还剩62页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 专题18.14 《平行四边形》之几何模型-将军饮马（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题18.15 平行四边形-面积问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题18.17 直角三角形斜边上的中线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 1 次下载
- 专题18.18 平行四边形-折叠问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题18.19 直角坐标系中的平行四边形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 0 次下载
专题18.16 平行四边形-存在性问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
展开
这是一份专题18.16 平行四边形-存在性问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共65页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题18.16 平行四边形-存在性问题（专项练习）
平行四边形的存在性问题，尤其是坐标系中平行四边形的存在性问题，是中考压轴题的重要组成部分内容之一，因此进入平行四边形的学习后，引入平行四边形的存在性问题，充分利用数形结合的思想对学生的辅导，是十分必要的，本专题训练汇集了一些典型的，常考题供老师和学生参考使用，对刚进入平行四边形的学习和准备参加中考的考生来讲进行巩固练习都是十分必要的。
一、填空题
1．（2020·北京市顺义区第五中学八年级期中）在平面直角坐标系中，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点坐标是________________．
2．（2020·内蒙古九年级月考）在平面直角坐标系中，为坐标系原点，在坐标平面内，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点坐标为___________．
3．（2020·陕西八年级期末）如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,3),B(2,1),直角坐标系中存在点C,使得O,A,B,C四点构成平行四边形,则C点的坐标为______________________________.
二、解答题
4．（2020·北京四中八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．）
5．（2019·江苏七年级期中）△ABC在平面直角坐标系中如图所示，
（1）S△ABC＝ ．
（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
6．（2019·内蒙古八年级月考）如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，以点B为坐标原点，水平方向、竖直方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求直线AF的解析式；
（3）在（2）中的坐标系内是否存在这样的点P，使得以点P、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P的坐标。
7．（2019·广西八年级期中）已知在平面直角坐标系中有A、B、C三点，且A（3，0）、B（0，3）、C（1，4）
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（请直接写出结果）
8．（2018·山东八年级期末）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（2，0），点D（0，3），点C在第一象限．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若E为y轴上的点，求△EBC周长的最小值；
（3）若点Q在平面直角坐标系内，点P在直线AD上，是否存在以DP，DB为邻边的菱形DBQP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2019·山西八年级期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3与坐标轴交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)以AB为边在第四象限内作等边三角形ABC，求△ABC的面积；
(3)在平面内是否存在点M，使得以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，说明理由.
10．（2018·湖南明德华兴中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别
（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
11．（2020·江苏八年级期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，
A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
（1）直接写出坐标：D（ ， ）；
（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（3）在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以O、P、D、Q为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2020·山东九年级期中）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA,OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA>OB.
（1）若点E为x轴上的点，且△AOE的面积为.
求：①点E的坐标；②证明：△AOE∽△DAO;
（2）若点M在平面直角坐标系中，则在直线AB上是否存在点F，使以A,C,F,M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标;若不存在，请说明理由.
13．（2020·重庆八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x向下平移后与y轴交于点A，且过点B (6，2)．C为直线y＝x上一动点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当AC+BC最小时，在平面直角坐标系中存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标．
14．（2018·衡阳市逸夫中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于.
（1）求出点的坐标
（2）当时，直接写出x的取值范围.
（3）点在x轴上，当△的周长最短时，求此时点D的坐标
（4）在平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
15．（2019·江门市第二中学七年级月考）在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点M （0，m），N （n，0），且．
（1）求m，n的值，并在如图的平面直角坐标系中标出M，N 的位置
（2）在坐标轴上是否存在若点P，使得△PMN的面积为6，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2019·黑龙江八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，对角线交于点，且．
求点的坐标及直线的函数解析式；
在平面上是否存在点，使以为顶点四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2019·河北八年级期末）如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+8分别交两轴于点A,B,点C的横坐标为4,点D在线段OA上,且AD=7.
(1)求点D的坐标；
(2)求直线CD的解析式；
(3)在平面内是否存在这样的点F,使以A,C,D,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标；若不存在,不必说明理由.
18．（2020·齐齐哈尔市昂昂溪区教师进修学校八年级期末）如图，平行四边形在直角坐标系中，点、点都在轴上，其中，，，是线段的中点．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校九年级月考）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上，已知点的坐标为， 反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，顺次连接
求线段的长；
在线段上存在一点，当的面积等于时，求点的坐标；
平面直角坐标系中是否存在一点，使得四点构成平行四边形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2019·富顺县赵化中学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，直线与直线交于点,点为轴上一动点.
（1）求点的坐标；
（2）当的值最小时，求此时点的坐标，并求的最小值；
（3）在平面直角坐标系中是否存在点,使以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说出理由.
21．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点的坐标为，点为边上一点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使得直线平分矩形的面积，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
22．（2019·广西八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=8，OD=1，点C为线段AB的中点.
（1）直接写出点C的坐标，C______
（2）求直线CD的解析式；
（3）在平面内是否存在点F，使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（2009·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且
（1）求的值．
（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？
（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2019·黑龙江九年级期末）将矩形如图放置在平面直角坐标系中，为边上的一个动点，过点作交边于点，且，的长是方程的两个实数根，且．
（1）设，，求与的函数关系(不求的取值范围)；
（2）当为的中点时，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2020·江苏八年级月考）如图，平面直角坐标系中，，，，，直线过点，且与轴交于点．
（1）求点、点的坐标；
（2）试说明：；
（3）若点是直线上的一个动点，在轴上是否存在另一个点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2019·福建九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求A、B的坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（2017·上海八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2020·深圳市高级中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
29．（2020·银川市第十五中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若，的长是关于的一元二次方程的两个根，且.
（1）直接写出：______，______；
（2）若点为轴正半轴上的点，且；
①求经过，两点的直线解析式；
②求证：.
（3） 若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
30．（2019·深圳市福田区南华实验学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，OB=OC=2，AB=.
(1)求点D的坐标，直线CD的函数表达式；
(2)已知点P是直线CD上一点，当点P满足S△PAO=S△ABO时，求点P的坐标；
(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F（不与A、B重合），使以A、 C、 F、 M为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．（-5，3）、（5，3）、（3，−3）
【分析】
作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解．
【详解】
如图所示，①AC为对角线时，AB=5，∴点D的坐标为（-5，3），
②BC为对角线时，AB=5，∴点D的坐标为（5，3），
③AB为对角线时，C平移至A的方式为向左平移1个单位，向下平移3个单位，∴点B向左平移1个单位，向下平移3个单位得到点D的坐标为（3，−3），
综上所述，点D的坐标是（-5，3）、（5，3）、（3，−3）．
故答案为：（-5，3）、（5，3）、（3，−3）．
【点拨】
本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．
2．或或．
【分析】
根据要求画出以为顶点的平行四边形即可解决问题．
【详解】
解：在平面直角坐标系内描出 三点，利用平行四边形的性质描出点，得到：或或．
故答案为：或或．
【点拨】
本题考查的是平行四边形的判定和性质以及平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．(3,4)或(1,-2)或(-1,2)
【分析】
由平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，即可求得点C的坐标；注意三种情况．
【详解】
如图所示：
∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），
∴三种情况：
①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；
②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，-2）；
③当OA为对角线时，点C的坐标为（-1，2）；
故答案是：（3，4）或（1，-2）或（-1，2）．
【点拨】
考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
4．点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．
【分析】
根据平行四边形的判定即可得点D的坐标．
【详解】
解：如图，
∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），
以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．
【点拨】
本题主要考查平面直角坐标系和平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．（1）6.5；（2）存在；点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）．
【分析】
（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
（2）求出CP的长，得出OP的长，即可得出结果；
（3）根据平行四边形的判定，分三种情况即可得出结果．
【详解】
(1)S△ABC=3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3=6.5；
故答案为：6.5；
(2)存在；理由如下：
∵S△BCP=CP×3=2S△ABC=2×6.5=13，
∴CP=，
∴OP=CP+2=或OP=CP﹣2=，
∴点P的坐标为(，0)或(﹣，0)；
(3)如图：
当以BC为对角线时，点D1的坐标为(﹣1，﹣2)；
当以AB为对角线时，点D2的坐标为(1，8)；
当以AC为对角线时，点D3坐标为(5，2)；
综上所述，点D的坐标为：(﹣1，﹣2)或(1，8)或(5，2)．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法、运用数形结合的方法是解题的关键．
6．(1)见解析;(2) y=-2x+10 (3)见解析.
【分析】
（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算，而后得出F点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）分三种情况：①当以AE为对角线时；②当以AF为对角线时；③当以EF为对角线时，讨论解答即可.
【详解】
（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE=AB=10，AE2=102=100，
又∵AD2+DE2=82+62=100，
∴AD2+DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，
在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
故BF=5cm；
∴F（5，0），易求直线AF的解析式为：y=-2x+10;
（3）如图所示：
由题意得：A(0,10), E(8,4),F(5,0)
①当以AE为对角线时，
∵四边形AFE为平行四边形，∴AF=E==5,EF=A=,∵F(5,0),E(8,4),可以看作点F的坐标向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到，∴由A(0,10)向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到点(0+3,10+4),即(3,14);
②当以AF为对角线时，
∵四边形AEF为平行四边形，∴AF=F,EF=A,∵A(0,10),E(8,4),可以看作点E的坐标向左平移8个单位，向上平移6个单位，得到，∴由F(5,0)向左平移8个单位，再向上平移6个单位得到点(5-8,0+6),即(-3,6);
③当以EF为对角线时，
∵四边形AEF为平行四边形，∴AF=F,AF=E,∵A(0,10),E(8,4),可以看作点A的坐标向右平移8个单位，再向下平移6个单位得到，∴由F(5,0) 向右平移8个单位，再向下平移6个单位得到点(5+8,0-6),即(13,-6);
综上所述：P1(3，14)，P2(-3，6)，P3(13，-6)
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，注意分类讨论思想的运用．
7．（1）△ABC是直角三角形；（2）点D坐标为（4，1）或（-2，7）或（2，-1）
【解析】
【分析】
（1）由两点距离公式可求AB=3，AC=2，BC=，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；
（2）分三种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式，可得点D坐标．
【详解】
解：（1）∵A（3，0）、B（0，3）、C（1，4）
∴AB=3，AC=2，BC=
∵AB2+BC2=20，AC2=20，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形
（2）设点D坐标（a，b）
若以AB，BC为边，则
∴a=4，b=1
若以AC，AB为边，则
∴a=-2，b=7
若以BC，AC为边，则
∴a=2，b=-1
∴点D坐标为（4，1）或（-2，7）或（2，-1）
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，两点距离公式，利用分类思想解决问题是本题的关键．
8．（1）;（2）△EBC周长的最小值为;（3）满足条件的点P坐标为（﹣2，0）或（2，6）.
【解析】
【分析】
（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A、D两点坐标代入，把问题转化为解方程组即可；
（2）因为A、B关于y轴对称，连接AC交y轴于E，此时△BEC的周长最小；
（3）分两种情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】
.解：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），D（0，3）代入y＝kx+b，得到 ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为y＝x+3．
（2）如图1中，∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴A、B关于y轴对称，
连接AC交y轴于E，此时△BEC的周长最小，
周长的最小值＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC，
∵A（﹣2，0），C（4，3），B（2，0），
∴AC＝ ，
∴△EBC周长的最小值为: ．
（3）如图2中，
①当点P与A重合时，四边形DPQB是菱形，此时P（﹣2，0），
②当点P′在AD的延长线上时，DP′＝AD，此时四边形BDP′Q是菱形，此时P′（2，6）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣2，0）或（2，6）；
【点拨】
本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、轴对称最短问题、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．(1) A(0，-3)，B(4，0)；(2) ；(3)存在，(-4，-3)或(4，3)或(4，-3).
【解析】
【分析】
（1）当x=0时，y=-3，当y=0时，x=4，可求A，B两点的坐标；
（2）由勾股定理可求AB的长，即可求△ABC的面积；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求点M坐标．
【详解】
(1)在中，令x=0，得y=-3
令y=0，得x=4
∴A(0，-3)，B(4，0)
(2)由(1)知：OA=3，0B=4
在RtΔAOB中，由勾股定理得：AB=5.
如图：过C作CD⊥AB于点D,
则AD=BD=
又AC=AB=5.
在Rt△ADC中，
∴
(3) 若AB为边时，
∵以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形
∴MO∥AB，MO=AB=5，
当点M在OB下方时，AM=BO=4，AM∥OB
∴点M（-4，-3）
当点M在OB上方时，OA=BM=3，OA∥BM
∴点M（4，3）
若AB为对角线时，
∵以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形
∴AM∥OB，BM∥OA，
∴点M（4，-3）
综上所述：点M坐标为（-4，-3），（4，3），（4，-3）.
【点拨】
考查了一次函数的应用，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是分类讨论思想的应用．
10．（1）y=x+2．
（2）（-，3）．
（3）（，3）或（-，-3）或（-3，3）．
【解析】
【分析】
（1）求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，利用三角函数的知识，求出DE及OE的长度，即可得出点D的坐标．
（3）找到点P的可能位置，利用平行四边形对边相等的性质即可得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）由题意得，OA=2，∠CAO=30°，
则OC=OAtan∠CAO=2，
即点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，将点A及点C的坐标代入得：，
解得：，
故直线AC的函数表达式为：y=x+2．
（2）过点D作DE⊥OA于点E，
∵∠CAO=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵AD=AO=2，
∴DE=3，AE=，
∴OE=，
故点D的坐标为（-，3）．
（3）
①当AD为平行四边形的一边时，点P的位置有两个，分别为P1、P2，
当点P位于P1位置时，DP1=AO，
此时可得点P的坐标为（，3）；
当点P位于P2位置时，
∵OD=AD，△AOD是等边三角形，
∴点P2与点D关于x轴对称，
此时可得点P的坐标为（-，-3）；
②当AD为平行四边形的对角线时，点P的位置有一个，在P3的位置，
此时DP3=AO，
故可得点P的坐标为（-3，3）．
综上可得存在点P的坐标，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（，3）或（-，-3）或（-3，3）．
【点拨】
本题考查了一次函数的综合，涉及知识点较多，解答本题的第一问的关键是熟练掌握待定系数法，第二问要求我们能熟练解直角三角形，第三问要求我们具备分类讨论的能力，另外要熟练掌握平行四边形的性质．
11．（1）5，0；（2）t＝5；（3）满足条件的点Q的坐标为：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．
【分析】
（1）根据中点的定义求出OD的长即可解决问题；
（2）利用平行四边形的性质求出PC＝5即可解决问题；
（3）分四种情形：当P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵A（10，0），OD＝DA，
∴OA＝10，OD＝DA＝5，
∴D（5，0）．
故答案为5，0．
（2）∵四边形 PODB 是平行四边形，
∴PB＝OD＝5，
∴PC＝5，
∴t＝5．
（3）当P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝3，可得Q1（8，4）
当P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，
∴OE＝ED＝2.5，可得Q2（2.5，﹣4），
当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，
∴P3C＝2，可得Q3（﹣3，4），
当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG＝3，
∴OG＝8，可得Q4（3，4），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．
【点拨】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法．
12．（1）①或；②详见解析；（2）
【分析】
（1）①解一元二次方程求出OA，OB的长度，根据三角形的面积求出点E的坐标.
②分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（2）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【详解】
(1)
(x−3)(x−4)=0，
∴x−3=0，x−4=0，
解得
∵OA>OB，
∴OA=4，OB=3，
∵
∴
∴
∵点E在x轴上
∴E点的坐标为或
②在△AOE与△DAO中, AD=6，
∴
又∵
∴△AOE∽△DAO；
(2)根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F(−3,0)，
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F(3,8).
③AC是对角线时,做AC垂直平分线L,AC解析式为,直线L过 且k值为 (平面内互相垂直的两条直线k值乘积为−1)，
L解析式为 联立直线L与直线AB求交点，
∴F;
④AF是对角线时,过C做AB垂线,垂足为N,根据等积法求出勾股定理得出,A做A关于N的对称点即为F,过F做y轴垂线,垂足为G,
∴F
综上所述,满足条件的点有四个：
【点拨】
考查相似三角形的判定与性质, 解一元二次方程-因式分解法,平行四边形的性质, 菱形的性质等，注意分类讨论思想在解题中的应用.
13．（1）y＝x﹣4；（2）(5，﹣3)或(7，7)或(﹣5，﹣5)
【分析】
（1）设直线AB解析式为：y＝x+b，将点B坐标代入可求解；
（2）先求出点C坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【详解】
（1）设直线AB解析式为：y＝x+b，过点B（6，2），
∴2＝6+b，
∴b＝﹣4，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4；
（2）如图，作点A关于直线y＝x的对称点A'，
∵直线AB与y轴交于点A，
∴点A（0，﹣4），
∴点A关于直线y＝x的对称点A'（﹣4，0），
∴设直线A'B的解析式为：y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线A'B的解析式为：y＝x+，
联立方程组得：
解得，
∴点C坐标为（1，1），
设点D（x，y），
若AB为对角线，则，
∴x＝5，y＝﹣3，
∴点D（5，﹣3），
若BC为对角线，则，
∴x＝7，y＝7，
∴点D（7，7），
若AC为对角线，则，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴点D（﹣5，﹣5），
综上所述：点D坐标为：(5，﹣3)或(7，7)或(﹣5，﹣5)．
【点拨】
本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
14．（1）（6，3）；（2）；（3）（0，0）；（4）（6，9）或（6，-3）或（-6，3）.
【分析】
（1）直接联立两直线解析式，即可得到点A的坐标；
（2）直接在图象上找到时，x的取值范围；
（3）过点A作交点为E即可得出点D与点O重合的时候，△的周长最短，即可得出点D的坐标；
（4）分三种情况考虑：当四边形OAQ1C为平行四边形时；当四边形OQ2AC为平行四边形时；当四边形OACQ3为平行四边形时，分别求出点Q的坐标即可.
【详解】
（1）联立两直线解析式可得
解得：
点A的坐标为（6，3）
（2）由点A（6，3）及图象知，当时，
（3）
过点A作交点为E，由图可知点B关于直线AE的对称点为点O
当点D与点O重合的时候，△的周长最短
即为CO+BC=6+6
此时点D的坐标为（0，0）
（4）存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形
如图所示，分三种情况考虑：
当四边形OAQ1C为平行四边形时,
点Q1的横坐标为6，纵坐标为点C的纵坐标+3=9
Q1的坐标为（6，9）
当四边形OQ2AC为平行四边形时,
点Q2的横坐标为6，纵坐标为点A的纵坐标-6=-3
Q2的坐标为（6，-3）
当四边形OACQ3为平行四边形时,
点Q3关于OC的对称点为点A
Q3的坐标为（-6，3）
综上点Q的坐标为：（6，9）或（6，-3）或-6，3）.
【点拨】
本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，解题的重点是要熟练掌握各自的性质.
15．（1）坐标位置见解析（2）存在，P的坐标为：（2,0）或（10,0），（0,1）或（0,5）
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的性质可知 ，所以可列方程组 ，得到m，n的值，从而得出点M，N的位置.
（2）分类讨论点P在坐标轴上的位置，①当点P在X轴上时，△PMN的高是3，由三角形的面积公式可求得答案；②当点P在Y轴上时，△PMN的高是6，由三角形的面积公式可求得答案.
【详解】
（1）由，根据二次根式的性质和绝对值的性质可知，则，所以 .
（2）分类讨论点P在坐标轴上的位置，①当点P在X轴上时，△PMN的高是3，由三角形的面积公式可知三角形在X轴上的底边长= ，故点P的横坐标与点N相差4个单位，则点P的坐标为：（2,0）或（10,0）.
②当点P在Y轴上时，△PMN的高是6，由三角形的面积公式可知三角形在Y轴上的底边长= ，故点P的横坐标与点N相差2个单位，则点P的坐标为：（0,1）或（0,5）.
【点拨】
本题考查二次根式、绝对值的性质、三角形面积公式及坐标轴，是一个难度一般的综合题，熟悉二次根式、绝对值的性质、三角形面积公式，仔细计算是解题的关键.
16．（1）C (8，-4)，； （2）存在，(4，4)或(4，-4)或(12，-4)．
【分析】
（1）利用勾股定理求得OB的长，利用平行四边形的性质可求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的函数解析式；
（2）分类讨论，当分别以BC、BD、CD为对角线时，即可求出点的坐标．
【详解】
（1）∵OA=4，AB=4，且OA⊥OB，
∴OB=，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA=4，CB⊥OB，
∴点C的坐标为(8，-4)；
设直线AC的函数解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的函数解析式为；
（2）∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA=4，CB⊥OB，OD=DB=OB=4，
当以BD为对角线时，
∴D∥BC，D=BC=4，
∴D⊥OB，
∴点的坐标为(4，4)；
当以CD为对角线时，
∴D∥BC，D=BC=4，
∴D⊥OB，
∴点的坐标为(4，-4)；
当以BC为对角线时，
∴C∥BD，C= BD =4，
∴点的坐标为(12，-4)．
【点拨】
本题考查了坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理以及平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．（1）点D(1,0)；（2）y=43x-43；（3）点F的坐标是(11,4)，(5,-4)，(-3,4)．
【解析】
【分析】
（1）首先根据直线y=-x+8分别交两轴于点A、B，可得点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），然后根据点D在线段OA上,且AD=7，即可求出点D的坐标；
（2）利用待定系数法可求直线CD的解析式；
（3）设点F(x,y)，分情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式，可求出点F的坐标．
【详解】
解：（1）∵直线y=-x+8分别交两轴于点A,B，
∴当x=0时，y=8，当y=0时，x=8
∴点A(8,0)，点B(0,8)
∵点D在线段OA上，且AD=7．
∴点D(1,0)
（2）∵点C的横坐标为4，且在直线y=-x+8上，
∴y=-4+8=4，
∴点C(4,4)
设直线CD的解析式y=kx+b
∴4=4k+b0=k+b，解得：k=43b=-43
∴直线CD解析式为：y=43x-43．
（3）设点F(x,y)
①若以CD,AD为边，
∵四边形ADCF是平行四边形，∴AC,DF互相平分，
∵点A(8,0)，点D(1,0)，点C(4,4)，点F(x,y)
∴4+82=1+x20+42=0+y2，解得x=11y=4，
∴点F(11,4)
②若以AC,AD为边
∵四边形ADFC是平行四边形，∴AF,CD互相平分，
∵点A(8,0)，点D(1,0)，点C(4,4)，点F(x,y)
∴8+x2=4+120+y2=0+42，解得x=-3y=4，
∴点F(-3,4)
③若以CD,AC为边，
∵四边形CDFA是平行四边形，∴AD,CF互相平分，
∵点A(8,0)，点D(1,0)，点C(4,4)，点F(x,y)
∴1+82=4+x20+02=4+y2，解得x=5y=4，
∴点F(5,-4)
综上所述：点F的坐标是(11,4)，(5,-4)，(-3,4)．
【点拨】
此题考查平行四边形的性质，中点坐标公式，求一次函数的解析式，解题关键在于分情况讨论.
18．（1）C (3，0)，D (6，4)；（2）存在， (，)， (，)， (，)
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可求得OC的长，从而求得点C，D的坐标；
（2）分AD为对角线，DE为对角线，AE为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵OB=3，
∴OC=6-3=3，
∴点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(6，4)；
（2）存在，
理由如下：
∵E是线段OD的中点，
∴点E的坐标为(，)，即(3，2)，
设点N的坐标为(，)，
当AD为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，)；
当DE为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，)；
当AE为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，) ．
【点拨】
本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算．
19．（1）；（2）；（3）存在，N的坐标为（1，−2），（−1，2），（3，6）．
【分析】
（1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出DE的长；
（2）根据D坐标确定出直线OD与直线OE解析式，过点M作MN∥y轴交OE于点N，设M（t，4t），N（t，t），三角形MOE面积＝三角形NOM面积＋三角形MNE面积，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标；
（3）由题意得：O（0，0），D（1，4），E（2，2），设N（x，y），分三种情况考虑：当四边形ON1ED为平行四边形时；当四边形OEDN2为平行四边形时；当四边形OEN3D为平行四边形时即可．
【详解】
解：（1）∵点B的坐标为（2，4），D为AB中点，
∴D（1，4），
∴反比例函数解析式为y＝，
把x＝2代入得：y＝2，即E（2，2），
则DE＝=；
（2）由D（1，4），得到直线OD解析式为y＝，
由E（2，2），得到直线OE解析式为y＝x，
过点M作MN∥y轴交OE于点N，
设M（t，4t），则N（t，t），
S△MOE＝S△OMN＋S△MNE＝t（4t−t）＋（2−t）（4t−t）＝×2•3t＝3t，
∴3t＝，
解得：t＝，
则点M坐标为（，1）；
（3）由题意得：O（0，0），D（1，4），E（2，2），设N（x，y），
分三种情况考虑：当四边形ON1ED为平行四边形时，可得0＋2＝1＋x，0＋2＝4＋y，
解得：x＝1，y＝−2，即N1（1，−2）；
当四边形OEDN2为平行四边形时，可得0＋1＝2＋x，0＋4＝2＋y，
解得：x＝−1，y＝2，即N2（−1，2）；
当四边形OEN3D为平行四边形时，可得1＋2＝0＋x，4＋2＝0＋y，
解得：x＝3，y＝6，即N3（3，6），
综上，N的坐标为（1，−2），（−1，2），（3，6）．
【点拨】
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，以及三角形，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
20．（1）；（2）；（3）存在在点使以点为顶点的四边形是平行四边形；其坐标是： 或或.
【解析】
【分析】
（1）联立两直线解析式组成方程组，解得即可得出结论；
（2）先确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标；
（3）利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式即可得出结论.
【详解】
（1）根据题意联立 解得 ∴.
（2）如图，作点关于轴的对称点,连接交 轴于点,点就是所求作的的值最小的点，
设 所在的直线为，
由题意可列：，
解得：，
∴直线 的解析式为，
令，则，
∴，
由点可求的最小值为： ,
（3）存在点,使以点为顶点的四边形是平行四边形.
如图，作△ ,使△的三个顶点分别是其三边的中点，
设，则，
解得，
∴，
同理，
∵，
∴ 在第一、三象限的角平分线上，且，
∴ ，
综上所述，存在在点使以点为顶点的四边形是平行四边形；其坐标是：或或.
【点拨】
此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，平行四边形的性质，待定系数法，极值的确定，用分类讨论的思想和方程（组）解决问题是解本题的关键．
21．（1）；（2）存在，（8，0）；（3）点的坐标为或或．
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）由，即可求解
（3）分AO是边、AO是对角线利用平移的性质和中点公式，分别求解即可；
【详解】
∵(10，6)
∴，，
∴点A(0，6)、点B(10，0)，
设直线的表达式为，则，
解得，
故直线的表达式为；
（2）存在，理由：
矩形的面积，
，则，，
设点E(x，0)，
则，解得，
故点的坐标为(8，0)；
（3）点为矩形的中心，由中点公式得，点P(5，3)，
而点A(0，6)、点O(0，0)，设点Q(a，b)，
①当是边时，
由向右平移0个单位向上平移6个单位得到点，同样点向右平移0个单位向上平移6个单位得到点，
则，解得；
②当是对角线时，
由中点公式得：，解得，
故点的坐标为(5，9)或(5，-3)或(-5，3)．
【点拨】
本题考查了一次函数综合应用，涉及到一次函数的性质，平行四边形的性质，面积的计算，其中（3）要注意分类讨论，避免遗漏；
22．（1）C4,4；（2）y=43x-43；（3）点F的坐标是11,4，5,-4，-3,4.
【解析】
【分析】
（1）根据A（8,0）B（0,8），点C为线段AB的中点即可得到C点坐标；
（2）由OD=1，故D（1,0），再由C点坐标用待定系数法即可求解；
（3）根据A、C、D的坐标及平行四边形的性质作图分三种情况进行求解
【详解】
解：（1）∵A（8,0）B（0,8），点C为线段AB的中点
∴C4,4
（2）由已知得点D的坐标为1,0，
设直线CD的解析式是y=ax+b，
则a+b=04a+b=4，解得a=43b=-43，
∴直线CD的解析式是y=43x-43.
（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，
①如图1，∵CF平行且等于DA，相当于将点C向右平移7个单位，故点F的坐标是11,4.
②如图2，∵AF∥CD，∴AF所在的直线解析式为y=43x+b1，
把A （8,0）代入解得AF所在的直线的解析式是y=43x-323，
根据A （8,0），B（0,8）求出AB直线的解析式为y=-x+8,
∵DF∥AB,∴DF所在的直线解析式为y=-x+b2，
把D（1,0）代入y=-x+b2求得DF所在的直线的解析式是y=-x+1，
联立y=43x-323y=-x+1，解得：x=5y=-4，故点F的坐标是5,-4.
③如图3，当CF平行且等于AD时，相当于将点C向左平移7个单位，故点F的坐标是-3,4.
综上，可得点F的坐标是11,4，5,-4，-3,4.
【点拨】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式及平行四边形的性质.
23．解：（1）解得
在中，由勾股定理有
（2）∵点在轴上，
由已知可知D（6，4）
设当时有
解得
同理时，
在中，
在中，
（3）满足条件的点有四个
【解析】
（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可得到的值．
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
24．（1）；（2）或；（3）存在．，，．
【分析】
（1）利用因式分解法解出一元二次方程，得到OA、OB的长，证明△AOE∽△ECD，根据相似三角形的性质列出比例式，整理得到y与x的函数关系；
（2）列方程求出OE，利用待定系数法求出直线AE的解析式；
（3）根据平行四边形的性质、坐标与图形性质解答．
【详解】
（1），
，
∴解得，．
∵，
∴，．
∵，
∴∠AEO＋∠DEC＝90，
又∵∠AEO＋∠OAE＝90，
∴∠OAE＝∠CED，又∠AOE＝∠ECD＝90，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）当为的中点时，．
∵，
∴．
解得，．
当时，设直线的解析式为，把A（0，8），E（4，0）代入
得
解得，
∴；
当时，设直线的解析式为，把A（0，8），E（8，0）代入
得
解得，
∴直线的解析式为或．
（3）当点F在线段OA上时，FA＝BD＝4，
∴OF＝4，即点F的坐标为（0，4），
当点F在线段OA的延长线上时，FA＝BD＝4，
∴OF＝12，即点F的坐标为（0，12），
当点F在线段BC右侧、AB∥DF时，DF＝AB＝12，
∴点F的坐标为（24，4），
综上所述，以A，D，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，点F的坐标为（0，4）或（0，12）或（24，4）．
【点拨】
本题考查的是一次函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（1）；；（2）见详解；（3）存在，或或
【分析】
（1）令求出x的值，即可得出点A的坐标；作，可知四边形是矩形，可得点B的坐标；
（2）先求出点D的坐标，可证，得出，进一步可证明结论；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，可得出再根据点B、M的纵坐标相等，可求得点M的坐标，从而得出BM的值，最后再分情况分析讨论即可得出答案．
【详解】
解：（1））令，解得：，点A的坐标为；
作，四边形是矩形，
∴
∴点B的坐标为；
（2）令中x值为0，解得，，点D的坐标为，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（3）存在点N．理由如下：
∵点N在x轴上，以、、、为顶点的四边形是平行四边形
∴
∴点B、M的纵坐标相等
令
解得：
∴
∴
当点N在点O左侧时：点N的坐标为；
当点N在点O右侧时：点N的坐标为；
作点关于点A对称的点也符合，此时点的坐标为．
综上所述，点N的坐标为或或．
【点拨】
本题综合考查的是一次函数，主要有坐标与图形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质，综合性较强，但难度不大，只有仔细分析题目，理清数量关系便不难解决．
26．（1）A（0，4），B（﹣3，0）（2）射线AO是∠BAC的平分线（3）满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．
【解析】
试题分析：（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；
（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出△AOB≌△AOC即可；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
试题解析：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，∴x=3或x=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，∴A（0，4），B（﹣3，0）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，∵B（﹣3，0），∴C（3，0），∴OC=OB，在△AOB和△AOC中，∵OB=OC，∠AOB=∠AOC，AO=AO，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO，∴射线AO是∠BAC的平分线
（3）∵OB=OC=3，∴AO平分∠BAC．
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（﹣3，0）；
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=﹣x+4，直线L过（，2），且k值（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），L解析式为，联立直线L与直线AB求交点，∴F（﹣，﹣）；
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，
根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，作A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=，∴F（﹣，）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．
点拨：此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，判断出AO平分∠BAC，难点是分类讨论．
27．（1）点A（0，4）；点B（，0）．（2）直线DC的解析式为．（3）点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．
【解析】
（1）分别令一次函数中x=0、y=0，求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由点D的纵坐标为9即可得出AE的长，根据菱形的性质得出AB=AD，结合勾股定理即可求出点D的坐标，由DC∥AB可设直线DC的解析式为，代入点D的坐标求出b值即可得出结论；
（3）假设存在，点C时以BD为对角线找出的点，再分别以AB、AD为对角线，根据平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点A、B、D的坐标即可得出点P的坐标．
解：（1）令中x=0，则y=4，
∴点A（0，4）；
令中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=2，
∴点B（2，0）．
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，如图1所示．
∵点D的纵坐标为9，OA=4，
∴AE=5．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴AD=AB=，
∴DE==，
∴D（，9）．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴设直线DC的解析式为，
∵直线DC过点D（，9），
∴b=11，
∴直线DC的解析式为．
（3）假设存在．
以点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形还有两种情况（如图2）：
①以AB为对角线时，
∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴点P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；
②以AD为对角线时，
∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴点P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．
故除点C外，在平面直角坐标系xOy中还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形，点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．
“点拨”本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及待定系数法求函数解析，解题的关键是：（1）分别代入x=0，y=0，求出与之对应的y、x的值；（2）求出点D的坐标；（3）分别以AB、AD为对角线求出点P的坐标.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质（对角线互相平分），结合三个顶点的坐标求出另一顶点坐标是关键.
28．（1）A（1，1），B（3，0）；（2）存在一点C，C（－2，1）或（4，1）或（2，－1）；（3）在直线OA上，存在一点D， D（－，－）或（，）或（3，3）或（，），使得△DOB是等腰三角形．
【分析】
（1）直线y＝－x＋与y＝x联立方程组求解，即可求出点A坐标，把y=0代入直线y＝－x＋即可求出点B坐标；
（2）分AO为对角线、AB为对角线、OB为对角线三种情况讨论，即可求出点C坐标；
（3）分OB＝OD、OD＝OB、OB＝DB三种情况讨论，结合勾股定理即可求出点D坐标．
【详解】
（1）∵直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，
∴联立得，解得，
∴点A（1，1），
∵直线y＝－x＋与x轴交于点B，
∴令y＝0，得－x＋＝0，解得x＝3，
∴B（3，0），
（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．
①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，OC∥AB，
∴四边形CABO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，
∴C（－2，1），
②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，BC∥AO，
∴四边形CAOB是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），
③如图3，过点O作平行于AB的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵OC∥AB，BC∥AO，
∴四边形CBAO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AO＝BC，OC＝AB，
作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，
∴C（2，－1），
（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，
①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（－，－），
②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（，），
③如图6，当OB＝DB时，
∵∠AOB＝∠ODB＝45°，
∴DB⊥OB，
∵OB＝3，
∴D（3，3），
④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵∠AOB＝∠OBD＝45°，
∴OD⊥DB，
∵OB＝3，
∴OE＝，AE＝，
∴D（，）．
综上所述，在直线OA上，存在点D（－，－），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形．
【点拨】
本题为与几何有关一次函数的综合题，考查了一次函数与方程（组）的关系，确定平行四边形第四个顶点坐标，等腰三角形第三个顶点的坐标，勾股定理等知识，综合性强，理解一次函数与方程（组）的关系，能进行分类讨论是解题关键．
29．（1）4，3；（2）①；，②证明见解析；（3）；；；.
【分析】
（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【详解】
（1）方程，
分解因式得：，
可得：，，
解得：，，
∵，
∴，；
故答案为4，3；
（2）①根据题意，设，则，
解得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴点的坐标是，
设经过、两点的直线的解析式为，
则，
解得：，
∴解析式为；
②如图，
在与中，，，
∴，
又∵，
∴；
（3）根据计算的数据，，
∵，
∴平分，
分四种情况考虑：
①、是邻边，点在射线上时，，
∴点与重合，即；
②、是邻边，点在射线上时，应在直线上，且垂直平分，
此时点坐标为；
③是对角线时，做垂直平分线，解析式为，直线过，且值为（平面内互相垂直的两条直线值乘积为-1），
∴解析式为，
联立直线与直线，得：，
解得：，，
∴；
④是对角线时，过作垂线，垂足为，
∵，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得，即，
做关于的对称点，记为，，
过做轴垂线，垂足为，，
∴，
综上所述，满足条件的点有四个：；；；.
【点拨】
此题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，综合性较强，（3）求点F要根据AC与AF是邻边与对角线的情况进行讨论，不要漏解．
30．（1）D（4，3），；（2）P（3，）或（-3，）；（3）F（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）.
【分析】
（1）先求出A点坐标，然后根据菱形的性质得到D点的坐标，利用C，D两点的坐标求出解析式；
（2）利用点P是直线CD上一点，AO为△PAO的底边不变，并且S△PAO=S△ABO，分两种情况讨论即可；
（3）根据菱形的性质，分AC、AF是邻边，AC、AF是邻边，AC是对角线，AF是对角线四种的情况分别进行求解计算．
【详解】
解：∵OB=OC=2，AB=，
∴AD=OB+OC=2+2=4，
，
∴A点的坐标为：（0，3），
D点的坐标为：（4，3），
C点的坐标为：（2，0），
设直线CD的函数表达式为：，
∴将C，D点的坐标代入，得：
，解之得：，
∴直线CD的函数表达式为：，
（2）
如图示：∵
∴
设P点坐标为（，）
即：，
∴，
则：，或
∴，或
即P点坐标为（，）或（-3，）；
（3） ∵由（1）得OB=OC=2，AB=，OA=3，
∴AC=，
①当AC、AF是邻边时，如图示，
AF=AC=，即点F与B重合，
∴F的坐标为（-3，0），
②当AC、AF是邻边，如图示，
M在直线AD上，且FC垂直平分AM，C，F沿AD成轴对称，
则F的坐标为：（2，6），
③AC是对角线时，如图示：
作AC垂直平分线FE，
∵AC经过A（0，3），C（2，0），
∴AC解析式为：，并且E点的坐标为（1，），
∵，
∴设FE的解析式为：，将E点坐标，代入化简得：
FE的解析式为：
又∵AB经过A（0，3），B（-2，0），
∴AB解析式为：，
∴Ｆ点的坐标为方程组 的解，
解之得： ,
∴则F的坐标为：（，）,
④AF是对角线时，如图示：
过C作AB垂线，垂足为N，
则
∵，
∴，
∴，，
设F点的横坐标为，根据F点在AB上，并AB解析式为：，
∴F的坐标为：（，）,
则根据勾股定理，有：
∴，，
∴
∴F的坐标为：（，）
综上所述，F点的坐标为：（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，四边形的综合问题，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，难点是分类讨论．
专题18.16 平行四边形-存在性问题（专项练习）
平行四边形的存在性问题，尤其是坐标系中平行四边形的存在性问题，是中考压轴题的重要组成部分内容之一，因此进入平行四边形的学习后，引入平行四边形的存在性问题，充分利用数形结合的思想对学生的辅导，是十分必要的，本专题训练汇集了一些典型的，常考题供老师和学生参考使用，对刚进入平行四边形的学习和准备参加中考的考生来讲进行巩固练习都是十分必要的。
一、填空题
1．（2020·北京市顺义区第五中学八年级期中）在平面直角坐标系中，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点坐标是________________．
2．（2020·内蒙古九年级月考）在平面直角坐标系中，为坐标系原点，在坐标平面内，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点坐标为___________．
3．（2020·陕西八年级期末）如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,3),B(2,1),直角坐标系中存在点C,使得O,A,B,C四点构成平行四边形,则C点的坐标为______________________________.
二、解答题
4．（2020·北京四中八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．）
5．（2019·江苏七年级期中）△ABC在平面直角坐标系中如图所示，
（1）S△ABC＝ ．
（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
6．（2019·内蒙古八年级月考）如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，以点B为坐标原点，水平方向、竖直方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求直线AF的解析式；
（3）在（2）中的坐标系内是否存在这样的点P，使得以点P、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P的坐标。
7．（2019·广西八年级期中）已知在平面直角坐标系中有A、B、C三点，且A（3，0）、B（0，3）、C（1，4）
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（请直接写出结果）
8．（2018·山东八年级期末）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（2，0），点D（0，3），点C在第一象限．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若E为y轴上的点，求△EBC周长的最小值；
（3）若点Q在平面直角坐标系内，点P在直线AD上，是否存在以DP，DB为邻边的菱形DBQP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2019·山西八年级期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3与坐标轴交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)以AB为边在第四象限内作等边三角形ABC，求△ABC的面积；
(3)在平面内是否存在点M，使得以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，说明理由.
10．（2018·湖南明德华兴中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别
（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
11．（2020·江苏八年级期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，
A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
（1）直接写出坐标：D（ ， ）；
（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（3）在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以O、P、D、Q为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2020·山东九年级期中）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA,OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA>OB.
（1）若点E为x轴上的点，且△AOE的面积为.
求：①点E的坐标；②证明：△AOE∽△DAO;
（2）若点M在平面直角坐标系中，则在直线AB上是否存在点F，使以A,C,F,M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标;若不存在，请说明理由.
13．（2020·重庆八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x向下平移后与y轴交于点A，且过点B (6，2)．C为直线y＝x上一动点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当AC+BC最小时，在平面直角坐标系中存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标．
14．（2018·衡阳市逸夫中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于.
（1）求出点的坐标
（2）当时，直接写出x的取值范围.
（3）点在x轴上，当△的周长最短时，求此时点D的坐标
（4）在平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
15．（2019·江门市第二中学七年级月考）在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点M （0，m），N （n，0），且．
（1）求m，n的值，并在如图的平面直角坐标系中标出M，N 的位置
（2）在坐标轴上是否存在若点P，使得△PMN的面积为6，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2019·黑龙江八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，对角线交于点，且．
求点的坐标及直线的函数解析式；
在平面上是否存在点，使以为顶点四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2019·河北八年级期末）如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+8分别交两轴于点A,B,点C的横坐标为4,点D在线段OA上,且AD=7.
(1)求点D的坐标；
(2)求直线CD的解析式；
(3)在平面内是否存在这样的点F,使以A,C,D,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标；若不存在,不必说明理由.
18．（2020·齐齐哈尔市昂昂溪区教师进修学校八年级期末）如图，平行四边形在直角坐标系中，点、点都在轴上，其中，，，是线段的中点．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校九年级月考）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上，已知点的坐标为， 反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，顺次连接
求线段的长；
在线段上存在一点，当的面积等于时，求点的坐标；
平面直角坐标系中是否存在一点，使得四点构成平行四边形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2019·富顺县赵化中学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，直线与直线交于点,点为轴上一动点.
（1）求点的坐标；
（2）当的值最小时，求此时点的坐标，并求的最小值；
（3）在平面直角坐标系中是否存在点,使以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说出理由.
21．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点的坐标为，点为边上一点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使得直线平分矩形的面积，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
22．（2019·广西八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=8，OD=1，点C为线段AB的中点.
（1）直接写出点C的坐标，C______
（2）求直线CD的解析式；
（3）在平面内是否存在点F，使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（2009·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且
（1）求的值．
（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？
（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2019·黑龙江九年级期末）将矩形如图放置在平面直角坐标系中，为边上的一个动点，过点作交边于点，且，的长是方程的两个实数根，且．
（1）设，，求与的函数关系(不求的取值范围)；
（2）当为的中点时，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2020·江苏八年级月考）如图，平面直角坐标系中，，，，，直线过点，且与轴交于点．
（1）求点、点的坐标；
（2）试说明：；
（3）若点是直线上的一个动点，在轴上是否存在另一个点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2019·福建九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求A、B的坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（2017·上海八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2020·深圳市高级中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
29．（2020·银川市第十五中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若，的长是关于的一元二次方程的两个根，且.
（1）直接写出：______，______；
（2）若点为轴正半轴上的点，且；
①求经过，两点的直线解析式；
②求证：.
（3） 若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
30．（2019·深圳市福田区南华实验学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，OB=OC=2，AB=.
(1)求点D的坐标，直线CD的函数表达式；
(2)已知点P是直线CD上一点，当点P满足S△PAO=S△ABO时，求点P的坐标；
(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F（不与A、B重合），使以A、 C、 F、 M为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．（-5，3）、（5，3）、（3，−3）
【分析】
作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解．
【详解】
如图所示，①AC为对角线时，AB=5，∴点D的坐标为（-5，3），
②BC为对角线时，AB=5，∴点D的坐标为（5，3），
③AB为对角线时，C平移至A的方式为向左平移1个单位，向下平移3个单位，∴点B向左平移1个单位，向下平移3个单位得到点D的坐标为（3，−3），
综上所述，点D的坐标是（-5，3）、（5，3）、（3，−3）．
故答案为：（-5，3）、（5，3）、（3，−3）．
【点拨】
本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．
2．或或．
【分析】
根据要求画出以为顶点的平行四边形即可解决问题．
【详解】
解：在平面直角坐标系内描出 三点，利用平行四边形的性质描出点，得到：或或．
故答案为：或或．
【点拨】
本题考查的是平行四边形的判定和性质以及平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．(3,4)或(1,-2)或(-1,2)
【分析】
由平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，即可求得点C的坐标；注意三种情况．
【详解】
如图所示：
∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），
∴三种情况：
①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；
②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，-2）；
③当OA为对角线时，点C的坐标为（-1，2）；
故答案是：（3，4）或（1，-2）或（-1，2）．
【点拨】
考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
4．点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．
【分析】
根据平行四边形的判定即可得点D的坐标．
【详解】
解：如图，
∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），
以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．
【点拨】
本题主要考查平面直角坐标系和平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．（1）6.5；（2）存在；点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）．
【分析】
（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
（2）求出CP的长，得出OP的长，即可得出结果；
（3）根据平行四边形的判定，分三种情况即可得出结果．
【详解】
(1)S△ABC=3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3=6.5；
故答案为：6.5；
(2)存在；理由如下：
∵S△BCP=CP×3=2S△ABC=2×6.5=13，
∴CP=，
∴OP=CP+2=或OP=CP﹣2=，
∴点P的坐标为(，0)或(﹣，0)；
(3)如图：
当以BC为对角线时，点D1的坐标为(﹣1，﹣2)；
当以AB为对角线时，点D2的坐标为(1，8)；
当以AC为对角线时，点D3坐标为(5，2)；
综上所述，点D的坐标为：(﹣1，﹣2)或(1，8)或(5，2)．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法、运用数形结合的方法是解题的关键．
6．(1)见解析;(2) y=-2x+10 (3)见解析.
【分析】
（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算，而后得出F点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）分三种情况：①当以AE为对角线时；②当以AF为对角线时；③当以EF为对角线时，讨论解答即可.
【详解】
（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE=AB=10，AE2=102=100，
又∵AD2+DE2=82+62=100，
∴AD2+DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，
在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
故BF=5cm；
∴F（5，0），易求直线AF的解析式为：y=-2x+10;
（3）如图所示：
由题意得：A(0,10), E(8,4),F(5,0)
①当以AE为对角线时，
∵四边形AFE为平行四边形，∴AF=E==5,EF=A=,∵F(5,0),E(8,4),可以看作点F的坐标向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到，∴由A(0,10)向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到点(0+3,10+4),即(3,14);
②当以AF为对角线时，
∵四边形AEF为平行四边形，∴AF=F,EF=A,∵A(0,10),E(8,4),可以看作点E的坐标向左平移8个单位，向上平移6个单位，得到，∴由F(5,0)向左平移8个单位，再向上平移6个单位得到点(5-8,0+6),即(-3,6);
③当以EF为对角线时，
∵四边形AEF为平行四边形，∴AF=F,AF=E,∵A(0,10),E(8,4),可以看作点A的坐标向右平移8个单位，再向下平移6个单位得到，∴由F(5,0) 向右平移8个单位，再向下平移6个单位得到点(5+8,0-6),即(13,-6);
综上所述：P1(3，14)，P2(-3，6)，P3(13，-6)
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，注意分类讨论思想的运用．
7．（1）△ABC是直角三角形；（2）点D坐标为（4，1）或（-2，7）或（2，-1）
【解析】
【分析】
（1）由两点距离公式可求AB=3，AC=2，BC=，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；
（2）分三种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式，可得点D坐标．
【详解】
解：（1）∵A（3，0）、B（0，3）、C（1，4）
∴AB=3，AC=2，BC=
∵AB2+BC2=20，AC2=20，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形
（2）设点D坐标（a，b）
若以AB，BC为边，则
∴a=4，b=1
若以AC，AB为边，则
∴a=-2，b=7
若以BC，AC为边，则
∴a=2，b=-1
∴点D坐标为（4，1）或（-2，7）或（2，-1）
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，两点距离公式，利用分类思想解决问题是本题的关键．
8．（1）;（2）△EBC周长的最小值为;（3）满足条件的点P坐标为（﹣2，0）或（2，6）.
【解析】
【分析】
（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A、D两点坐标代入，把问题转化为解方程组即可；
（2）因为A、B关于y轴对称，连接AC交y轴于E，此时△BEC的周长最小；
（3）分两种情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】
.解：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），D（0，3）代入y＝kx+b，得到 ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为y＝x+3．
（2）如图1中，∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴A、B关于y轴对称，
连接AC交y轴于E，此时△BEC的周长最小，
周长的最小值＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC，
∵A（﹣2，0），C（4，3），B（2，0），
∴AC＝ ，
∴△EBC周长的最小值为: ．
（3）如图2中，
①当点P与A重合时，四边形DPQB是菱形，此时P（﹣2，0），
②当点P′在AD的延长线上时，DP′＝AD，此时四边形BDP′Q是菱形，此时P′（2，6）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣2，0）或（2，6）；
【点拨】
本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、轴对称最短问题、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．(1) A(0，-3)，B(4，0)；(2) ；(3)存在，(-4，-3)或(4，3)或(4，-3).
【解析】
【分析】
（1）当x=0时，y=-3，当y=0时，x=4，可求A，B两点的坐标；
（2）由勾股定理可求AB的长，即可求△ABC的面积；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求点M坐标．
【详解】
(1)在中，令x=0，得y=-3
令y=0，得x=4
∴A(0，-3)，B(4，0)
(2)由(1)知：OA=3，0B=4
在RtΔAOB中，由勾股定理得：AB=5.
如图：过C作CD⊥AB于点D,
则AD=BD=
又AC=AB=5.
在Rt△ADC中，
∴
(3) 若AB为边时，
∵以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形
∴MO∥AB，MO=AB=5，
当点M在OB下方时，AM=BO=4，AM∥OB
∴点M（-4，-3）
当点M在OB上方时，OA=BM=3，OA∥BM
∴点M（4，3）
若AB为对角线时，
∵以M，O，A，B为顶点的四边形是平行四边形
∴AM∥OB，BM∥OA，
∴点M（4，-3）
综上所述：点M坐标为（-4，-3），（4，3），（4，-3）.
【点拨】
考查了一次函数的应用，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是分类讨论思想的应用．
10．（1）y=x+2．
（2）（-，3）．
（3）（，3）或（-，-3）或（-3，3）．
【解析】
【分析】
（1）求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，利用三角函数的知识，求出DE及OE的长度，即可得出点D的坐标．
（3）找到点P的可能位置，利用平行四边形对边相等的性质即可得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）由题意得，OA=2，∠CAO=30°，
则OC=OAtan∠CAO=2，
即点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，将点A及点C的坐标代入得：，
解得：，
故直线AC的函数表达式为：y=x+2．
（2）过点D作DE⊥OA于点E，
∵∠CAO=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵AD=AO=2，
∴DE=3，AE=，
∴OE=，
故点D的坐标为（-，3）．
（3）
①当AD为平行四边形的一边时，点P的位置有两个，分别为P1、P2，
当点P位于P1位置时，DP1=AO，
此时可得点P的坐标为（，3）；
当点P位于P2位置时，
∵OD=AD，△AOD是等边三角形，
∴点P2与点D关于x轴对称，
此时可得点P的坐标为（-，-3）；
②当AD为平行四边形的对角线时，点P的位置有一个，在P3的位置，
此时DP3=AO，
故可得点P的坐标为（-3，3）．
综上可得存在点P的坐标，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（，3）或（-，-3）或（-3，3）．
【点拨】
本题考查了一次函数的综合，涉及知识点较多，解答本题的第一问的关键是熟练掌握待定系数法，第二问要求我们能熟练解直角三角形，第三问要求我们具备分类讨论的能力，另外要熟练掌握平行四边形的性质．
11．（1）5，0；（2）t＝5；（3）满足条件的点Q的坐标为：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．
【分析】
（1）根据中点的定义求出OD的长即可解决问题；
（2）利用平行四边形的性质求出PC＝5即可解决问题；
（3）分四种情形：当P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵A（10，0），OD＝DA，
∴OA＝10，OD＝DA＝5，
∴D（5，0）．
故答案为5，0．
（2）∵四边形 PODB 是平行四边形，
∴PB＝OD＝5，
∴PC＝5，
∴t＝5．
（3）当P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝3，可得Q1（8，4）
当P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，
∴OE＝ED＝2.5，可得Q2（2.5，﹣4），
当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，
∴P3C＝2，可得Q3（﹣3，4），
当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG＝3，
∴OG＝8，可得Q4（3，4），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．
【点拨】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法．
12．（1）①或；②详见解析；（2）
【分析】
（1）①解一元二次方程求出OA，OB的长度，根据三角形的面积求出点E的坐标.
②分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（2）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【详解】
(1)
(x−3)(x−4)=0，
∴x−3=0，x−4=0，
解得
∵OA>OB，
∴OA=4，OB=3，
∵
∴
∴
∵点E在x轴上
∴E点的坐标为或
②在△AOE与△DAO中, AD=6，
∴
又∵
∴△AOE∽△DAO；
(2)根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F(−3,0)，
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F(3,8).
③AC是对角线时,做AC垂直平分线L,AC解析式为,直线L过 且k值为 (平面内互相垂直的两条直线k值乘积为−1)，
L解析式为 联立直线L与直线AB求交点，
∴F;
④AF是对角线时,过C做AB垂线,垂足为N,根据等积法求出勾股定理得出,A做A关于N的对称点即为F,过F做y轴垂线,垂足为G,
∴F
综上所述,满足条件的点有四个：
【点拨】
考查相似三角形的判定与性质, 解一元二次方程-因式分解法,平行四边形的性质, 菱形的性质等，注意分类讨论思想在解题中的应用.
13．（1）y＝x﹣4；（2）(5，﹣3)或(7，7)或(﹣5，﹣5)
【分析】
（1）设直线AB解析式为：y＝x+b，将点B坐标代入可求解；
（2）先求出点C坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【详解】
（1）设直线AB解析式为：y＝x+b，过点B（6，2），
∴2＝6+b，
∴b＝﹣4，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4；
（2）如图，作点A关于直线y＝x的对称点A'，
∵直线AB与y轴交于点A，
∴点A（0，﹣4），
∴点A关于直线y＝x的对称点A'（﹣4，0），
∴设直线A'B的解析式为：y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线A'B的解析式为：y＝x+，
联立方程组得：
解得，
∴点C坐标为（1，1），
设点D（x，y），
若AB为对角线，则，
∴x＝5，y＝﹣3，
∴点D（5，﹣3），
若BC为对角线，则，
∴x＝7，y＝7，
∴点D（7，7），
若AC为对角线，则，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴点D（﹣5，﹣5），
综上所述：点D坐标为：(5，﹣3)或(7，7)或(﹣5，﹣5)．
【点拨】
本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
14．（1）（6，3）；（2）；（3）（0，0）；（4）（6，9）或（6，-3）或（-6，3）.
【分析】
（1）直接联立两直线解析式，即可得到点A的坐标；
（2）直接在图象上找到时，x的取值范围；
（3）过点A作交点为E即可得出点D与点O重合的时候，△的周长最短，即可得出点D的坐标；
（4）分三种情况考虑：当四边形OAQ1C为平行四边形时；当四边形OQ2AC为平行四边形时；当四边形OACQ3为平行四边形时，分别求出点Q的坐标即可.
【详解】
（1）联立两直线解析式可得
解得：
点A的坐标为（6，3）
（2）由点A（6，3）及图象知，当时，
（3）
过点A作交点为E，由图可知点B关于直线AE的对称点为点O
当点D与点O重合的时候，△的周长最短
即为CO+BC=6+6
此时点D的坐标为（0，0）
（4）存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形
如图所示，分三种情况考虑：
当四边形OAQ1C为平行四边形时,
点Q1的横坐标为6，纵坐标为点C的纵坐标+3=9
Q1的坐标为（6，9）
当四边形OQ2AC为平行四边形时,
点Q2的横坐标为6，纵坐标为点A的纵坐标-6=-3
Q2的坐标为（6，-3）
当四边形OACQ3为平行四边形时,
点Q3关于OC的对称点为点A
Q3的坐标为（-6，3）
综上点Q的坐标为：（6，9）或（6，-3）或-6，3）.
【点拨】
本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，解题的重点是要熟练掌握各自的性质.
15．（1）坐标位置见解析（2）存在，P的坐标为：（2,0）或（10,0），（0,1）或（0,5）
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的性质可知 ，所以可列方程组 ，得到m，n的值，从而得出点M，N的位置.
（2）分类讨论点P在坐标轴上的位置，①当点P在X轴上时，△PMN的高是3，由三角形的面积公式可求得答案；②当点P在Y轴上时，△PMN的高是6，由三角形的面积公式可求得答案.
【详解】
（1）由，根据二次根式的性质和绝对值的性质可知，则，所以 .
（2）分类讨论点P在坐标轴上的位置，①当点P在X轴上时，△PMN的高是3，由三角形的面积公式可知三角形在X轴上的底边长= ，故点P的横坐标与点N相差4个单位，则点P的坐标为：（2,0）或（10,0）.
②当点P在Y轴上时，△PMN的高是6，由三角形的面积公式可知三角形在Y轴上的底边长= ，故点P的横坐标与点N相差2个单位，则点P的坐标为：（0,1）或（0,5）.
【点拨】
本题考查二次根式、绝对值的性质、三角形面积公式及坐标轴，是一个难度一般的综合题，熟悉二次根式、绝对值的性质、三角形面积公式，仔细计算是解题的关键.
16．（1）C (8，-4)，； （2）存在，(4，4)或(4，-4)或(12，-4)．
【分析】
（1）利用勾股定理求得OB的长，利用平行四边形的性质可求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的函数解析式；
（2）分类讨论，当分别以BC、BD、CD为对角线时，即可求出点的坐标．
【详解】
（1）∵OA=4，AB=4，且OA⊥OB，
∴OB=，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA=4，CB⊥OB，
∴点C的坐标为(8，-4)；
设直线AC的函数解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的函数解析式为；
（2）∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA=4，CB⊥OB，OD=DB=OB=4，
当以BD为对角线时，
∴D∥BC，D=BC=4，
∴D⊥OB，
∴点的坐标为(4，4)；
当以CD为对角线时，
∴D∥BC，D=BC=4，
∴D⊥OB，
∴点的坐标为(4，-4)；
当以BC为对角线时，
∴C∥BD，C= BD =4，
∴点的坐标为(12，-4)．
【点拨】
本题考查了坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理以及平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．（1）点D(1,0)；（2）y=43x-43；（3）点F的坐标是(11,4)，(5,-4)，(-3,4)．
【解析】
【分析】
（1）首先根据直线y=-x+8分别交两轴于点A、B，可得点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），然后根据点D在线段OA上,且AD=7，即可求出点D的坐标；
（2）利用待定系数法可求直线CD的解析式；
（3）设点F(x,y)，分情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式，可求出点F的坐标．
【详解】
解：（1）∵直线y=-x+8分别交两轴于点A,B，
∴当x=0时，y=8，当y=0时，x=8
∴点A(8,0)，点B(0,8)
∵点D在线段OA上，且AD=7．
∴点D(1,0)
（2）∵点C的横坐标为4，且在直线y=-x+8上，
∴y=-4+8=4，
∴点C(4,4)
设直线CD的解析式y=kx+b
∴4=4k+b0=k+b，解得：k=43b=-43
∴直线CD解析式为：y=43x-43．
（3）设点F(x,y)
①若以CD,AD为边，
∵四边形ADCF是平行四边形，∴AC,DF互相平分，
∵点A(8,0)，点D(1,0)，点C(4,4)，点F(x,y)
∴4+82=1+x20+42=0+y2，解得x=11y=4，
∴点F(11,4)
②若以AC,AD为边
∵四边形ADFC是平行四边形，∴AF,CD互相平分，
∵点A(8,0)，点D(1,0)，点C(4,4)，点F(x,y)
∴8+x2=4+120+y2=0+42，解得x=-3y=4，
∴点F(-3,4)
③若以CD,AC为边，
∵四边形CDFA是平行四边形，∴AD,CF互相平分，
∵点A(8,0)，点D(1,0)，点C(4,4)，点F(x,y)
∴1+82=4+x20+02=4+y2，解得x=5y=4，
∴点F(5,-4)
综上所述：点F的坐标是(11,4)，(5,-4)，(-3,4)．
【点拨】
此题考查平行四边形的性质，中点坐标公式，求一次函数的解析式，解题关键在于分情况讨论.
18．（1）C (3，0)，D (6，4)；（2）存在， (，)， (，)， (，)
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可求得OC的长，从而求得点C，D的坐标；
（2）分AD为对角线，DE为对角线，AE为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵OB=3，
∴OC=6-3=3，
∴点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(6，4)；
（2）存在，
理由如下：
∵E是线段OD的中点，
∴点E的坐标为(，)，即(3，2)，
设点N的坐标为(，)，
当AD为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，)；
当DE为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，)；
当AE为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，) ．
【点拨】
本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算．
19．（1）；（2）；（3）存在，N的坐标为（1，−2），（−1，2），（3，6）．
【分析】
（1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出DE的长；
（2）根据D坐标确定出直线OD与直线OE解析式，过点M作MN∥y轴交OE于点N，设M（t，4t），N（t，t），三角形MOE面积＝三角形NOM面积＋三角形MNE面积，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标；
（3）由题意得：O（0，0），D（1，4），E（2，2），设N（x，y），分三种情况考虑：当四边形ON1ED为平行四边形时；当四边形OEDN2为平行四边形时；当四边形OEN3D为平行四边形时即可．
【详解】
解：（1）∵点B的坐标为（2，4），D为AB中点，
∴D（1，4），
∴反比例函数解析式为y＝，
把x＝2代入得：y＝2，即E（2，2），
则DE＝=；
（2）由D（1，4），得到直线OD解析式为y＝，
由E（2，2），得到直线OE解析式为y＝x，
过点M作MN∥y轴交OE于点N，
设M（t，4t），则N（t，t），
S△MOE＝S△OMN＋S△MNE＝t（4t−t）＋（2−t）（4t−t）＝×2•3t＝3t，
∴3t＝，
解得：t＝，
则点M坐标为（，1）；
（3）由题意得：O（0，0），D（1，4），E（2，2），设N（x，y），
分三种情况考虑：当四边形ON1ED为平行四边形时，可得0＋2＝1＋x，0＋2＝4＋y，
解得：x＝1，y＝−2，即N1（1，−2）；
当四边形OEDN2为平行四边形时，可得0＋1＝2＋x，0＋4＝2＋y，
解得：x＝−1，y＝2，即N2（−1，2）；
当四边形OEN3D为平行四边形时，可得1＋2＝0＋x，4＋2＝0＋y，
解得：x＝3，y＝6，即N3（3，6），
综上，N的坐标为（1，−2），（−1，2），（3，6）．
【点拨】
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，以及三角形，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
20．（1）；（2）；（3）存在在点使以点为顶点的四边形是平行四边形；其坐标是： 或或.
【解析】
【分析】
（1）联立两直线解析式组成方程组，解得即可得出结论；
（2）先确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标；
（3）利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式即可得出结论.
【详解】
（1）根据题意联立 解得 ∴.
（2）如图，作点关于轴的对称点,连接交 轴于点,点就是所求作的的值最小的点，
设 所在的直线为，
由题意可列：，
解得：，
∴直线 的解析式为，
令，则，
∴，
由点可求的最小值为： ,
（3）存在点,使以点为顶点的四边形是平行四边形.
如图，作△ ,使△的三个顶点分别是其三边的中点，
设，则，
解得，
∴，
同理，
∵，
∴ 在第一、三象限的角平分线上，且，
∴ ，
综上所述，存在在点使以点为顶点的四边形是平行四边形；其坐标是：或或.
【点拨】
此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，平行四边形的性质，待定系数法，极值的确定，用分类讨论的思想和方程（组）解决问题是解本题的关键．
21．（1）；（2）存在，（8，0）；（3）点的坐标为或或．
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）由，即可求解
（3）分AO是边、AO是对角线利用平移的性质和中点公式，分别求解即可；
【详解】
∵(10，6)
∴，，
∴点A(0，6)、点B(10，0)，
设直线的表达式为，则，
解得，
故直线的表达式为；
（2）存在，理由：
矩形的面积，
，则，，
设点E(x，0)，
则，解得，
故点的坐标为(8，0)；
（3）点为矩形的中心，由中点公式得，点P(5，3)，
而点A(0，6)、点O(0，0)，设点Q(a，b)，
①当是边时，
由向右平移0个单位向上平移6个单位得到点，同样点向右平移0个单位向上平移6个单位得到点，
则，解得；
②当是对角线时，
由中点公式得：，解得，
故点的坐标为(5，9)或(5，-3)或(-5，3)．
【点拨】
本题考查了一次函数综合应用，涉及到一次函数的性质，平行四边形的性质，面积的计算，其中（3）要注意分类讨论，避免遗漏；
22．（1）C4,4；（2）y=43x-43；（3）点F的坐标是11,4，5,-4，-3,4.
【解析】
【分析】
（1）根据A（8,0）B（0,8），点C为线段AB的中点即可得到C点坐标；
（2）由OD=1，故D（1,0），再由C点坐标用待定系数法即可求解；
（3）根据A、C、D的坐标及平行四边形的性质作图分三种情况进行求解
【详解】
解：（1）∵A（8,0）B（0,8），点C为线段AB的中点
∴C4,4
（2）由已知得点D的坐标为1,0，
设直线CD的解析式是y=ax+b，
则a+b=04a+b=4，解得a=43b=-43，
∴直线CD的解析式是y=43x-43.
（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，
①如图1，∵CF平行且等于DA，相当于将点C向右平移7个单位，故点F的坐标是11,4.
②如图2，∵AF∥CD，∴AF所在的直线解析式为y=43x+b1，
把A （8,0）代入解得AF所在的直线的解析式是y=43x-323，
根据A （8,0），B（0,8）求出AB直线的解析式为y=-x+8,
∵DF∥AB,∴DF所在的直线解析式为y=-x+b2，
把D（1,0）代入y=-x+b2求得DF所在的直线的解析式是y=-x+1，
联立y=43x-323y=-x+1，解得：x=5y=-4，故点F的坐标是5,-4.
③如图3，当CF平行且等于AD时，相当于将点C向左平移7个单位，故点F的坐标是-3,4.
综上，可得点F的坐标是11,4，5,-4，-3,4.
【点拨】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式及平行四边形的性质.
23．解：（1）解得
在中，由勾股定理有
（2）∵点在轴上，
由已知可知D（6，4）
设当时有
解得
同理时，
在中，
在中，
（3）满足条件的点有四个
【解析】
（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可得到的值．
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
24．（1）；（2）或；（3）存在．，，．
【分析】
（1）利用因式分解法解出一元二次方程，得到OA、OB的长，证明△AOE∽△ECD，根据相似三角形的性质列出比例式，整理得到y与x的函数关系；
（2）列方程求出OE，利用待定系数法求出直线AE的解析式；
（3）根据平行四边形的性质、坐标与图形性质解答．
【详解】
（1），
，
∴解得，．
∵，
∴，．
∵，
∴∠AEO＋∠DEC＝90，
又∵∠AEO＋∠OAE＝90，
∴∠OAE＝∠CED，又∠AOE＝∠ECD＝90，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）当为的中点时，．
∵，
∴．
解得，．
当时，设直线的解析式为，把A（0，8），E（4，0）代入
得
解得，
∴；
当时，设直线的解析式为，把A（0，8），E（8，0）代入
得
解得，
∴直线的解析式为或．
（3）当点F在线段OA上时，FA＝BD＝4，
∴OF＝4，即点F的坐标为（0，4），
当点F在线段OA的延长线上时，FA＝BD＝4，
∴OF＝12，即点F的坐标为（0，12），
当点F在线段BC右侧、AB∥DF时，DF＝AB＝12，
∴点F的坐标为（24，4），
综上所述，以A，D，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，点F的坐标为（0，4）或（0，12）或（24，4）．
【点拨】
本题考查的是一次函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（1）；；（2）见详解；（3）存在，或或
【分析】
（1）令求出x的值，即可得出点A的坐标；作，可知四边形是矩形，可得点B的坐标；
（2）先求出点D的坐标，可证，得出，进一步可证明结论；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，可得出再根据点B、M的纵坐标相等，可求得点M的坐标，从而得出BM的值，最后再分情况分析讨论即可得出答案．
【详解】
解：（1））令，解得：，点A的坐标为；
作，四边形是矩形，
∴
∴点B的坐标为；
（2）令中x值为0，解得，，点D的坐标为，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（3）存在点N．理由如下：
∵点N在x轴上，以、、、为顶点的四边形是平行四边形
∴
∴点B、M的纵坐标相等
令
解得：
∴
∴
当点N在点O左侧时：点N的坐标为；
当点N在点O右侧时：点N的坐标为；
作点关于点A对称的点也符合，此时点的坐标为．
综上所述，点N的坐标为或或．
【点拨】
本题综合考查的是一次函数，主要有坐标与图形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质，综合性较强，但难度不大，只有仔细分析题目，理清数量关系便不难解决．
26．（1）A（0，4），B（﹣3，0）（2）射线AO是∠BAC的平分线（3）满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．
【解析】
试题分析：（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；
（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出△AOB≌△AOC即可；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
试题解析：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，∴x=3或x=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，∴A（0，4），B（﹣3，0）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，∵B（﹣3，0），∴C（3，0），∴OC=OB，在△AOB和△AOC中，∵OB=OC，∠AOB=∠AOC，AO=AO，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO，∴射线AO是∠BAC的平分线
（3）∵OB=OC=3，∴AO平分∠BAC．
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（﹣3，0）；
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=﹣x+4，直线L过（，2），且k值（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），L解析式为，联立直线L与直线AB求交点，∴F（﹣，﹣）；
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，
根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，作A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=，∴F（﹣，）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．
点拨：此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，判断出AO平分∠BAC，难点是分类讨论．
27．（1）点A（0，4）；点B（，0）．（2）直线DC的解析式为．（3）点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．
【解析】
（1）分别令一次函数中x=0、y=0，求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由点D的纵坐标为9即可得出AE的长，根据菱形的性质得出AB=AD，结合勾股定理即可求出点D的坐标，由DC∥AB可设直线DC的解析式为，代入点D的坐标求出b值即可得出结论；
（3）假设存在，点C时以BD为对角线找出的点，再分别以AB、AD为对角线，根据平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点A、B、D的坐标即可得出点P的坐标．
解：（1）令中x=0，则y=4，
∴点A（0，4）；
令中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=2，
∴点B（2，0）．
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，如图1所示．
∵点D的纵坐标为9，OA=4，
∴AE=5．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴AD=AB=，
∴DE==，
∴D（，9）．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴设直线DC的解析式为，
∵直线DC过点D（，9），
∴b=11，
∴直线DC的解析式为．
（3）假设存在．
以点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形还有两种情况（如图2）：
①以AB为对角线时，
∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴点P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；
②以AD为对角线时，
∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴点P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．
故除点C外，在平面直角坐标系xOy中还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形，点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．
“点拨”本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及待定系数法求函数解析，解题的关键是：（1）分别代入x=0，y=0，求出与之对应的y、x的值；（2）求出点D的坐标；（3）分别以AB、AD为对角线求出点P的坐标.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质（对角线互相平分），结合三个顶点的坐标求出另一顶点坐标是关键.
28．（1）A（1，1），B（3，0）；（2）存在一点C，C（－2，1）或（4，1）或（2，－1）；（3）在直线OA上，存在一点D， D（－，－）或（，）或（3，3）或（，），使得△DOB是等腰三角形．
【分析】
（1）直线y＝－x＋与y＝x联立方程组求解，即可求出点A坐标，把y=0代入直线y＝－x＋即可求出点B坐标；
（2）分AO为对角线、AB为对角线、OB为对角线三种情况讨论，即可求出点C坐标；
（3）分OB＝OD、OD＝OB、OB＝DB三种情况讨论，结合勾股定理即可求出点D坐标．
【详解】
（1）∵直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，
∴联立得，解得，
∴点A（1，1），
∵直线y＝－x＋与x轴交于点B，
∴令y＝0，得－x＋＝0，解得x＝3，
∴B（3，0），
（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．
①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，OC∥AB，
∴四边形CABO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，
∴C（－2，1），
②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，BC∥AO，
∴四边形CAOB是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），
③如图3，过点O作平行于AB的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵OC∥AB，BC∥AO，
∴四边形CBAO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AO＝BC，OC＝AB，
作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，
∴C（2，－1），
（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，
①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（－，－），
②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（，），
③如图6，当OB＝DB时，
∵∠AOB＝∠ODB＝45°，
∴DB⊥OB，
∵OB＝3，
∴D（3，3），
④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵∠AOB＝∠OBD＝45°，
∴OD⊥DB，
∵OB＝3，
∴OE＝，AE＝，
∴D（，）．
综上所述，在直线OA上，存在点D（－，－），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形．
【点拨】
本题为与几何有关一次函数的综合题，考查了一次函数与方程（组）的关系，确定平行四边形第四个顶点坐标，等腰三角形第三个顶点的坐标，勾股定理等知识，综合性强，理解一次函数与方程（组）的关系，能进行分类讨论是解题关键．
29．（1）4，3；（2）①；，②证明见解析；（3）；；；.
【分析】
（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【详解】
（1）方程，
分解因式得：，
可得：，，
解得：，，
∵，
∴，；
故答案为4，3；
（2）①根据题意，设，则，
解得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴点的坐标是，
设经过、两点的直线的解析式为，
则，
解得：，
∴解析式为；
②如图，
在与中，，，
∴，
又∵，
∴；
（3）根据计算的数据，，
∵，
∴平分，
分四种情况考虑：
①、是邻边，点在射线上时，，
∴点与重合，即；
②、是邻边，点在射线上时，应在直线上，且垂直平分，
此时点坐标为；
③是对角线时，做垂直平分线，解析式为，直线过，且值为（平面内互相垂直的两条直线值乘积为-1），
∴解析式为，
联立直线与直线，得：，
解得：，，
∴；
④是对角线时，过作垂线，垂足为，
∵，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得，即，
做关于的对称点，记为，，
过做轴垂线，垂足为，，
∴，
综上所述，满足条件的点有四个：；；；.
【点拨】
此题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，综合性较强，（3）求点F要根据AC与AF是邻边与对角线的情况进行讨论，不要漏解．
30．（1）D（4，3），；（2）P（3，）或（-3，）；（3）F（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）.
【分析】
（1）先求出A点坐标，然后根据菱形的性质得到D点的坐标，利用C，D两点的坐标求出解析式；
（2）利用点P是直线CD上一点，AO为△PAO的底边不变，并且S△PAO=S△ABO，分两种情况讨论即可；
（3）根据菱形的性质，分AC、AF是邻边，AC、AF是邻边，AC是对角线，AF是对角线四种的情况分别进行求解计算．
【详解】
解：∵OB=OC=2，AB=，
∴AD=OB+OC=2+2=4，
，
∴A点的坐标为：（0，3），
D点的坐标为：（4，3），
C点的坐标为：（2，0），
设直线CD的函数表达式为：，
∴将C，D点的坐标代入，得：
，解之得：，
∴直线CD的函数表达式为：，
（2）
如图示：∵
∴
设P点坐标为（，）
即：，
∴，
则：，或
∴，或
即P点坐标为（，）或（-3，）；
（3） ∵由（1）得OB=OC=2，AB=，OA=3，
∴AC=，
①当AC、AF是邻边时，如图示，
AF=AC=，即点F与B重合，
∴F的坐标为（-3，0），
②当AC、AF是邻边，如图示，
M在直线AD上，且FC垂直平分AM，C，F沿AD成轴对称，
则F的坐标为：（2，6），
③AC是对角线时，如图示：
作AC垂直平分线FE，
∵AC经过A（0，3），C（2，0），
∴AC解析式为：，并且E点的坐标为（1，），
∵，
∴设FE的解析式为：，将E点坐标，代入化简得：
FE的解析式为：
又∵AB经过A（0，3），B（-2，0），
∴AB解析式为：，
∴Ｆ点的坐标为方程组 的解，
解之得： ,
∴则F的坐标为：（，）,
④AF是对角线时，如图示：
过C作AB垂线，垂足为N，
则
∵，
∴，
∴，，
设F点的横坐标为，根据F点在AB上，并AB解析式为：，
∴F的坐标为：（，）,
则根据勾股定理，有：
∴，，
∴
∴F的坐标为：（，）
综上所述，F点的坐标为：（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，四边形的综合问题，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，难点是分类讨论．
相关试卷
专题6.24 一次函数中的存在性问题分类专题（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）： 这是一份专题6.24 一次函数中的存在性问题分类专题（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共65页。
专题 19.37 一次函数背景下的存在性问题（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）： 这是一份专题 19.37 一次函数背景下的存在性问题（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共52页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，直线与直线等内容，欢迎下载使用。
专题 19.36 一次函数背景下的存在性问题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）： 这是一份专题 19.36 一次函数背景下的存在性问题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共66页。试卷主要包含了如图，直线，如图，已知直线l1等内容，欢迎下载使用。
