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专题17.7 用勾股定理解决最值问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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专题17.7 用勾股定理解决最值问题（专项练习）
通过勾股定理的学习，求线段最值问题是本章学习的一个重要内容，通过分析，其求最值问题有以下几个类型：
类型一、利用两点之间线段最短解决最值问题；
类型二、利用点线之间垂线段最短解决最值问题；
类型三、图形折叠变换中利用勾股定理解决最值问题；
类型四、通过勾股定理利用非负性解决最值问题；
类型五、立体图形中通过勾股定理解决最值问题。
类型一 两点之间，线段最短
1．已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【思路点拨】
此题理论依据为：两点之间，线段最短，此题两定点D、M，一动点N,简称：两定一动；
解题思路：两定一动，动点在对称轴上，两定点中，有对称点找出来，没对称点作出来（作一个定点的对称点），连接对称点与另一定点，与对称轴交点就是最小值时的动点位置，最后把“折打直”解决问题
解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM＝＝10，
即DN+MN的最小值是10；
故选B．
【点拨】此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
【专项练习】
1．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
2．如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．如图，等边的边长为 是边上的中线，点是 边上的中点. 如果点是 上的动点，那么的最 小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的点，若AE=2，求ME+MC的最小值（ ）
A． B．2 C．4 D．
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P′是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．如图，在平面直角坐标系中，点A（10,12），点B在x轴上，AO=AB，点C在线段OB上，且OC=3BC，在线段AB的垂直平分线DE上有一动点G，则△BCG周长的最小值为（ ）.
A． B．13 C． D．18
8．如图，在中，，，，、分别是、上的任意一点，求的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
9．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，等边的边长为2，是边上的中线，是上的动点，是边上的中点，若，求的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD＋DE的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．20
12．如图，正方形ABCD的边长为3，E是BC中点，P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．2
13．如图，∠B=30°，线段BC=2，点E、F分别是线段BC和射线BA上的动点，设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
14．如图，已知∠B＝30°，线段BC＝2，点E，F分别是线段BC和射线BA上的动点，则CF＋EF的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
15．一次函数的图象与轴、轴分别交于点,,点,分别是,的中点,是上一动点.则周长的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
17．如图，在菱形中，=120°，点E是边的中点，P是对角线上的一个动点，若AB=2，则PB+PE的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
18．如图，在中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
19．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一点，则DE+BE的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
类型二：点线之间，垂线段最短
2.如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（ ）．
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【思路点拨】
此题理论依据为：点线之间，垂线段最短，此题两动点P、Q，一定点C，简称：“两动一定”；
解题思路：两动一定，此类题往往以垂线段最短为解题方向，结合角平分性质：角平分线上的点到角两边距离相等，把“折打直”再通过等面积法解决问题。
解：如图，作CQ′⊥AB于Q′，交AD于点P，作PQ⊥AC此时PC+PQ最短．
∵PQ⊥AC，PQ′⊥AB，AD平分∠CAB，
∴PQ=PQ′，
∴PQ+CP=PC+PQ′=CQ′，
∴根据垂线段最短可知此时PC+PQ最短．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵•AC•BC=•AB•CQ′，
∴CQ′==，
∴PC+PQ的最小值为，
故选C.
【点拨】
本题考查轴对称-最短问题、角平分线性质、勾股定理等知识，解题的关键是找到点P、Q的位置，灵活应用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则 BP的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．4.8
21．如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为_____．
22．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（ ）
A． B．5 C． D．12
23．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．
24．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若OM=4，OP=5，则PN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
25．如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（ ）
A．4.8 B．8 C．8.8 D．9.8
26．如图，在平面直角坐标系中A(-4，0)，B(0，3)，P是线段AB上的一个动点，则OP的最小值是( )
A．3 B．4 C． D．
27．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（）
A．14 B．14.8 C．16 D．18
28．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．6
29．如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为AC上一点，且AE＝，AD平分∠BAC交BC于D．若P是AD上的动点，则PC+PE的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
30．如图， 中，，，点在边上运动，则的最小值为（ ）
A．7.2 B．8.0 C．8.8 D．9.6
31．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
32．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
33．如图，在中，点M是AC边上一动点，若，，则BM的最小值为（ ）
A．8 B．9.6 C．10 D．45
34．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．4.8
35．如图，在中，，，，AD是的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
36．如图，在△ABC中，有一点P在线段AC上移动．若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为( )
A．4.8 B．5 C．4 D．
37．如图，在中，，BC边上的高，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
38．如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）
A．9.6 B．9.8 C．11 D．10.2
39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B．5 C．6 D．8
40．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
41．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为中点，若，的周长是36.则的最小值为（ ）
A． B．10 C．12 D．13
42．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
类型三、利用非负性解决最值问题
如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】此题求EF最小值，利用MF+ME=4，设MF=x，通过勾股定理用含x的代数式各表示EF的长，再通过平方非负性（二次函数最值）得出最值。
【答案】B
解：在边长为4cm的正方形ABCD中，BC=CD=4
∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°
于于F
∠MEC=∠MFC=∠MFD=90°
四边形MECF是矩形，△MDF为等腰三角形
CE=MF=DF
设DF=x,则CE=x
CF=CD-DF=4-x
在RT△CEF中，由勾股定理得
=
=
，当且仅当x-2=0时，即x=2时，有最小值0
当且仅当x-2=0时，即x=2时，有最小值
故选B。
【点拨】本题考查正方形的性质，找好点M的位置是解题关键.
43．在平面直角坐标系中，点，点，则当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
类型四、折叠中的最值问题
3如图，在长方形纸片中，，.点是的中点，点是边上的一个动点.将沿所在直线翻折，得到.则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】由折叠可知EA=EG,即EG为定长，要使GC最短，则由 E、C为定点，所以EC为定长，所以当E、G、C三点共线时，GC最小。
【答案】A
解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示．
根据折叠可知：，
在Rt△BCE中，，
，
∴GC的最小值=CE-GE=,
故选：A.
【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是解题的关键．
44．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上的动点，将沿翻折，得到，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
45．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D′处，则CD′的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
46．如图，在中，，，．点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
类型五：通过平移解决最值问题
5．如图，直线上有两动点、，点、点在直线同侧，且点与点分别到的距离为米和米（即图中米，米），且米，动点之间的距离总为米，使到的距离与到的距离之和最小，则的最小值为（ ）
A． B．
B． D．
【思路点拨】做线段AP∥L且AP=S，且点P在点A的右侧，作P关于L的对称点P′，连接BP′交直线L于点D，在L上D的左侧截取DC=S，此时BP′即为所求的最小值，作P′E⊥BB′交BB′的延长线于E，利用勾股定理求解即可．
【答案】D
【分析】解： ∵P′E=c-S，BE=a+b，
∴P′B=，
故选D．
【点拨】考查最短路线问题及平移问题的综合应用；用平移和对称的知识综合解决最短路线问题是解决本题的关键；构造出直角三角形解决问题是解决本题的难点．
47．如图，在△ABC中，，动点P，Q在边BC上（P在Q的左边），且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
类型六：立体图形中最值问题
6．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．
【思路点拨】立体图形中最值问题往往转化为平面图形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理解决问题，本题如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
解：将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，
作A关于的对称点，连接，
则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，
过B作于点，
则，
在中，
由勾股定理得，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．
48．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．
49．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为，宽为，高为，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，蚂蚁爬行的最短路程是______．
参考答案
类型一 两点之间，线段最短
1．【答案】A
【分析】求出A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．
解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，则P即为所求点；
∵点A（-4，1），
∴点A关于y轴的对称点A′的坐标为（4，1），
∵A′（4，1），B（-2，-3），
∴A′B==，
即PA+PB的最小值为，
故选A．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．
2．解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC＇，交AB于E，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，连接BC′．
在中， AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
由对称性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．
∴∠CBC＇＝90°．
∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，
∴BC＇＝BC＝2．
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1．
根据勾股定理可得：DC＇＝＝．
故EC＋ED的最小值是．
故答案为：D．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC＋ED的值最小是关键．
3．【答案】D
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解
解：连接BE，与AD交于点G．
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对称点为点B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∴G点就是所求点，即点G与点P重合，
∵等边△ABC的边长为8，E为AC的中点，
∴CE=4，BE⊥AC，
在直角△BEC中，BE=，
∴EP+CP的最小值为，
故选D.
【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的对称性、三线合一的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
4．【答案】A
【分析】连接BE，交AD于M，连接CM，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得，AD垂直平分BC，BF垂直平分AC，AC=BC=AB=6，根据两点之间线段最短，此时ME+MC最小，且最小值为BE的长，利用勾股定理求出BF，然后求出EF，再利用勾股定理即可求出BE．
解：连接BE，交AD于M，连接CM，过点B作BF⊥AC于F
∵在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，BF垂直平分AC，AC=BC=AB=6
∴MB=MC，AF=
∴ME+MC=ME＋MB=BE，根据两点之间线段最短，此时ME+MC最小，且最小值为BE的长
在Rt△ABF中，BF==
∵AE=2
∴EF=AF－AE=1
在Rt△BEF中，BE==
即ME+MC的最小值为
故选A．
【点拨】此题考查的是等边三角形的性质、两点之间线段最短的应用和勾股定理，掌握等边三角形的性质、两点之间线段最短和勾股定理是解题关键．
5．【答案】D
【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，由“SAS”可证△BPD≌△BPD'，可得DP＝D'P，可得PC+PD的最小值为D'C，由勾股定理可求解．
解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC
∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP
∴△BPD≌△BPD'（SAS）
∴DP＝D'P
∴CP+DP＝CP+D'P
∴PC+PD的最小值为D'C，
∵BD＝6，CD＝2
∴BC＝8，
∴D'C＝
∴PC+PD的最小值为10
故选：D．
【点拨】本题考查利用轴对称的性质解决最短路径问题，涉及了直角三角形的性质以及勾股定理的应用．
6．【答案】B
【分析】作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，依据Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，进而得出BC的长．
解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，
设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，
∵∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴BC＝6，
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算.
7．【答案】D
【分析】
过A作AH⊥OB于H,连接AD,根据MN垂直平分AB,即可得到AD=BD,当A,D,C在同一直线上时,△BCD周长的最小值为AC+BC的长,根据勾股定理求得AC的长,即可得到△BCD周长的最小值为13+5=18.
【详解】
如图,过A作AH⊥OB于H,连接AD
∵点A坐标为(10,12),AO=AB
∴OH=BH=10,AH=12
又∵OC=3BC
∴BC=5,CO=15
∴CH=15-10=5
∵MN垂直平分AB,
∴AD=BD
∴BD+CD=AD+CD
∴当A,D,C在同一直线上时,△BCD周长的最小值为AC+BC的长
此时,Rt△ACH中,AC= = 13
△BCD周长的最小值=13+5=18
故选:D
【点拨】
此题考查垂直平分线的性质和勾股定理，三角形的周长，解题关键在于利用好垂直平分线的性质求出AD=BD
8．【答案】A
【分析】作点关于的对称点，连接，作于点交于点，则此时的值最小，且，再进一步求出即可得到结论．
解：如图：
作点关于的对称点，连接、，作于点交于点
∵在中，，
∴
∴
∵与关于对称
∴，，
∴是一个等边三角形
∵
∴在中，，
∴
∵，
∴，根据垂线段最短，可得MN＋NB的最小值即为的长
∴
故选：A
【点拨】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形以及最短路径等知识点．找到点关于的对称点以及适当的添加辅助线是解题的关键．
9．【答案】B
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值．
解： ∵Rt△ABC中，AC=BC=2，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE=1，AD=BD，
∴A、B关于CD对称
如图，连接BE交CD于点P，则PA=PB
∴BE就是PA+PE的最小值，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
∴PA+PE的最小值是
故选：B
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题时注意转化思想的运用．
10．【答案】D
【分析】先连接BM，再根据MB=MC，将EM+CM转化为EM+BM，最后根据两点之间线段最短，求得BE的长，即为EM+CM的最小值．
解：连接BM，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴MB=MC
当B、M、E三点共线时，EM+CM=EM+BM=BE
∵等边△ABC中，E是AC边的中点
∴直角三角形ABE中，BE=
即的最小值
故选D.
【点拨】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
11．【答案】C
【解析】如图，作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．
∵点B关于AC的对称点是B′，BC=10， ∴B′C=10，BB′=20．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=10， ∴AB= 10
∵S△ABB′= 20×20÷2=200 ∴B′D= BB′×AC÷AB =20×20÷10=8
∴BE+ED=B′D=8．
点拨：主要考查你对轴对称等考点的理解. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点叫做对称点.轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的.利用轴对称图形的形状来解决动点产生的最短距离是经常用到的数学思想，同学们在看到这种问题的时候就要想到轴对称的性质.
12．【答案】C
【解析】
分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
详解：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A,
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，
∴BE=1.5，
∴AE==，
故选：C.
点拨：此题主要考查了正方形的性质和轴对称以及勾股定理等知识的综合运用，根据已知得出两点之间线段最短，可得AE就是PE+AP的最小值是解题的关键.
13．【答案】C
【分析】作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值=DE，由勾股定理即可得到结论．
解：作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值=DE，
∵DG⊥AB，
∴∠CGB=90°，
∵BC=2，∠B=30°，
∴CG=BC=1，
∴CD=2，
∵∠DGF=∠BEF=90°，∠BFE=∠DFG，
∴∠D=∠B=30°，
∴
∴由勾股定理，DE=，
∴CF+EF的最小值是，
则=，
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确的作出对称点，熟练掌握轴对称图形的性质和两点之间线段最短的性质是解题的关键．
14．【分析】
作点C关于直线BA的对称点C’，连接BC’，作C’E’⊥BC，则C’E’的长就是CF＋EF的最小值，然后根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出C’E’即可.
【详解】
解：作点C关于直线BA的对称点C’，连接BC’，作C’E’⊥BC，则C’E’的长就是CF＋EF的最小值，
∵BC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC’＝2，∠ABC’ ＝30°，
∴∠CBC’ ＝60°，
∴BE’=，
∴C’E’=，即CF＋EF的最小值是，
故选：C.
【点拨】本题考查了轴对称－最短路径问题，根据题意得到C’E’的长就是CF＋EF的最小值是解题关键.
15【答案】D
【分析】作C点关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求点P，用勾股定理可求得长度，可得PC+PD的最小值为，再根据CD=2，可得PC+PD+CD=
解：如图，作C点关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时PC+PD的值最小且
∵,分别是,的中点，,
∴C（1，0），D（1,2）
在Rt△中，由勾股定理可得
又∵D（1,2）
∴CD=2
∴此时周长为PC+PD+CD=
故选D
【点拨】本题考查最短路径问题，把图形作出来是解题关键，再结合勾股定理解题.
16．【答案】C
【分析】首先确定DC′＝DE＋EC′＝DE＋CE的值最小，然后根据勾股定理计算．
解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′使OC′＝OC，连接DC′，交AB于E，连接C′B，
此时DE＋CE＝DE＋EC′－DC′的值最小.
连接BC′，由对称性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝2，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1，
根据勾股定理可得：
，
，
.
故EC+ED的最小值是.
故答案为C.
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
17．【答案】B
【解析】
找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB
+PE的最小值，求出即可.
解：连接DE交AC于P，连接DE，DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）.
在Rt△ADE中，DE==.
即PB+PE的直线值为.
故选B.
“点拨”本题主要考查轴对称. 最短路线问题，勾股定理等知识点．确定P点的位置是解答此题的关键.
18．【答案】B
【分析】
先连接CF，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】
解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∠BAC＝60°，
∴EB=EC，∠BAD＝30°，
∴BD=AB=4，
∴AD=，
当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=4，
∴EF+BE的最小值为4，
故选：B．
【点拨】
本题考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
19．【答案】C
【分析】
作B关于AC的对称点B'，连接B′D，易求∠ABB'=60°，则AB=AB'，且△ABB'为等边三角形，BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，其最小值为B'到AB的距离=AC=，所以最小值为．
【详解】
解：作B关于AC的对称点B'，连接B′D，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB=AB'，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，
∴最小值为B'到AB的距离=AC=，
故选C．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
类型二：点线之间，垂线段最短
20．【答案】D
【解析】
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3．在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD===4．又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选D．
点拨：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短；熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
21．【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
当AP⊥BC时，AP的值最短，
∴AP＝＝
∴线段AP的最小值为，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理即可得到结论．
22．【答案】A
解：∵AB=5，BC=12，AC=13，∴AB2+BC2=169=AC2，∴△ABC是直角三角形，当BP⊥AC时，BP最小，∴线段BP长的最小值是：13BP=5×12，解得：BP=．故选A．
点拨：本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．
23．【答案】A
【解析】由垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，由勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选A．
考点：1．勾股定理；2．垂线段最短．
24．【答案】B
【解析】先根据勾股定理求出PM的值，根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．
解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，
∴PM＝3，
当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM＝PN，
∵PM＝3，
∴PN的最小值为3．
故选B．
【点拨】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理.
25．【答案】D
【分析】若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．
解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，
设AP=x，则CP=5-x，
在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP2，
在Rt△BCP中，BP2=BC2-CP2，
∴AB2-AP2=BC2-CP2，
∴52-x2=62-（5-x）2
解得x=1.4，
在Rt△ABP中，BP=，
∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．
故选：D．
【点拨】本题主要考查最短路线问题，确定出P点的位置是解题的关键．
26．【答案】C
【分析】作OP⊥AB，由垂线段最短可知此时OP的值最小，然后根据面积法求解即可.
解：作OP⊥AB，由垂线段最短可知此时OP的值最小.
∵A(-4，0)，B(0，3)，
∴OA=4,OB=3,
∴AB=.
∵,
∴5OP=12,
∴OP=.
故选C.
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理等知识，根据题意得到“当OP⊥AB时，OP的值最小”是解题的关键．
27．【答案】B
【分析】根据勾股定理可求出AC，由题意可知当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，而当BP⊥AC时，BP取最小值，故利用面积法求出BP的最小值即可.
解：∵在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BC＝8，
∴AC＝，
∴AP＋CP＝AC＝10，
∴当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，
而当BP⊥AC时，BP取最小值，
故此时S△ABC＝，
∴，即BP的最小值为4.8，
∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8，
故选：B.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，分析得出当BP⊥AC时BP取最小值是解题的关键.
28．【答案】B
【解析】在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE
交AD于O，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，
求出BM+MN′=EN′，求出EN′，即可求出答案．∵EN′⊥AB，∴∠ENA=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN=AE=3，在△AEN中，由勾股定理得：EN===3，
即BM+MN的最小值是3．
考点：轴对称—最短路线问题
点评：本题考查轴对称—最短路线问题，解答此类题主要是从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线的性质和垂线段最短，找出答案．
29．【答案】D
【分析】如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．求出CE′即可．
【详解】如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∴CH==，
∴AH===，
∴AE=AE′=，
∴E′H=AH-AE′=2，
∴P′C+P′E=CP′+P′E′=CE′===，
故选：D．
【点拨】此题主要考查利用对称性以及勾股定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量关系.
30．【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，即点Q运动到点E处的时候，为最小值．先根据勾股定理求出AD的长，再由三角形的面积公式即可得出BE的长，即可得出最小值．
解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，即点Q运动到点E处的时候，为最小值．
∵AB=AC=10，BC=12
∴BD=BC=6
∴AD===8
∴BCAD=ACBE
即BE==9.6．
即BQ的最小值为9.6．
故选D．
【点拨】本题考查了勾股定理. 熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
31．【答案】D
【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
解：在AB上取一点G，使AG＝AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝GE，
∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，
故当C、E、G三点共线时，符合要求，
此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，
此时，，
∴CH==，
即：CE+EF的最小值为，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．
32．【答案】D
【解析】试题分析：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．根据题意可以得出△AME≌△AMN，则ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．要使BM+MN有最小值，当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=42，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，
即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．
点拨：本题主要考查的就是直角三角形的勾股定理和饮马问题，在解决饮马问题的时候，我们一般将一个定点做关于动点所在直线的对称点，然后根据两点之间线段最短进行计算.本题中有两个动点，首先将一个动点看做是定点，然后根据三角形的三边关系得出直线外一点到直线的最短距离为垂线段的长度，然后根据勾股定理求出最小值.
33．【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，由等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，当BM⊥AC时，BM最小；由△ABC的面积的计算方法求出BM的最小值．
解：作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=BC=6，
由勾股定理得：AD=，
当BM⊥AC时，BM最小，
此时，∠BMC=90°，
∵△ABC的面积=AC•BM=BC•AD，
即×10×BM=×12×8，
解得：BM=9.6，
故选B．
【点拨】考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出BM的最小值是解决问题的关键．
34．【答案】D
【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，
∴BP＝＝4.8．
故选D．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
35．【答案】D
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB==10．
∵S△ABC=AB•CM=AC•BC，
∴CM=，
即PC+PQ的最小值为．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
36．【答案】A
【解析】由垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，
由勾股定理求AD，再由三角形面积关系求BP.
【详解】由垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
又BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，由勾股定理得：AD==4，
又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，
∴BP===4.8．
故选：A
【点拨】本题考核知识点：勾股定理，垂线段最短. 解题关键点：确定当BP垂直于AC时最短.根据等腰三角形性质得到直角三角形，利用勾股定理得AD，利用面积关系求BP.
37．【答案】D
【解析】连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
当C. F. E三点共线时，EF+BE=EF+EC= CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=8，
∴EF+BE的最小值为8，
故选D.
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论.
38．【答案】B
【分析】
过点A作AD⊥BC于D，根据题意可得当BP最小时，AP+BP+CP最小，然后根据垂线段最短可得当BP⊥AC时，BP最小，然后根据三线合一和勾股定理即可求出BD和AD，然后根据S△ABC=BC·AD=AC·BP即可求出此时的BP，从而求出结论．
解：过点A作AD⊥BC于D
∵AP＋CP=AC=5
∴AP+BP+CP=5＋BP，即当BP最小时，AP+BP+CP最小，
根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP最小
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=BC=3
根据勾股定理AD==4
此时S△ABC=BC·AD=AC·BP
∴×6×4=×5·BP
解得：BP=
∴AP+BP+CP的最小值为＋5=
故选B．
【点拨】此题考查的是垂线段最短的应用、等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积公式，掌握垂线段最短、三线合一、勾股定理和三角形的面积公式是解决此题的关键．
39．【答案】A
【分析】
过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，由角平分线的性质得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，为CM的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM的长即可解答．
【详解】过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ=PM，则PC+PQ=PC+PM=CM，即PC+PQ有最小值，为CM的长，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：AB=10，
又，
∴，
∴PC+PQ的最小值为，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决．
40．【答案】B
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值.
【详解】在中，∴，，，∴．
∴为直角三角形，且．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴当取最小值时，线段最短，此时．
∴是的中位线．
∴．∴．
故选B.
【点拨】
本题考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，三角形的中位线以及垂线段最短.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
41．【答案】C
【分析】
连接AP，AH，先求出BC，BH的长．由于△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，故AH⊥BC，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，故AH的长为BP+PH的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AP，AH．
∵AB=AC=13，△ABC的周长为36，
∴BC=36-2×13=10．
∵H是BC的中点，
∴BH=BC=5．
∵△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，
∴AH⊥BC，
∴AH=．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，
∴AP=BP，
∴BP+PH=AP+PH≥AH，
∴AH的长为BP+PH的最小值，
∴BP+PH的最小值为12．
故选：C．
【点拨】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
类型三、利用非负性解决最值问题
42．【答案】D
【分析】
设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD＝OE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值．
【详解】
解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝4，O为AC中点，
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD＝QB，
∵QB＝AB＝2，
∴QD＝，
∴线段OE的最小值是为．
故选D．
【点拨】
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
43．【答案】A
【分析】根据勾股定理，得到AB2=，配方后，即可得到答案．
解：∵点，点，
∴根据勾股定理得：AB2=
=
=，
∴当a=时，AB2取得最小值，即：当取得最小值时，的值为，
故选A．
【点拨】本题主要考查根据勾股定理求平面直角坐标系中两点间的距离，掌握二次多项式的配方，是解题的关键．
44．【答案】C
【分析】求的最小值，先求出EC的大小，再根据，求出的范围即可．
解：连接
在△中，
可得．
在中，由勾股定理，
得．
由折叠可知，，
∴
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形三边的大小关系及勾股定理，正确掌握三角形三边的大小关系及勾股定理是解题的关键．
类型四、折叠中的最值问题
45．【答案】C
【分析】根据翻折的性质和当点D'在对角线AC上时CD′最小解答即可．
解：当点D'在对角线AC上时CD′最小，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，
∴AD=AD'=BC=2，
在Rt△ABC中，AC=＝＝4，
∴CD'=AC-AD'=4-4，
故选：C．
【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，利用勾股定理求出AC的长度是解题的关键．
46．【答案】B
【分析】
根据在翻折及已知条件求得，，再根据的周长的最小时，P、D点重合即可求得周长.
【详解】
∵在中，，且沿直线翻折，点B落在边上的点E处，
∴，，
∵，，
∴，
∴
,
∵的周长的最小时，P、D点重合，
∴，
故选B.
【点拨】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，大胆猜测，合情推理科学论证
类型五：通过平移解决最值问题
47．【答案】D
【分析】
过点A作BC的平行线AD，P’是P关于AD的对称点，当P’,A.Q在一条线上时最短，即可求解.
【详解】过点A作AE⊥BC，作AD∥BC，P’是点P关于AD的对称点，
当P’,A,Q共线时AP+AQ=AP’+AQ=P’Q最短，
∵
∴BE=3，
∴AE=4，
∴PP’=8,又∵PQ=2，
∴ ,
则的最小值为，
故选D
【点拨】
本题是求线段和最短的典型题型，涉及到对称问题，把要求的线段转化到一条直线上，此时线段和最短，是常考题型.
类型六：立体图形中最值问题
48．17
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
49．
【分析】分别从三个路径计算讨论，得出结果再比较最短路径．
【详解】
①从正面和上底面爬行，如图：
此时，AB=12，BG=BF+FG=14，则；
②从正面和右侧面爬行，如图：
此时：AC=AB+BC=21，CG=5，则；
③从下底面和右侧面爬行，如图：
此时，AD=9，DG=DC+CG=17，则；
，为最短的路径长，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，灵活考虑最短路径的几种不同情况分类讨论计算再比较大小是解题关键．
通过勾股定理的学习，求线段最值问题是本章学习的一个重要内容，通过分析，其求最值问题有以下几个类型：
类型一、利用两点之间线段最短解决最值问题；
类型二、利用点线之间垂线段最短解决最值问题；
类型三、图形折叠变换中利用勾股定理解决最值问题；
类型四、通过勾股定理利用非负性解决最值问题；
类型五、立体图形中通过勾股定理解决最值问题。
类型一 两点之间，线段最短
1．已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【思路点拨】
此题理论依据为：两点之间，线段最短，此题两定点D、M，一动点N,简称：两定一动；
解题思路：两定一动，动点在对称轴上，两定点中，有对称点找出来，没对称点作出来（作一个定点的对称点），连接对称点与另一定点，与对称轴交点就是最小值时的动点位置，最后把“折打直”解决问题
解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM＝＝10，
即DN+MN的最小值是10；
故选B．
【点拨】此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
【专项练习】
1．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
2．如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．如图，等边的边长为 是边上的中线，点是 边上的中点. 如果点是 上的动点，那么的最 小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的点，若AE=2，求ME+MC的最小值（ ）
A． B．2 C．4 D．
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P′是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．如图，在平面直角坐标系中，点A（10,12），点B在x轴上，AO=AB，点C在线段OB上，且OC=3BC，在线段AB的垂直平分线DE上有一动点G，则△BCG周长的最小值为（ ）.
A． B．13 C． D．18
8．如图，在中，，，，、分别是、上的任意一点，求的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
9．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，等边的边长为2，是边上的中线，是上的动点，是边上的中点，若，求的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD＋DE的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．20
12．如图，正方形ABCD的边长为3，E是BC中点，P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．2
13．如图，∠B=30°，线段BC=2，点E、F分别是线段BC和射线BA上的动点，设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
14．如图，已知∠B＝30°，线段BC＝2，点E，F分别是线段BC和射线BA上的动点，则CF＋EF的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
15．一次函数的图象与轴、轴分别交于点,,点,分别是,的中点,是上一动点.则周长的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
17．如图，在菱形中，=120°，点E是边的中点，P是对角线上的一个动点，若AB=2，则PB+PE的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
18．如图，在中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
19．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一点，则DE+BE的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
类型二：点线之间，垂线段最短
2.如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（ ）．
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【思路点拨】
此题理论依据为：点线之间，垂线段最短，此题两动点P、Q，一定点C，简称：“两动一定”；
解题思路：两动一定，此类题往往以垂线段最短为解题方向，结合角平分性质：角平分线上的点到角两边距离相等，把“折打直”再通过等面积法解决问题。
解：如图，作CQ′⊥AB于Q′，交AD于点P，作PQ⊥AC此时PC+PQ最短．
∵PQ⊥AC，PQ′⊥AB，AD平分∠CAB，
∴PQ=PQ′，
∴PQ+CP=PC+PQ′=CQ′，
∴根据垂线段最短可知此时PC+PQ最短．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵•AC•BC=•AB•CQ′，
∴CQ′==，
∴PC+PQ的最小值为，
故选C.
【点拨】
本题考查轴对称-最短问题、角平分线性质、勾股定理等知识，解题的关键是找到点P、Q的位置，灵活应用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则 BP的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．4.8
21．如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为_____．
22．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（ ）
A． B．5 C． D．12
23．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．
24．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若OM=4，OP=5，则PN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
25．如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（ ）
A．4.8 B．8 C．8.8 D．9.8
26．如图，在平面直角坐标系中A(-4，0)，B(0，3)，P是线段AB上的一个动点，则OP的最小值是( )
A．3 B．4 C． D．
27．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（）
A．14 B．14.8 C．16 D．18
28．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．6
29．如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为AC上一点，且AE＝，AD平分∠BAC交BC于D．若P是AD上的动点，则PC+PE的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
30．如图， 中，，，点在边上运动，则的最小值为（ ）
A．7.2 B．8.0 C．8.8 D．9.6
31．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
32．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
33．如图，在中，点M是AC边上一动点，若，，则BM的最小值为（ ）
A．8 B．9.6 C．10 D．45
34．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．4.8
35．如图，在中，，，，AD是的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
36．如图，在△ABC中，有一点P在线段AC上移动．若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为( )
A．4.8 B．5 C．4 D．
37．如图，在中，，BC边上的高，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
38．如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）
A．9.6 B．9.8 C．11 D．10.2
39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B．5 C．6 D．8
40．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
41．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为中点，若，的周长是36.则的最小值为（ ）
A． B．10 C．12 D．13
42．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
类型三、利用非负性解决最值问题
如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】此题求EF最小值，利用MF+ME=4，设MF=x，通过勾股定理用含x的代数式各表示EF的长，再通过平方非负性（二次函数最值）得出最值。
【答案】B
解：在边长为4cm的正方形ABCD中，BC=CD=4
∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°
于于F
∠MEC=∠MFC=∠MFD=90°
四边形MECF是矩形，△MDF为等腰三角形
CE=MF=DF
设DF=x,则CE=x
CF=CD-DF=4-x
在RT△CEF中，由勾股定理得
=
=
，当且仅当x-2=0时，即x=2时，有最小值0
当且仅当x-2=0时，即x=2时，有最小值
故选B。
【点拨】本题考查正方形的性质，找好点M的位置是解题关键.
43．在平面直角坐标系中，点，点，则当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
类型四、折叠中的最值问题
3如图，在长方形纸片中，，.点是的中点，点是边上的一个动点.将沿所在直线翻折，得到.则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】由折叠可知EA=EG,即EG为定长，要使GC最短，则由 E、C为定点，所以EC为定长，所以当E、G、C三点共线时，GC最小。
【答案】A
解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示．
根据折叠可知：，
在Rt△BCE中，，
，
∴GC的最小值=CE-GE=,
故选：A.
【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是解题的关键．
44．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上的动点，将沿翻折，得到，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
45．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D′处，则CD′的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
46．如图，在中，，，．点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
类型五：通过平移解决最值问题
5．如图，直线上有两动点、，点、点在直线同侧，且点与点分别到的距离为米和米（即图中米，米），且米，动点之间的距离总为米，使到的距离与到的距离之和最小，则的最小值为（ ）
A． B．
B． D．
【思路点拨】做线段AP∥L且AP=S，且点P在点A的右侧，作P关于L的对称点P′，连接BP′交直线L于点D，在L上D的左侧截取DC=S，此时BP′即为所求的最小值，作P′E⊥BB′交BB′的延长线于E，利用勾股定理求解即可．
【答案】D
【分析】解： ∵P′E=c-S，BE=a+b，
∴P′B=，
故选D．
【点拨】考查最短路线问题及平移问题的综合应用；用平移和对称的知识综合解决最短路线问题是解决本题的关键；构造出直角三角形解决问题是解决本题的难点．
47．如图，在△ABC中，，动点P，Q在边BC上（P在Q的左边），且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
类型六：立体图形中最值问题
6．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．
【思路点拨】立体图形中最值问题往往转化为平面图形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理解决问题，本题如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
解：将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，
作A关于的对称点，连接，
则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，
过B作于点，
则，
在中，
由勾股定理得，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．
48．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．
49．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为，宽为，高为，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，蚂蚁爬行的最短路程是______．
参考答案
类型一 两点之间，线段最短
1．【答案】A
【分析】求出A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．
解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，则P即为所求点；
∵点A（-4，1），
∴点A关于y轴的对称点A′的坐标为（4，1），
∵A′（4，1），B（-2，-3），
∴A′B==，
即PA+PB的最小值为，
故选A．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．
2．解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC＇，交AB于E，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，连接BC′．
在中， AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
由对称性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．
∴∠CBC＇＝90°．
∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，
∴BC＇＝BC＝2．
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1．
根据勾股定理可得：DC＇＝＝．
故EC＋ED的最小值是．
故答案为：D．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC＋ED的值最小是关键．
3．【答案】D
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解
解：连接BE，与AD交于点G．
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对称点为点B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∴G点就是所求点，即点G与点P重合，
∵等边△ABC的边长为8，E为AC的中点，
∴CE=4，BE⊥AC，
在直角△BEC中，BE=，
∴EP+CP的最小值为，
故选D.
【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的对称性、三线合一的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
4．【答案】A
【分析】连接BE，交AD于M，连接CM，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得，AD垂直平分BC，BF垂直平分AC，AC=BC=AB=6，根据两点之间线段最短，此时ME+MC最小，且最小值为BE的长，利用勾股定理求出BF，然后求出EF，再利用勾股定理即可求出BE．
解：连接BE，交AD于M，连接CM，过点B作BF⊥AC于F
∵在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，BF垂直平分AC，AC=BC=AB=6
∴MB=MC，AF=
∴ME+MC=ME＋MB=BE，根据两点之间线段最短，此时ME+MC最小，且最小值为BE的长
在Rt△ABF中，BF==
∵AE=2
∴EF=AF－AE=1
在Rt△BEF中，BE==
即ME+MC的最小值为
故选A．
【点拨】此题考查的是等边三角形的性质、两点之间线段最短的应用和勾股定理，掌握等边三角形的性质、两点之间线段最短和勾股定理是解题关键．
5．【答案】D
【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，由“SAS”可证△BPD≌△BPD'，可得DP＝D'P，可得PC+PD的最小值为D'C，由勾股定理可求解．
解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC
∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP
∴△BPD≌△BPD'（SAS）
∴DP＝D'P
∴CP+DP＝CP+D'P
∴PC+PD的最小值为D'C，
∵BD＝6，CD＝2
∴BC＝8，
∴D'C＝
∴PC+PD的最小值为10
故选：D．
【点拨】本题考查利用轴对称的性质解决最短路径问题，涉及了直角三角形的性质以及勾股定理的应用．
6．【答案】B
【分析】作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，依据Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，进而得出BC的长．
解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，
设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，
∵∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴BC＝6，
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算.
7．【答案】D
【分析】
过A作AH⊥OB于H,连接AD,根据MN垂直平分AB,即可得到AD=BD,当A,D,C在同一直线上时,△BCD周长的最小值为AC+BC的长,根据勾股定理求得AC的长,即可得到△BCD周长的最小值为13+5=18.
【详解】
如图,过A作AH⊥OB于H,连接AD
∵点A坐标为(10,12),AO=AB
∴OH=BH=10,AH=12
又∵OC=3BC
∴BC=5,CO=15
∴CH=15-10=5
∵MN垂直平分AB,
∴AD=BD
∴BD+CD=AD+CD
∴当A,D,C在同一直线上时,△BCD周长的最小值为AC+BC的长
此时,Rt△ACH中,AC= = 13
△BCD周长的最小值=13+5=18
故选:D
【点拨】
此题考查垂直平分线的性质和勾股定理，三角形的周长，解题关键在于利用好垂直平分线的性质求出AD=BD
8．【答案】A
【分析】作点关于的对称点，连接，作于点交于点，则此时的值最小，且，再进一步求出即可得到结论．
解：如图：
作点关于的对称点，连接、，作于点交于点
∵在中，，
∴
∴
∵与关于对称
∴，，
∴是一个等边三角形
∵
∴在中，，
∴
∵，
∴，根据垂线段最短，可得MN＋NB的最小值即为的长
∴
故选：A
【点拨】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形以及最短路径等知识点．找到点关于的对称点以及适当的添加辅助线是解题的关键．
9．【答案】B
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值．
解： ∵Rt△ABC中，AC=BC=2，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE=1，AD=BD，
∴A、B关于CD对称
如图，连接BE交CD于点P，则PA=PB
∴BE就是PA+PE的最小值，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
∴PA+PE的最小值是
故选：B
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题时注意转化思想的运用．
10．【答案】D
【分析】先连接BM，再根据MB=MC，将EM+CM转化为EM+BM，最后根据两点之间线段最短，求得BE的长，即为EM+CM的最小值．
解：连接BM，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴MB=MC
当B、M、E三点共线时，EM+CM=EM+BM=BE
∵等边△ABC中，E是AC边的中点
∴直角三角形ABE中，BE=
即的最小值
故选D.
【点拨】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
11．【答案】C
【解析】如图，作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．
∵点B关于AC的对称点是B′，BC=10， ∴B′C=10，BB′=20．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=10， ∴AB= 10
∵S△ABB′= 20×20÷2=200 ∴B′D= BB′×AC÷AB =20×20÷10=8
∴BE+ED=B′D=8．
点拨：主要考查你对轴对称等考点的理解. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点叫做对称点.轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的.利用轴对称图形的形状来解决动点产生的最短距离是经常用到的数学思想，同学们在看到这种问题的时候就要想到轴对称的性质.
12．【答案】C
【解析】
分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
详解：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A,
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，
∴BE=1.5，
∴AE==，
故选：C.
点拨：此题主要考查了正方形的性质和轴对称以及勾股定理等知识的综合运用，根据已知得出两点之间线段最短，可得AE就是PE+AP的最小值是解题的关键.
13．【答案】C
【分析】作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值=DE，由勾股定理即可得到结论．
解：作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值=DE，
∵DG⊥AB，
∴∠CGB=90°，
∵BC=2，∠B=30°，
∴CG=BC=1，
∴CD=2，
∵∠DGF=∠BEF=90°，∠BFE=∠DFG，
∴∠D=∠B=30°，
∴
∴由勾股定理，DE=，
∴CF+EF的最小值是，
则=，
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确的作出对称点，熟练掌握轴对称图形的性质和两点之间线段最短的性质是解题的关键．
14．【分析】
作点C关于直线BA的对称点C’，连接BC’，作C’E’⊥BC，则C’E’的长就是CF＋EF的最小值，然后根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出C’E’即可.
【详解】
解：作点C关于直线BA的对称点C’，连接BC’，作C’E’⊥BC，则C’E’的长就是CF＋EF的最小值，
∵BC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC’＝2，∠ABC’ ＝30°，
∴∠CBC’ ＝60°，
∴BE’=，
∴C’E’=，即CF＋EF的最小值是，
故选：C.
【点拨】本题考查了轴对称－最短路径问题，根据题意得到C’E’的长就是CF＋EF的最小值是解题关键.
15【答案】D
【分析】作C点关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求点P，用勾股定理可求得长度，可得PC+PD的最小值为，再根据CD=2，可得PC+PD+CD=
解：如图，作C点关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时PC+PD的值最小且
∵,分别是,的中点，,
∴C（1，0），D（1,2）
在Rt△中，由勾股定理可得
又∵D（1,2）
∴CD=2
∴此时周长为PC+PD+CD=
故选D
【点拨】本题考查最短路径问题，把图形作出来是解题关键，再结合勾股定理解题.
16．【答案】C
【分析】首先确定DC′＝DE＋EC′＝DE＋CE的值最小，然后根据勾股定理计算．
解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′使OC′＝OC，连接DC′，交AB于E，连接C′B，
此时DE＋CE＝DE＋EC′－DC′的值最小.
连接BC′，由对称性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝2，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1，
根据勾股定理可得：
，
，
.
故EC+ED的最小值是.
故答案为C.
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
17．【答案】B
【解析】
找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB
+PE的最小值，求出即可.
解：连接DE交AC于P，连接DE，DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）.
在Rt△ADE中，DE==.
即PB+PE的直线值为.
故选B.
“点拨”本题主要考查轴对称. 最短路线问题，勾股定理等知识点．确定P点的位置是解答此题的关键.
18．【答案】B
【分析】
先连接CF，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】
解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∠BAC＝60°，
∴EB=EC，∠BAD＝30°，
∴BD=AB=4，
∴AD=，
当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=4，
∴EF+BE的最小值为4，
故选：B．
【点拨】
本题考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
19．【答案】C
【分析】
作B关于AC的对称点B'，连接B′D，易求∠ABB'=60°，则AB=AB'，且△ABB'为等边三角形，BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，其最小值为B'到AB的距离=AC=，所以最小值为．
【详解】
解：作B关于AC的对称点B'，连接B′D，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB=AB'，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，
∴最小值为B'到AB的距离=AC=，
故选C．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
类型二：点线之间，垂线段最短
20．【答案】D
【解析】
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3．在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD===4．又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选D．
点拨：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短；熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
21．【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
当AP⊥BC时，AP的值最短，
∴AP＝＝
∴线段AP的最小值为，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理即可得到结论．
22．【答案】A
解：∵AB=5，BC=12，AC=13，∴AB2+BC2=169=AC2，∴△ABC是直角三角形，当BP⊥AC时，BP最小，∴线段BP长的最小值是：13BP=5×12，解得：BP=．故选A．
点拨：本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．
23．【答案】A
【解析】由垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，由勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选A．
考点：1．勾股定理；2．垂线段最短．
24．【答案】B
【解析】先根据勾股定理求出PM的值，根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．
解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，
∴PM＝3，
当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM＝PN，
∵PM＝3，
∴PN的最小值为3．
故选B．
【点拨】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理.
25．【答案】D
【分析】若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．
解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，
设AP=x，则CP=5-x，
在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP2，
在Rt△BCP中，BP2=BC2-CP2，
∴AB2-AP2=BC2-CP2，
∴52-x2=62-（5-x）2
解得x=1.4，
在Rt△ABP中，BP=，
∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．
故选：D．
【点拨】本题主要考查最短路线问题，确定出P点的位置是解题的关键．
26．【答案】C
【分析】作OP⊥AB，由垂线段最短可知此时OP的值最小，然后根据面积法求解即可.
解：作OP⊥AB，由垂线段最短可知此时OP的值最小.
∵A(-4，0)，B(0，3)，
∴OA=4,OB=3,
∴AB=.
∵,
∴5OP=12,
∴OP=.
故选C.
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理等知识，根据题意得到“当OP⊥AB时，OP的值最小”是解题的关键．
27．【答案】B
【分析】根据勾股定理可求出AC，由题意可知当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，而当BP⊥AC时，BP取最小值，故利用面积法求出BP的最小值即可.
解：∵在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BC＝8，
∴AC＝，
∴AP＋CP＝AC＝10，
∴当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，
而当BP⊥AC时，BP取最小值，
故此时S△ABC＝，
∴，即BP的最小值为4.8，
∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8，
故选：B.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，分析得出当BP⊥AC时BP取最小值是解题的关键.
28．【答案】B
【解析】在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE
交AD于O，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，
求出BM+MN′=EN′，求出EN′，即可求出答案．∵EN′⊥AB，∴∠ENA=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN=AE=3，在△AEN中，由勾股定理得：EN===3，
即BM+MN的最小值是3．
考点：轴对称—最短路线问题
点评：本题考查轴对称—最短路线问题，解答此类题主要是从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线的性质和垂线段最短，找出答案．
29．【答案】D
【分析】如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．求出CE′即可．
【详解】如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∴CH==，
∴AH===，
∴AE=AE′=，
∴E′H=AH-AE′=2，
∴P′C+P′E=CP′+P′E′=CE′===，
故选：D．
【点拨】此题主要考查利用对称性以及勾股定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量关系.
30．【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，即点Q运动到点E处的时候，为最小值．先根据勾股定理求出AD的长，再由三角形的面积公式即可得出BE的长，即可得出最小值．
解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，即点Q运动到点E处的时候，为最小值．
∵AB=AC=10，BC=12
∴BD=BC=6
∴AD===8
∴BCAD=ACBE
即BE==9.6．
即BQ的最小值为9.6．
故选D．
【点拨】本题考查了勾股定理. 熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
31．【答案】D
【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
解：在AB上取一点G，使AG＝AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝GE，
∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，
故当C、E、G三点共线时，符合要求，
此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，
此时，，
∴CH==，
即：CE+EF的最小值为，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．
32．【答案】D
【解析】试题分析：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．根据题意可以得出△AME≌△AMN，则ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．要使BM+MN有最小值，当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=42，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，
即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．
点拨：本题主要考查的就是直角三角形的勾股定理和饮马问题，在解决饮马问题的时候，我们一般将一个定点做关于动点所在直线的对称点，然后根据两点之间线段最短进行计算.本题中有两个动点，首先将一个动点看做是定点，然后根据三角形的三边关系得出直线外一点到直线的最短距离为垂线段的长度，然后根据勾股定理求出最小值.
33．【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，由等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，当BM⊥AC时，BM最小；由△ABC的面积的计算方法求出BM的最小值．
解：作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=BC=6，
由勾股定理得：AD=，
当BM⊥AC时，BM最小，
此时，∠BMC=90°，
∵△ABC的面积=AC•BM=BC•AD，
即×10×BM=×12×8，
解得：BM=9.6，
故选B．
【点拨】考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出BM的最小值是解决问题的关键．
34．【答案】D
【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，
∴BP＝＝4.8．
故选D．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
35．【答案】D
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB==10．
∵S△ABC=AB•CM=AC•BC，
∴CM=，
即PC+PQ的最小值为．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
36．【答案】A
【解析】由垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，
由勾股定理求AD，再由三角形面积关系求BP.
【详解】由垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
又BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，由勾股定理得：AD==4，
又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，
∴BP===4.8．
故选：A
【点拨】本题考核知识点：勾股定理，垂线段最短. 解题关键点：确定当BP垂直于AC时最短.根据等腰三角形性质得到直角三角形，利用勾股定理得AD，利用面积关系求BP.
37．【答案】D
【解析】连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
当C. F. E三点共线时，EF+BE=EF+EC= CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=8，
∴EF+BE的最小值为8，
故选D.
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论.
38．【答案】B
【分析】
过点A作AD⊥BC于D，根据题意可得当BP最小时，AP+BP+CP最小，然后根据垂线段最短可得当BP⊥AC时，BP最小，然后根据三线合一和勾股定理即可求出BD和AD，然后根据S△ABC=BC·AD=AC·BP即可求出此时的BP，从而求出结论．
解：过点A作AD⊥BC于D
∵AP＋CP=AC=5
∴AP+BP+CP=5＋BP，即当BP最小时，AP+BP+CP最小，
根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP最小
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=BC=3
根据勾股定理AD==4
此时S△ABC=BC·AD=AC·BP
∴×6×4=×5·BP
解得：BP=
∴AP+BP+CP的最小值为＋5=
故选B．
【点拨】此题考查的是垂线段最短的应用、等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积公式，掌握垂线段最短、三线合一、勾股定理和三角形的面积公式是解决此题的关键．
39．【答案】A
【分析】
过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，由角平分线的性质得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，为CM的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM的长即可解答．
【详解】过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ=PM，则PC+PQ=PC+PM=CM，即PC+PQ有最小值，为CM的长，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：AB=10，
又，
∴，
∴PC+PQ的最小值为，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决．
40．【答案】B
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值.
【详解】在中，∴，，，∴．
∴为直角三角形，且．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴当取最小值时，线段最短，此时．
∴是的中位线．
∴．∴．
故选B.
【点拨】
本题考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，三角形的中位线以及垂线段最短.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
41．【答案】C
【分析】
连接AP，AH，先求出BC，BH的长．由于△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，故AH⊥BC，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，故AH的长为BP+PH的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AP，AH．
∵AB=AC=13，△ABC的周长为36，
∴BC=36-2×13=10．
∵H是BC的中点，
∴BH=BC=5．
∵△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，
∴AH⊥BC，
∴AH=．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，
∴AP=BP，
∴BP+PH=AP+PH≥AH，
∴AH的长为BP+PH的最小值，
∴BP+PH的最小值为12．
故选：C．
【点拨】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
类型三、利用非负性解决最值问题
42．【答案】D
【分析】
设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD＝OE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值．
【详解】
解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝4，O为AC中点，
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD＝QB，
∵QB＝AB＝2，
∴QD＝，
∴线段OE的最小值是为．
故选D．
【点拨】
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
43．【答案】A
【分析】根据勾股定理，得到AB2=，配方后，即可得到答案．
解：∵点，点，
∴根据勾股定理得：AB2=
=
=，
∴当a=时，AB2取得最小值，即：当取得最小值时，的值为，
故选A．
【点拨】本题主要考查根据勾股定理求平面直角坐标系中两点间的距离，掌握二次多项式的配方，是解题的关键．
44．【答案】C
【分析】求的最小值，先求出EC的大小，再根据，求出的范围即可．
解：连接
在△中，
可得．
在中，由勾股定理，
得．
由折叠可知，，
∴
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形三边的大小关系及勾股定理，正确掌握三角形三边的大小关系及勾股定理是解题的关键．
类型四、折叠中的最值问题
45．【答案】C
【分析】根据翻折的性质和当点D'在对角线AC上时CD′最小解答即可．
解：当点D'在对角线AC上时CD′最小，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，
∴AD=AD'=BC=2，
在Rt△ABC中，AC=＝＝4，
∴CD'=AC-AD'=4-4，
故选：C．
【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，利用勾股定理求出AC的长度是解题的关键．
46．【答案】B
【分析】
根据在翻折及已知条件求得，，再根据的周长的最小时，P、D点重合即可求得周长.
【详解】
∵在中，，且沿直线翻折，点B落在边上的点E处，
∴，，
∵，，
∴，
∴
,
∵的周长的最小时，P、D点重合，
∴，
故选B.
【点拨】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，大胆猜测，合情推理科学论证
类型五：通过平移解决最值问题
47．【答案】D
【分析】
过点A作BC的平行线AD，P’是P关于AD的对称点，当P’,A.Q在一条线上时最短，即可求解.
【详解】过点A作AE⊥BC，作AD∥BC，P’是点P关于AD的对称点，
当P’,A,Q共线时AP+AQ=AP’+AQ=P’Q最短，
∵
∴BE=3，
∴AE=4，
∴PP’=8,又∵PQ=2，
∴ ,
则的最小值为，
故选D
【点拨】
本题是求线段和最短的典型题型，涉及到对称问题，把要求的线段转化到一条直线上，此时线段和最短，是常考题型.
类型六：立体图形中最值问题
48．17
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
49．
【分析】分别从三个路径计算讨论，得出结果再比较最短路径．
【详解】
①从正面和上底面爬行，如图：
此时，AB=12，BG=BF+FG=14，则；
②从正面和右侧面爬行，如图：
此时：AC=AB+BC=21，CG=5，则；
③从下底面和右侧面爬行，如图：
此时，AD=9，DG=DC+CG=17，则；
，为最短的路径长，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，灵活考虑最短路径的几种不同情况分类讨论计算再比较大小是解题关键．
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