三点在边长为1的正方形网格的格点上，则的度数为（  ）

A． B． C． D．

7．点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ）

A．4 B．2 C．1 D．0

8．如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（    ）

A．南偏东30° B．南偏东40° C．南偏东50° D．南偏东60°

二、解答题

9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c来表示，且a、b、c满足关系式：+|a﹣b +1|+（c﹣9）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．

10．如图，在四边形ABCD中，，，，．求的度数．

11．求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB =3m，BC =12m，CD =13m，DA= 4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

12．如图网格中，已知，都是格点，请在所给的网格内（含边界）按要求画格点．

（1）在图1中画一个，使格点满足．

（2）在图2中画一个，使格点满足面积为5．

13．如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．

14．已知，如图四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求：四边形ABCD的面积．

15．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2，求证：AB∥DC．

16．在图中，A（1，3），B（﹣2，0）和C（2，﹣4）是一个直角三角形的顶点．

（1）求AB和BC的长度，答案以根式表示；

（2）求△ABC的面积．

17．如图1，四边形，，，，，．

（1）求四边形的面积；

（2）如图2，以为坐标原点，以、所在直线为轴、轴建立直角坐标系，点在轴上，若，求的坐标．

三、填空题

18．已知直角坐标平面内的Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），则直角顶点是_________．

19．若三角形三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是____.

20．已知的三边长分别是，则的面积是__________．

21．如图，有一块四边形草地，，.则该四边形草地的面积是___________．

22．某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=6米，BC=8米，CD=24米，DA=26米，且AB⊥BC，则这块草坪的面积是________平方米．

23． 学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为______．

24．有一个三角形两边长为3和4，要使该三角形为直角三角形，则第三边长为________

25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.

26．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．

27．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm．

28．如图，在四边形ABCD中，，，，，，那么四边形ABCD的面积是___________．

29．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AD=3，若∠B=90°，则∠BCD的度数为____________________．

30．己知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于_____________.

31．，，是的三边长，满足关系式，则的形状为___________．

参考答案

1．C

解：A：1+2=5=（），可以作为直角三角形的边长；

B：6+8=100=10，可以作为直角三角形的边长；

C：5+12=169≠16，不能作为直角三角形的三边长；

D：3+4=25=5，可以作为直角三角形的边长．

故选：C．

2．D

【详解】

①．，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，故①能确定．

②．∵，即，

∴．

∴是直角三角形，故②能确定．

③．∵，，

∴，即．

∴是直角三角形，故③能确定．

④．，设，则，，

∵，即，

解得，

∴，

∴是直角三角形，故④能确定．

故选：D．

3．D

解：、，

，解得，

此三角形是直角三角形，故本选项错误；

、，

设，则．

，

，解得，

，

此三角形是直角三角形，故本选项错误；

、，

满足勾股定理，

此三角形是直角三角形，故本选项错误；

、，

设，则，，

，

，解得，

．

此三角形不是直角三角形，故本选项正确．

故选：．

4．C

解：如图，连结OO′．

∵△CBO≌△ABO′，
∴OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，
∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，
∴∠O′BO=90°，
∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，
∴O′O=8．
在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，
∴OA2+O′O2=O′A2，
∴∠AOO′=90°，
∴S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=×6×8+×4×4=24+16=40．
故选：C．

5．D

解：，

，

∴AB2+AC2=BC2=25，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠BAC=90°．
故选：D．

6．B

【详解】

连接BC，

由勾股定理得：，，，

∵，

∴，且AB=BC，
∴∠ABC=90°，

∴∠BAC=45°，
故选：B．

7．B

解：分三种情况考虑（如图所示）：

当∠OAB＝90°时，m＝0；

当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；

当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，

解得：m1＝1，m2＝4．

综上所述：m的值可以为0，5，1，4．

故选B．

8．A

解：如图

由题意可得

是直角三角形，即，

 所以乙船的航行方向是南偏东30°.

故选：A.

9．△ABC是直角三角形；理由见解析．

解：△ABC是直角三角形．

理由是：据题意得：a﹣40＝0，a﹣b +1＝0，c﹣9＝0，

解得：a＝40，c＝9，b＝41，

∵a2+c2＝402+92＝1681， b2＝412＝1681，

∴a2+c2＝b2，

∴△ABC是直角三角形．

10．

【详解】

连接AC，

在Rt△ABC中，，，

∴AC=，，

∵，，

∴，

∴△ACD是直角三角形，，

∴．

．

11．7200元

解：连接BD，

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，
即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+•DB•BC，
=×4×3+×12×5=36．
所以需费用36×200=7200（元）．

12．（1）见解析；（2）见解析．

（1）如图，，即是所求作的三角形．

（2）如图，

是直角三角形

故即是所求作的三角形.

13．84

解：，

是直角三角形，

，

在中，，

，

．

因此的面积为84．

故答案为84．

14．36

解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，

∴AC=

∵AC2＋CD2=25＋144=169=AD2

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°

∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD

=AB·BC＋AC·CD

=×4×3＋×5×12

=36

15．证明：∵在Rt△ABD中，，AD=10，AB=8，

∴BD=，

∵BC=8，CD=，

∴,

∴△BDC是直角三角形，

∴，
 

∴．

．

16．（1）；；（2）12

【详解】

（1）AB=，

BC=；

（2）∵ AC=，

且AB2+BC2=AC2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，

则△ABC的面积为．

17．（1）36；（2）（0，0）或（0，8）

解：（1）连接BD，

∵在△ABD中，∠DAB=90°，

∴BD2=AB2+AD2=32+42=25，

∴BD=5，

∵在△DBC中，DB2+BC2=52+122=25+144=169，CD2=132=169，

∴DB2+BC2=CD2，

∴△DBC是直角三角形，

∴∠DBC=90°，

∴S四边形ABCD=S△DAB+S△DBC=×3×4+×5×12=36．

（2）∵S△PBD=S四边形ABCD，

∴•PD•AB=×36=6，

∴•PD×3=6，

∴PD=4，

∵D（0，4），点P在y轴上，

∴P的坐标为（0，0）或（0，8）．

18．B

解：∵A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），

∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10，AC2=（3-4）2+（-4-3）2=50，BC2=（3-1）2+（-4-2）2=40，

∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC为直角三角形，

∴∠B=90°，即该直角三角形的直角顶点为B．

故答案为B．

19．

【详解】

因为，所以此三角形是直角三角形，

设最长边上的高为，

所以该三角形的面积为，解得.

故答案为.

20．24

【分析】

解：∵

∴是直角三角形

∴的面积．

故答案为：24．

21．

【详解】

连结AC，

在△ABC中，

∵∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，

∴AC＝＝5（m），

S△ABC＝×3×4＝6（m2），

在△ACD中，

∵AD＝13m，AC＝5m，CD＝12m，

∴AD2=AC2+CD2，

∴△ACD是直角三角形，

∴S△ACD＝×5×12＝30（m2）．

∴四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ACD＝6＋30＝36（m2）

故答案为：．

22．

解：连接AC，

∵在△ABC中，AB⊥BC即∠ABC=90°，AB=6，BC=8,

∴,,

又∵CD=24，DA=26，

∴,

∴,

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°

∴

∴

故答案为：144.

23．288

解：∵，

∴，

∵，

∴为直角三角形，

∴

，

故答案是：288．

24．5或

解：①当3和4是直角边时，第三边为；②当4为斜边时，第三边长为．

25．6

解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，

∵AB=5，AC=4，

∴，

S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积

=

=

=

=

=

=6.

26．3或2或．

解：作BF⊥AD于F，

 则四边形DEBF为矩形，

 ∴BF=DE=4，DF=BE=1，

 ∴AF=AD-DF=3，

由勾股定理得， 

当△ABC为直角三角形时，

即

解得，CD=3，

 如图2，作BH⊥AD于H，

仿照上述作法，当∠ACB=90°时，

由勾股定理得， 

由得：

解得：

 同理可得：当∠ABC=90°时，

综上：的长为：3或2或．

 故答案为：3或2或．

27．10

解：将长方体展开，连接A、B′，

∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，

根据两点之间线段最短，AB′==10cm．

故答案为10．

考点：平面展开-最短路径问题．

28．+24

解：连结BD，

∵，

∴，

∵，，

∴BD=6，

∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，

BD2+CD2=BC2，

∴∠BDC=90°，

S△ABD=，

S△BDC=，

四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24

故答案为：+24．

29．135°

【详解】

连接AC，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∵CD=1，AD=3，AC=2，

∴AC2+CD2=AD2，

∴∠ACD=90°，

∴∠DCB=90°+45°=135°，

故答案为135°．

30．

详解：∵三角形三边长分别为，，

∴

∴三角形是直角三角形

∴

∴高为

故答案为.

31．等腰直角三角形

解：，

，，

，，

的形状为等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角三角形．