专题17.5 《勾股定理》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题17.5  《勾股定理》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.理解并掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.利用勾股定理解决折叠图形中求线段长问题；

4.利用勾股定理解决几何图形中最值问题；

5.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

 2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理解决折叠问题、最值问题的线长；

（3）利用勾股定理解决实际问题。

要点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

　　 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；

（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

【典型例题】

类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 

1.已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为________ . 

解：∵62+82=102  ， 

∴此三角形为直角三角形，

∴此三角形的面积为： .

故答案为：24.

【总结升华】由题意计算三边的平方，是否满足a2+b2=c2  ， 根据勾股定理的逆定理可判断三角形是直角三角形，然后由直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半可求解.

举一反三：

【变式】 如图，在 中， ， ， ， .求 的长. 

 解： ，  

在 中，

在 中，

  【总结升华】根据垂直的性质和勾股定理，先求出线段BD的长度，再求出线段CD的长度，最后求和即可.

类型二、勾股定理解决折叠中线段问题

2. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 cm，   cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 

 解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：    

由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．

∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．

设DC=x，则BD=8-x．

在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2  ， 即42+x2=（8-x）2 ．

解得：x=3．

∴CD=3．

【总结升华】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．

举一反三：

【变式】 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．此时EC有多长？

【答案】解：根据题意，设EC为x ，∵△ADE与△AFE对折，

∴EF=DE=8-x，Rt△ABF中，AF=AD=10，AB=8，BF2=AF2-AB2  ，

∴BF=6，∴FC=BC-BF=10-6=4，在Rt△FCE中，EC=x，EF=8-x，FC=4，

∴（8-x）2=x2+42  ， 解得：x=3，即EC=3

【总结升华】由图可看出这是折叠问题。对于该类折叠问题，一般我们都是求谁设谁。设EC为x,由题意得DE=EF=8-x，CF=4，所以在Rt△FCE中进行勾股定理求EC。

类型三、勾股定理解决最值问题

3.已知长方体的长为1cm、宽为1cm、高为4cm（其中AC=1cm,BC=1cm，CG=4cm）.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程是多少？  

【答案】 根据题意，如下图所示，最短路径有以下三种情况：  

沿AE、EG、GF、FB剪开，得图（1）AF2=AB2+BF2=（1+1）2+42=20cm，

沿AC、CG、GF、FH、HE、EA剪开，得图（2）AF2=AC2+FC2=12+（4+1）2=26cm，

沿AD、DH、HF、FG、GE、EA剪开，得图（3）AF2=AD2+FD2=12+（4+1）2=26cm，

综上所述，最短路径应为（1）所示，

所以AF2=20cm，

即AF= cm，

答：最短路径应为 cm.

【总结升华】把长方体的表面展开，使A点与F点在同一个平面内，由两点之间线段最短可知，最短路径有以下三种情况： 如图所示， 分别利用勾股定理求出AF2  ， 再从中找出AF的最小值即可.

举一反三：

【变式】 如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程（要求画出平面图形）． 

解：如图，圆柱侧面展开后连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程，  因为圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，
所以图中AD= ×16=8cm，CD=6cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC= =10（cm），
即蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
 

【总结升华】展开后连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程，求出展开后AD和CD长，再根据勾股定理求出AC即可．

类型四、勾股定理解决实际问题

4 省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为60m，这辆小汽车超速了吗？ 

解：在Rt△ABC中，AC=36m，AB=60m；  据勾股定理可得：
BC=  =  =48（m）
∴小汽车的速度为v=  =16（m/s）=16×3.6（km/h）=57.6（km/h）；
∵60（km/h）＞57.6（km/h）；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速． 

【总结升华】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．

举一反三：

 【变式】 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时， 

（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由   

（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间. 

解：（1）如图，过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， 

∵∠QON=30°，OA=240米，

∴AC=120米＜200，故受到火车的影响，

（2）当火车到B点时开始对A处有噪音影响，此时AB=200， 

∵AB=200，AC=120，

利用勾股定理得出BC=160，同理CD=160.即BD=320米，

∴影响的时间为 秒.

 【总结升华】（1）过点A作AC⊥ON，求出AC的长，即可判断是否受影响；（2）设当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失，根据勾股定理即可求出BD的长，即可求出影响的时间.

类型五、勾股定理及逆定理的综合应用 

5. 如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF， 

（1）试说明：△FBD≌△ACD；   

（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：： ；   

（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．   

解： （1）∵DB=DC，∠BDF=∠ADC=90° 

又∵DA=DF，

∴△BFD≌△ACD

（2）∵△BFD≌△ACD， 

∴BF=AC，

又∵BF平分∠DBC，

∴∠ABE=∠CBE，

又∵BE⊥AC，

∴∠AEB=∠CEB，

又∵BE=BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴CE=AE= AC，

∴CE= AC= BF；

（3）CE，GE，BG之间的数量关系为：CE2+GE2=BG2  ，  

连接CG．

∵BD=CD，H是BC边的中点，

∴DH是BC的中垂线，

∴BG=CG，

 在Rt△CGE中有：CG2=CE2+GE2  ，

∴CE2+GE2=BG2 ．

【总结升华】（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，与已知DA=DF通过SAS证得△FBD≌△ACD；（2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE=AE= AC，从而得出结论；（3）连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出CG2=CE2+GE2  ， 从而得出CE，GE，BG的关系．

举一反三：

【变式】 已知△ABC为等边三角形． 

（1）如图，P为△ABC外一点，∠BPC=120°，连接PA  ， PB  ， PC  ， 求证：PB+PC=PA；   

（2）如图，P为△ABC内一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠APB的度数．   

（1）解：如图1，延长BP至点E，使得PE=PC，连接CE． 

∵∠BPC=120°，PE=PC，

∴∠CPE=60°，

∴△CPE为等边三角形，

∴CP=PE=CE，∠PCE=60°．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠BCA=60°，

∴∠ACB=∠ECP，

∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+∠BCP，

即：∠ACP=∠BCE．

在△ACP和△BCE中，

，

∴△ACP≌△BCE（SAS），

∴AP=BE．

∵BE=BP+PE=BP+PC，

∴PB+PC=PA；

（2）解：如图2，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP'，连接PP'， 

由旋转知，△APB≌△CP'B，

∴∠BPA=∠BP'C，P'B=PB=5，P'C=PA=12，∠PBP'=∠ABC=60°，

又∵P'B=PB=5，

∴△PBP'是等边三角形，

∴∠PP'B=60°，PP'=5．

在△PP'C中，PC=13，PP'=5，P'C=12，

∴PC2=PP'2+P'C2  ，

即∠PP'C=90°，

∴∠APB=∠BP'C=60°+90°=150°．

【考点】等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形全等的判定（SAS）   

【总结升华】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；
（2）由题意可得出：∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12，∠PBP'=∠ABC=60°，由勾股定理逆定理得出∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度数．