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专题18.27 正方形-动点问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题18.27 正方形-动点问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题18.27 正方形-动点问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知正方形ABCD的边长为，点O为正方形的中心，点F为边AB的中点，点G为线段AF上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作，垂足为点E，当点G从点A运动到点F时，点E所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为( )
A． B．4 C．3 D．
3．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（ ）
A． B． C．3 D．6
4．如图，在正方形中，点是边上的一个动点（不与点重合） ，的垂直平分线分别交，于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，点是边上的一个动点（不与点，重合），的垂直平分线分别交，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，，，点Q为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的Q点有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为4，两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，点依顺时针方向环行，点依逆时针方向环行．若的速度是的速度的3倍，则它们第2020次相遇在（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
9．如图，在的正方形网格中，动点、同时从、两点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至格点停止.动点的运动路线为：；动点的运动路线为：，连接、.设动点运动时间为，的面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形的边长为4，点是正方形外一动点，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN＝EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是____________cm．
12．如图，正方形中，，是对角线上的一个动点，若的最小值是10，则长为___________．
13．如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF=8，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A'，D'处，当点D'落在直线BC上时，线段AE的长为________．
14．边长为1的正方形，在边上取一动点，连接，作，交边于点，若的长为，则的长为__________．
15．如图，点A是x轴上的一个动点，点C在y轴上，以AC为对角线画正方形ABCD，已知点C的坐标是，设点A的坐标为．
当时，正方形ABCD的边长______．
连结OD，当时，______．
16．如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连结．的面积最大为__________．
17．如图，正方形的边长为是的中点，是上的动点，过点作分别交于点
（1）的长为 __________；
（2）的最小值为___________．
18．如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为_____．
19．如图，正方形的面积为81，点是边上的一个动点，沿过点的直线将正方形折叠，使顶点恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是________
20．如图，在正方形中，已知，点分别是边的中点，点F是边上的动点，连接，将正方形沿折叠，的对应点分别为，则线段的最小值是_____．
21．如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，E是边AD的中点，P是边CD上的动点，Q是半圆BC上的动点，则PE+PQ的最小值是_____．
22．如图，正方形的对角线上有一动点，作于点，连接，．若，，则的长为_________．
23．如图，正方形的面积是，，，分别是，，上的动点，的最小值等于________．
24．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最大值是_____．
25．如图，A、B、C、D都是格点（小正方形的顶点），动点E在线段AC上，若点A的坐标是（1，1），则当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是_____．
26．如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.
三、解答题
27．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
（2）如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF之间数量关系是什么？请写出证明过程．
（3）如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．
28．已知：正方形的对角线交于点，是线段上的一动点，过点作交，交于．
（1）若动点在线段上（不含端点），如图（1），求证：；
（2）若动点在线段的延长线上，如图（2），试判断的形状，并说明理由．
29．在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形．
（1）当时，正方形的周长=_______（用含的代数式表示）；
（2）连接．试说明：三角形的面积等于正方形面积的一半．
（3）已知，且点是线段上的动点，点是线段上的动点，当点和点在移动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
30．如图，正方形中，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边向正方形
外作正方形，连接，连接并延长交于．
求证：．
若正方形的边长为，试问当点运动到什么位置时，垂直平分？
31．如图所示，，分别是正方形的边，上的两个动点，且，交于点，，连.求证：.
32．如图，已知正方形的边长是，为的中点，为正方形边上的一个动点，动点从出发沿运动，最终到达点，若点经过的路程，的面积记为，问当等于何值时，的值等于？
参考答案
1．A
【分析】连接OD、OA，由题意易得OD=OA=2，∠DEO=90°，进而可得点E是在以OD为直径的圆上运动，然后根据点G从点A移动到点F时，点E的运动轨迹刚好是四分之一圆，进而可求解．
解：连接OA、OD，如图所示：
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OD，∠OAD=45°，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∵AD=，
∴OA=OD=2，
∵，
∴点E是以OD为直径的圆的运动轨迹，如图所示：
∴点G从点A移动到点F时，点E的运动轨迹刚好是四分之一圆，
∴点E所经过的路径长为：，
故选A．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质及弧长计算公式，关键是根据题意得到动点的运动路径是圆弧，然后根据弧长计算即可．
2．B
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，可求出AB的长，从而得出结果．
解：设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4．
故选：B．
【点拨】本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
3．A
【分析】连接BD，MN为△BDQ中位线，根据中位线定理求解即可．
【详解】连接，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，
∴，
当点在边上运动时（点不与点重合），一直是的中位线，
则线段．
故选A．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及三角形中位线定理，求出BD=是解答此题的关键．
4．C
【分析】连接BF、EF，设，，由勾股定理可求得，EF的长，即可求解；
【详解】连接BF、EF，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和正方形的性质，准确计算是解题的关键．
5．C
【解析】连接AF，EF，设DF=a，CF=6a，由勾股定理可求AF、EC的长，即可求出BE：EC的值.
【详解】连接AF，EF，设DF=a，CF=6a，则BC=CD=7a，
∴AF=，
∵GF垂直平分AE，
∴EF=AF=，
∴EC==，
∴BE=7a-，
∴BE：CE=.
故选C.
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理表示出相关线段的长是解答本题的关键.
6．B
【分析】分别以点B、P为圆心，以BP的长度为半径画圆，与正方形的边的交点即为所求的点Q，再作出BP的垂直平分线，与正方形的边的交点也符合点Q的要求．
解：如图所示：
符合条件的Q点有5个．
故选B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，考虑利用圆的半径相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质作图，利用数形结合的思想求解更形象直观．
7．C
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可．
【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小，
∵四边形ABCD是正方形，且周长为8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝＝，
故选C．
【点拨】
此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键．
8．A
【分析】
此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】
正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为8×＝2，乙行的路程为8−2＝6，在AD边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16−4＝12，在DC边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16−4＝12，在CB边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16−4＝12，在AB边相遇；
…
∵2020＝505×4，
∴甲、乙第2017次相遇在边AB上．
故选：A．
【点拨】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
9．A
【分析】分0≤t≤1、1＜t＜2、2≤t≤3三种情况，分别求出函数表达式即可求解．
【详解】
①0≤t≤1时，如图，
S=PQAP=t，
当t=1时，S=1，
该函数为一次函数；
②1＜t＜2时，如图，建立如图所示的坐标系，
则点P、Q的坐标分别为（t-1，1）、（2，t），设直线PQ交GE于点H，
设直线PQ的表达式为：，则，
解得，
故直线PQ的表达式为：，
当时，，
∴；
该函数为开口向下的抛物线；
③当2≤t≤3时，如图，
PF=t-2，GQ = 3- t，
∴PE= t-2+1 =t-1，
同理可得：S=PEGQ=(t-1)( 3- t)=；
该函数为开口向下的抛物线；
故选：A．
【点拨】本题考查了动点图象问题，涉及到一次函数和二次函数等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
10．D
【解析】分析：连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，根据A，C，E，D四点共圆，可得OE=OD=BD=2，再根据PE≤OP+OE=2+2，可得当点O在线段PE上时，PE=OP+OE=2+2，即线段PE的最大值为2+2．
详解：如图，连接 AC ， BD 交于点 O ，连接 PO ， EO ，
∵∠AED=45°,∠ACD=45° ，
∴A ， C ， E ， D 四点共圆，
∵ 正方形 ABCD 的边长为 4 ，
∴OE=OD=BD=2，
∵P 为 AB 的中点， O 是 BD 的中点，
∴OP=AD=2 ，
∵PE⩽OP+OE=2+2 ，
∴ 当点 O 在线段 PE 上时 ,PE=OP+OE=2+2 ，
即线段 PE 的最大值为 2+2，
故选：D.
点拨：本题考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键.
11．
【分析】根据题意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM的长，进而确定出MN的长即可．
解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，
∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，底面圆的直径为6cm，
∴底面周长为6πcm，即EF=6πcm，
则MN=cm，
故答案为．
【点拨】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
12．
【分析】如图，连接DF，DE，DE交AC于F′，连接BF′．由BF+EF=EF+DF≤DE，推出当点F与点F′重合时，BF+EF的值最小，最小值为线段DE的长，由题意AE=AB，设AE=a，则AB=3a，在Rt△AEB中，根据AE2+AD2=DE2，构建方程即可解决问题．
【详解】
如图，连接DF，DE，DE交AC于F′，连接BF′
∵四边形ABCD是正方形
∴BF=DF
∵BF+EF=EF+DF⩽DE
∴当点F与点F′重合时，BF+EF的值最小，最小值为线段DE的长
由题意AE=AB，设AE=a，则AB=3a
在Rt△AEB中，∵AE2+AD2=DE2
∴a2+9a2=100
∴a=
∴AB=3a=
故答案为：
【点拨】本题考查了正方形的性质，最短线路问题，解几条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段．
13．4或16
【分析】分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长．
解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，
∴CD′＝D'F2-CF2＝6，
∴BD'＝BC−CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18−x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋122，
∴182＋x2＝（18−x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，CD'＝D'F2-CF2＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18−x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋242，
∴182＋x2＝（18−x）2＋242，
解得：x＝16，即AE＝16；
综上所述，线段AE的长为4或16；
故答案为：4或16．
【点拨】本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
14．或
【分析】根据正方形的内角为90°，以及同角的余角相等得出三角形的两个角相等，从而推知△ABE∽△ECF，得出，代入数值得到关于CE的一元二次方程，求解即可．
解：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
．
解得，CE=或．
故答案为：或．
【点拨】考查了四边形综合题型，需要掌握三角形相似的判定与性质，正方形的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据相似三角形得出一元二次方程，难度不大．
15．； 2或6
【分析】
(1)在RtAOC中，利用勾股定理求出AC的长度，然后再求得正方形的边长即可；
(2)先求得OD与y轴的夹角为45〬，然后依据OD的长，可求得点D的坐标，过D作DM⊥y轴，DN⊥x轴，接下来，再证明△DNA≌△DMC,从而可得到CM=AM,从而可得到点A的坐标.
解：（1）当n=2时，OA=2，
在Rt△COA中，AC2=CO2+AO2=20．
∵ABCD为正方形，
∴AB=CB．
∴AC2=AB2+CB2=2AB2=20，
∴AB= ．
故答案为．
（2）如图所示：过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴．
∵ABCD为正方形，
∴A、B、C、D四点共圆，∠DAC=45°．
又∵∠COA=90°，
∴点O也在这个圆上，
∴∠COD=∠CAD=45°．
又∵OD= ，
∴DN=DM=1．
∴D（-1，1）．
在Rt△DNA和Rt△DMC中，DC=AD，DM=DN，
∴△DNA≌△DMC．
∴CM=AN=OC-MO=3．
∵D（-1，1），
∴A（2，0）．
∴n=2．
如下图所示：过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴．
∵ABCD为正方形，
∴A、B、C、D四点共圆，∠DAC=45°．
又∵∠COA=90°，
∴点O也在这个圆上，
∴∠AOD=∠ACD=45°．
又∵OD= ，
∴DN=DM=1．
∴D（1，-1）．
同理：△DNA≌△DMC，则AN=CM=5．
∴OA=ON+AN=1+5=6．
∴A（6，0）．
∴n=6．
综上所述，n的值为2或6．
故答案为2或6．
【点拨】本题考核知识点：正方形性质、全等三角形性质，圆等. 解题关键点：熟记相关知识点.
16．2
【分析】作FH⊥AD于点H，证明△FEH≌△ECD得到FH=ED，设AE=x，则FH=ED=4-x，建立的面积关于x的函数表达式，运用二次函数的性质求解即可．
【详解】
如图所示，作FH⊥AD于点H，
∵四边形为正方形，
∴FE=EC，∠FEH+∠DEC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠FEH=∠ECD，
在△FEH和△ECD中，
∴△FEH≌△ECD（AAS），
∴FH=ED，
设AE=x，则FH=ED=4-x，
∴，
则当x=2时，取最大值，最大值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及函数法求解几何图形的面积最值问题，熟练运用二次函数的性质是解题关键．
17．
【分析】
（1）根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；
（2）过作于，证明得，再将沿方向平移至，连接，当、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值即可．
解：（1）正方形的边长为2，
，，
是的中点，
，
，
故答案为：；
（2）过作于，则，，
，
，
，
，
，
将沿方向平移至，连接，则，，，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，第（2）题难度较大，关键是通过平移变换确定取最小值的位置．
18．﹣1．
【分析】根据翻折的性质和正方形的性质以及勾股定理解答即可．
【详解】连接A'D，
∵将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，
∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B，
∵边长为1的正方形ABCD，
∴BD＝，
设AP＝x，则PD＝1﹣x，
∴A'P＝AP＝x，DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB＝﹣1，
在Rt△PDA'中．PD2＝PA'2+A'D2，
即(1-x)2=，
解得：x＝﹣1，
即AP＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点拨】此题考查翻折的性质，关键是根据翻折的性质和正方形的性质以及勾股定理解答．
19．或5
【分析】
分两种情况讨论：①EC=BC，②EC=BC，设DH=x，则CH=9-x，在Rt△CEH中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】
∵正方形ABCD的面积为81
∴BC=CD=9
设DH=x，则CH=9-x，由折叠的性质可得EH=DH=x
∵E点为BC的三等分点
①若EC=BC=3，
在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2
即
解得
②若EC=BC=6，
在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2
即
解得
综上可得，DH的长为或5，
故答案为：或5．
【点拨】本题考查正方形的折叠问题，分类讨论，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
20．
【分析】
如图，连接EG，EB′．求出EG，EB′的长，可以判定点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值=，即可解决问题．
解：如图，连接EG，EB′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=DC=AB=2，
∵AE=DE=1，DG=GC=1，
∴EG= ==，
由翻折的性质可知，∠A′=∠A=90°，A′E=AE=1，A′B′=AB=2，
∴EB′== =，
∴当点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值=，
故答案为．
【点拨】本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
21．6﹣3
【分析】取BC的中点O，连接OE，作E点关于CD的对称点E′，可得到PE+PQ＝PE′+PQ＝QE′，此时PE+PQ有最小值，根据条件计算即可．
解：取BC的中点O，连接OE，作E点关于CD的对称点E′，连接OE′交CD于P，交半圆于Q，如图，
∵PE＝PE′，
∴PE+PQ＝PE′+PQ＝QE′，
∴此时PE+PQ有最小值，
∵E是边AD的中点，
∴OE⊥AD，OE＝6，
∵DE′＝DE＝3，
∴OE′＝6，
∴QE′＝6﹣3，
即PE+PQ的最小值是6﹣3．
故答案为6﹣3．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质应用，结合对称的性质进行求解，做辅助线表示出最短线段是关键．
22．或
【分析】延长NP交AB于H．易知AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，根据PB2=PH2+BH2，可得x2+（3-x）2=（）2，推出x=1或2，接下来分两种情形分别求出BN即可．
解：延长NP交AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，AB∥CD，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP=∠HPA=45°，
∴AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，
在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，
∴x2+（3-x）2=（）2，
∴x=1或2，
当x=1时，BH=CN=2，在Rt△BCN中，BN=，
当x=2时，BH=CN=1，在Rt△BCN中，BN=．
综上所述，BN的长为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
23．
【分析】
过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，根据正方形的性质可得出MN⊥AB，且PM≤PE、PN≤PF，由此即可得出AD≤PE+PF，再由正方形的面积为2即可得出结论．
【详解】过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴MN⊥AB，
∴PM≤PE（当PE⊥AB时取等号），PN≤PF（当PF⊥BC时取等号），
∴MN=AD=PM+PN≤PE+PF，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AD=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，解题的关键是找出AD≤PE+PF．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出PE+PF最小时，三点的位置关系是关键．
24．
【分析】
当点E在正方形右侧时，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，根据A，C，E，D四点共圆，可得OE＝OD＝，再根据PE≤OP+OE＝，可得当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝，则线段PE的最大值为；
当点E在正方形上方时，作斜边为AD的等腰直角△AOD，则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，求得此时PE最大值为；比较两个最大值，可得最终结果．
解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，
∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，
∴A，C，E，D四点共圆，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OE＝OD＝BD＝，
∵P为AB的中点，O是BD的中点，
∴OP＝AD＝，
∵PE≤OP+OE＝+，
∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝+，
即线段PE的最大值为+，
如图，点E在正方形ABCD上方，
作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，
则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，
∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，
过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，
∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°
∴AO＝，∠OAD＝45°，
∵ON⊥AB，AD⊥AB
∴∠NAO＝∠NOA＝45°
∴AN＝NO＝
∴PO＝
∴PE最大值为，
故答案为.
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．
25．（3，3）或（，）．
【分析】首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC==6，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值，小心别漏解．
解：根据题意得：AD＝1，AB＝3，AC＝
∵∠A＝∠A，
∴若△ADE∽△ABC时，＝，
即：，
解得：AE＝2，
∵点A的坐标是（1，1），
∴E（3，3）；
若△ADE∽△ACB时，＝，
即：＝，
解得：AE＝，
∴E（，），
∴当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是（3，3）或（，），
故答案为：（3，3）或（，）．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
26．
【分析】连接，根据题意先证出，然后得出，所以点运动的路径长度即为点从到的运动路径，继而得出结论
【详解】
连接，
∵，是等腰直角三角形，
∴,∠ABC=90°
∵四边形是正方形
∴BD=BF，∠DBF=∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBF,
在△DAP与△BAP中
∴，
∴，
点运动的路径长度即为点从到的运动路径,为.
故答案为
【点拨】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）EF＝DF﹣BE，见解析；（3）2
【分析】
（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，由“SAS”可证△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；
（2）将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF＝FM，则结论得证；
（3）由全等三角形的性质可得AE＝AG＝，EF＝FG，BE＝DG，由勾股定理可求DG的长，FD的长，AF的长．
【详解】
（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
（2）结论：EF＝DF﹣BE；
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
（3）如图，
由（1）可得AE＝AG＝，EF＝FG，BE＝DG，
∵DG＝，
∴BE＝DG＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝3，
∵EF2＝EC2+CF2，
∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF）2，
∴DF＝2，
∴AF＝＝＝2．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，此题为半角模型，∠EAF是∠BAD的一半，故命名半角模型，半角模型必旋转，再证全等即可．
28．（1）见解析 （2）△OEF为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】
（1）利用正方形的性质得OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠GAE＝∠OBE，则可根据“ASA”判断AOF≌BOE，从而得到OF＝OE；
（2）同样方法证明△AOF≌△BOE，仍然得到OF＝OE，再结合即可判定是等腰直角三角形．
【详解】
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∴∠OBE+∠OEG＝90°，
∵于点，
∴，
∴∠OAF+∠OEG＝90°，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴∠OBE+∠OEG＝90°，
∵于点，
∴，
∴∠OAF+∠OEG＝90°，
∴，
在和中，
∴
∴；
又∵，
∴是等腰直角三角形．
【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意证得是解此题的关键．
29．（1）4m；（2）证明见解析；（3）△APQ的周长的最小值为4．
【分析】
（1）直接由正方形的性质得出答案即可；
（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；
（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．
【详解】
（1）∵四边形BCFH是正方形，
∴BC=BH=FH=CF，
∴当BC=m时，正方形BCFH的周长为4m，
故答案为：4m；
（2）如图1，连接AH，
在△BHA和△BCE中，
∴△BHA≌△BCE（SAS），
∵AF∥BH，
∴BH边上的高=正方形BCFH的边
∴△BHA的面积等于正方形BCFH的面积．
∴△AEC的面积等于正方形BCFH的面积；
（3）△APQ的周长存在最小值．
如图2，作点A关于DE的对称点A
∴AP=A′P
∵点A关于BC的对称点F，
∴AQ=QF，
∴△APQ的周长的最小值为A′F，
过A′作A′M⊥FA交FA的延长线于M，
∵，
∴∠BAC=45°，AB=2
∴∠A′AM=45°, AA′=4，
∴△AA′M为等腰直角三角形，，
∴MA=MA′=4，
∴MF=8，
∴A′F==4，
∴△APQ的周长的最小值为4．
【点拨】此题综合考查正方形的性质，对称的性质，勾股定理的运用以及利用对称性求最短距离的问题，对于求最短距离的问题体现了建模思想的运用，注意辅助线的作法．
30．（1）证明见解析（2）当时，垂直平分
【分析】
（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定△BCG≌△DCE，从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC；
（2）连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE，从而找到BD=，CE=BE-BC=-1，根据全等三角形的性质求解即可．
解：证明：∵四边形、都是正方形，
∴，，
∴
∴连接
如果垂直平分，则有
∵，
∴
∴
∴
即当时，垂直平分．
【点拨】本题考查了全等三角形与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质.
31．见解析
【解析】
【分析】
根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，于是证得结论
【详解】
证明: ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，
又∵AE=DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF.
∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AF⊥BE.
【点拨】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
32．当或时，的面积为
【分析】
利用面积公式求解即可.
【详解】
解：由题意可知：当动点从运动到时，，
当动点从运动到时，，由于，
因此满足题意的点的位置只有两种情况
①当时，即点在边上运动时，如图，此时，
，当时，解得：
②当时，即点在边上运动，如图，此时折线，，
当时，解得：
综上所述，当或时，的面积为
【点拨】找出临界点是解题的关键.
专题18.27 正方形-动点问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知正方形ABCD的边长为，点O为正方形的中心，点F为边AB的中点，点G为线段AF上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作，垂足为点E，当点G从点A运动到点F时，点E所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为( )
A． B．4 C．3 D．
3．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（ ）
A． B． C．3 D．6
4．如图，在正方形中，点是边上的一个动点（不与点重合） ，的垂直平分线分别交，于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，点是边上的一个动点（不与点，重合），的垂直平分线分别交，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，，，点Q为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的Q点有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为4，两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，点依顺时针方向环行，点依逆时针方向环行．若的速度是的速度的3倍，则它们第2020次相遇在（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
9．如图，在的正方形网格中，动点、同时从、两点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至格点停止.动点的运动路线为：；动点的运动路线为：，连接、.设动点运动时间为，的面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形的边长为4，点是正方形外一动点，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN＝EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是____________cm．
12．如图，正方形中，，是对角线上的一个动点，若的最小值是10，则长为___________．
13．如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF=8，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A'，D'处，当点D'落在直线BC上时，线段AE的长为________．
14．边长为1的正方形，在边上取一动点，连接，作，交边于点，若的长为，则的长为__________．
15．如图，点A是x轴上的一个动点，点C在y轴上，以AC为对角线画正方形ABCD，已知点C的坐标是，设点A的坐标为．
当时，正方形ABCD的边长______．
连结OD，当时，______．
16．如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连结．的面积最大为__________．
17．如图，正方形的边长为是的中点，是上的动点，过点作分别交于点
（1）的长为 __________；
（2）的最小值为___________．
18．如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为_____．
19．如图，正方形的面积为81，点是边上的一个动点，沿过点的直线将正方形折叠，使顶点恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是________
20．如图，在正方形中，已知，点分别是边的中点，点F是边上的动点，连接，将正方形沿折叠，的对应点分别为，则线段的最小值是_____．
21．如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，E是边AD的中点，P是边CD上的动点，Q是半圆BC上的动点，则PE+PQ的最小值是_____．
22．如图，正方形的对角线上有一动点，作于点，连接，．若，，则的长为_________．
23．如图，正方形的面积是，，，分别是，，上的动点，的最小值等于________．
24．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最大值是_____．
25．如图，A、B、C、D都是格点（小正方形的顶点），动点E在线段AC上，若点A的坐标是（1，1），则当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是_____．
26．如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.
三、解答题
27．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
（2）如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF之间数量关系是什么？请写出证明过程．
（3）如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．
28．已知：正方形的对角线交于点，是线段上的一动点，过点作交，交于．
（1）若动点在线段上（不含端点），如图（1），求证：；
（2）若动点在线段的延长线上，如图（2），试判断的形状，并说明理由．
29．在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形．
（1）当时，正方形的周长=_______（用含的代数式表示）；
（2）连接．试说明：三角形的面积等于正方形面积的一半．
（3）已知，且点是线段上的动点，点是线段上的动点，当点和点在移动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
30．如图，正方形中，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边向正方形
外作正方形，连接，连接并延长交于．
求证：．
若正方形的边长为，试问当点运动到什么位置时，垂直平分？
31．如图所示，，分别是正方形的边，上的两个动点，且，交于点，，连.求证：.
32．如图，已知正方形的边长是，为的中点，为正方形边上的一个动点，动点从出发沿运动，最终到达点，若点经过的路程，的面积记为，问当等于何值时，的值等于？
参考答案
1．A
【分析】连接OD、OA，由题意易得OD=OA=2，∠DEO=90°，进而可得点E是在以OD为直径的圆上运动，然后根据点G从点A移动到点F时，点E的运动轨迹刚好是四分之一圆，进而可求解．
解：连接OA、OD，如图所示：
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OD，∠OAD=45°，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∵AD=，
∴OA=OD=2，
∵，
∴点E是以OD为直径的圆的运动轨迹，如图所示：
∴点G从点A移动到点F时，点E的运动轨迹刚好是四分之一圆，
∴点E所经过的路径长为：，
故选A．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质及弧长计算公式，关键是根据题意得到动点的运动路径是圆弧，然后根据弧长计算即可．
2．B
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，可求出AB的长，从而得出结果．
解：设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4．
故选：B．
【点拨】本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
3．A
【分析】连接BD，MN为△BDQ中位线，根据中位线定理求解即可．
【详解】连接，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，
∴，
当点在边上运动时（点不与点重合），一直是的中位线，
则线段．
故选A．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及三角形中位线定理，求出BD=是解答此题的关键．
4．C
【分析】连接BF、EF，设，，由勾股定理可求得，EF的长，即可求解；
【详解】连接BF、EF，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和正方形的性质，准确计算是解题的关键．
5．C
【解析】连接AF，EF，设DF=a，CF=6a，由勾股定理可求AF、EC的长，即可求出BE：EC的值.
【详解】连接AF，EF，设DF=a，CF=6a，则BC=CD=7a，
∴AF=，
∵GF垂直平分AE，
∴EF=AF=，
∴EC==，
∴BE=7a-，
∴BE：CE=.
故选C.
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理表示出相关线段的长是解答本题的关键.
6．B
【分析】分别以点B、P为圆心，以BP的长度为半径画圆，与正方形的边的交点即为所求的点Q，再作出BP的垂直平分线，与正方形的边的交点也符合点Q的要求．
解：如图所示：
符合条件的Q点有5个．
故选B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，考虑利用圆的半径相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质作图，利用数形结合的思想求解更形象直观．
7．C
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可．
【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小，
∵四边形ABCD是正方形，且周长为8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝＝，
故选C．
【点拨】
此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键．
8．A
【分析】
此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】
正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为8×＝2，乙行的路程为8−2＝6，在AD边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16−4＝12，在DC边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16−4＝12，在CB边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16−4＝12，在AB边相遇；
…
∵2020＝505×4，
∴甲、乙第2017次相遇在边AB上．
故选：A．
【点拨】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
9．A
【分析】分0≤t≤1、1＜t＜2、2≤t≤3三种情况，分别求出函数表达式即可求解．
【详解】
①0≤t≤1时，如图，
S=PQAP=t，
当t=1时，S=1，
该函数为一次函数；
②1＜t＜2时，如图，建立如图所示的坐标系，
则点P、Q的坐标分别为（t-1，1）、（2，t），设直线PQ交GE于点H，
设直线PQ的表达式为：，则，
解得，
故直线PQ的表达式为：，
当时，，
∴；
该函数为开口向下的抛物线；
③当2≤t≤3时，如图，
PF=t-2，GQ = 3- t，
∴PE= t-2+1 =t-1，
同理可得：S=PEGQ=(t-1)( 3- t)=；
该函数为开口向下的抛物线；
故选：A．
【点拨】本题考查了动点图象问题，涉及到一次函数和二次函数等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
10．D
【解析】分析：连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，根据A，C，E，D四点共圆，可得OE=OD=BD=2，再根据PE≤OP+OE=2+2，可得当点O在线段PE上时，PE=OP+OE=2+2，即线段PE的最大值为2+2．
详解：如图，连接 AC ， BD 交于点 O ，连接 PO ， EO ，
∵∠AED=45°,∠ACD=45° ，
∴A ， C ， E ， D 四点共圆，
∵ 正方形 ABCD 的边长为 4 ，
∴OE=OD=BD=2，
∵P 为 AB 的中点， O 是 BD 的中点，
∴OP=AD=2 ，
∵PE⩽OP+OE=2+2 ，
∴ 当点 O 在线段 PE 上时 ,PE=OP+OE=2+2 ，
即线段 PE 的最大值为 2+2，
故选：D.
点拨：本题考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键.
11．
【分析】根据题意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM的长，进而确定出MN的长即可．
解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，
∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，底面圆的直径为6cm，
∴底面周长为6πcm，即EF=6πcm，
则MN=cm，
故答案为．
【点拨】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
12．
【分析】如图，连接DF，DE，DE交AC于F′，连接BF′．由BF+EF=EF+DF≤DE，推出当点F与点F′重合时，BF+EF的值最小，最小值为线段DE的长，由题意AE=AB，设AE=a，则AB=3a，在Rt△AEB中，根据AE2+AD2=DE2，构建方程即可解决问题．
【详解】
如图，连接DF，DE，DE交AC于F′，连接BF′
∵四边形ABCD是正方形
∴BF=DF
∵BF+EF=EF+DF⩽DE
∴当点F与点F′重合时，BF+EF的值最小，最小值为线段DE的长
由题意AE=AB，设AE=a，则AB=3a
在Rt△AEB中，∵AE2+AD2=DE2
∴a2+9a2=100
∴a=
∴AB=3a=
故答案为：
【点拨】本题考查了正方形的性质，最短线路问题，解几条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段．
13．4或16
【分析】分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长．
解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，
∴CD′＝D'F2-CF2＝6，
∴BD'＝BC−CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18−x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋122，
∴182＋x2＝（18−x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，CD'＝D'F2-CF2＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18−x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋242，
∴182＋x2＝（18−x）2＋242，
解得：x＝16，即AE＝16；
综上所述，线段AE的长为4或16；
故答案为：4或16．
【点拨】本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
14．或
【分析】根据正方形的内角为90°，以及同角的余角相等得出三角形的两个角相等，从而推知△ABE∽△ECF，得出，代入数值得到关于CE的一元二次方程，求解即可．
解：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
．
解得，CE=或．
故答案为：或．
【点拨】考查了四边形综合题型，需要掌握三角形相似的判定与性质，正方形的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据相似三角形得出一元二次方程，难度不大．
15．； 2或6
【分析】
(1)在RtAOC中，利用勾股定理求出AC的长度，然后再求得正方形的边长即可；
(2)先求得OD与y轴的夹角为45〬，然后依据OD的长，可求得点D的坐标，过D作DM⊥y轴，DN⊥x轴，接下来，再证明△DNA≌△DMC,从而可得到CM=AM,从而可得到点A的坐标.
解：（1）当n=2时，OA=2，
在Rt△COA中，AC2=CO2+AO2=20．
∵ABCD为正方形，
∴AB=CB．
∴AC2=AB2+CB2=2AB2=20，
∴AB= ．
故答案为．
（2）如图所示：过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴．
∵ABCD为正方形，
∴A、B、C、D四点共圆，∠DAC=45°．
又∵∠COA=90°，
∴点O也在这个圆上，
∴∠COD=∠CAD=45°．
又∵OD= ，
∴DN=DM=1．
∴D（-1，1）．
在Rt△DNA和Rt△DMC中，DC=AD，DM=DN，
∴△DNA≌△DMC．
∴CM=AN=OC-MO=3．
∵D（-1，1），
∴A（2，0）．
∴n=2．
如下图所示：过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴．
∵ABCD为正方形，
∴A、B、C、D四点共圆，∠DAC=45°．
又∵∠COA=90°，
∴点O也在这个圆上，
∴∠AOD=∠ACD=45°．
又∵OD= ，
∴DN=DM=1．
∴D（1，-1）．
同理：△DNA≌△DMC，则AN=CM=5．
∴OA=ON+AN=1+5=6．
∴A（6，0）．
∴n=6．
综上所述，n的值为2或6．
故答案为2或6．
【点拨】本题考核知识点：正方形性质、全等三角形性质，圆等. 解题关键点：熟记相关知识点.
16．2
【分析】作FH⊥AD于点H，证明△FEH≌△ECD得到FH=ED，设AE=x，则FH=ED=4-x，建立的面积关于x的函数表达式，运用二次函数的性质求解即可．
【详解】
如图所示，作FH⊥AD于点H，
∵四边形为正方形，
∴FE=EC，∠FEH+∠DEC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠FEH=∠ECD，
在△FEH和△ECD中，
∴△FEH≌△ECD（AAS），
∴FH=ED，
设AE=x，则FH=ED=4-x，
∴，
则当x=2时，取最大值，最大值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及函数法求解几何图形的面积最值问题，熟练运用二次函数的性质是解题关键．
17．
【分析】
（1）根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；
（2）过作于，证明得，再将沿方向平移至，连接，当、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值即可．
解：（1）正方形的边长为2，
，，
是的中点，
，
，
故答案为：；
（2）过作于，则，，
，
，
，
，
，
将沿方向平移至，连接，则，，，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，第（2）题难度较大，关键是通过平移变换确定取最小值的位置．
18．﹣1．
【分析】根据翻折的性质和正方形的性质以及勾股定理解答即可．
【详解】连接A'D，
∵将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，
∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B，
∵边长为1的正方形ABCD，
∴BD＝，
设AP＝x，则PD＝1﹣x，
∴A'P＝AP＝x，DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB＝﹣1，
在Rt△PDA'中．PD2＝PA'2+A'D2，
即(1-x)2=，
解得：x＝﹣1，
即AP＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点拨】此题考查翻折的性质，关键是根据翻折的性质和正方形的性质以及勾股定理解答．
19．或5
【分析】
分两种情况讨论：①EC=BC，②EC=BC，设DH=x，则CH=9-x，在Rt△CEH中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】
∵正方形ABCD的面积为81
∴BC=CD=9
设DH=x，则CH=9-x，由折叠的性质可得EH=DH=x
∵E点为BC的三等分点
①若EC=BC=3，
在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2
即
解得
②若EC=BC=6，
在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2
即
解得
综上可得，DH的长为或5，
故答案为：或5．
【点拨】本题考查正方形的折叠问题，分类讨论，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
20．
【分析】
如图，连接EG，EB′．求出EG，EB′的长，可以判定点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值=，即可解决问题．
解：如图，连接EG，EB′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=DC=AB=2，
∵AE=DE=1，DG=GC=1，
∴EG= ==，
由翻折的性质可知，∠A′=∠A=90°，A′E=AE=1，A′B′=AB=2，
∴EB′== =，
∴当点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值=，
故答案为．
【点拨】本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
21．6﹣3
【分析】取BC的中点O，连接OE，作E点关于CD的对称点E′，可得到PE+PQ＝PE′+PQ＝QE′，此时PE+PQ有最小值，根据条件计算即可．
解：取BC的中点O，连接OE，作E点关于CD的对称点E′，连接OE′交CD于P，交半圆于Q，如图，
∵PE＝PE′，
∴PE+PQ＝PE′+PQ＝QE′，
∴此时PE+PQ有最小值，
∵E是边AD的中点，
∴OE⊥AD，OE＝6，
∵DE′＝DE＝3，
∴OE′＝6，
∴QE′＝6﹣3，
即PE+PQ的最小值是6﹣3．
故答案为6﹣3．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质应用，结合对称的性质进行求解，做辅助线表示出最短线段是关键．
22．或
【分析】延长NP交AB于H．易知AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，根据PB2=PH2+BH2，可得x2+（3-x）2=（）2，推出x=1或2，接下来分两种情形分别求出BN即可．
解：延长NP交AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，AB∥CD，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP=∠HPA=45°，
∴AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，
在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，
∴x2+（3-x）2=（）2，
∴x=1或2，
当x=1时，BH=CN=2，在Rt△BCN中，BN=，
当x=2时，BH=CN=1，在Rt△BCN中，BN=．
综上所述，BN的长为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
23．
【分析】
过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，根据正方形的性质可得出MN⊥AB，且PM≤PE、PN≤PF，由此即可得出AD≤PE+PF，再由正方形的面积为2即可得出结论．
【详解】过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴MN⊥AB，
∴PM≤PE（当PE⊥AB时取等号），PN≤PF（当PF⊥BC时取等号），
∴MN=AD=PM+PN≤PE+PF，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AD=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，解题的关键是找出AD≤PE+PF．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出PE+PF最小时，三点的位置关系是关键．
24．
【分析】
当点E在正方形右侧时，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，根据A，C，E，D四点共圆，可得OE＝OD＝，再根据PE≤OP+OE＝，可得当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝，则线段PE的最大值为；
当点E在正方形上方时，作斜边为AD的等腰直角△AOD，则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，求得此时PE最大值为；比较两个最大值，可得最终结果．
解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，
∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，
∴A，C，E，D四点共圆，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OE＝OD＝BD＝，
∵P为AB的中点，O是BD的中点，
∴OP＝AD＝，
∵PE≤OP+OE＝+，
∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝+，
即线段PE的最大值为+，
如图，点E在正方形ABCD上方，
作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，
则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，
∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，
过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，
∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°
∴AO＝，∠OAD＝45°，
∵ON⊥AB，AD⊥AB
∴∠NAO＝∠NOA＝45°
∴AN＝NO＝
∴PO＝
∴PE最大值为，
故答案为.
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．
25．（3，3）或（，）．
【分析】首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC==6，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值，小心别漏解．
解：根据题意得：AD＝1，AB＝3，AC＝
∵∠A＝∠A，
∴若△ADE∽△ABC时，＝，
即：，
解得：AE＝2，
∵点A的坐标是（1，1），
∴E（3，3）；
若△ADE∽△ACB时，＝，
即：＝，
解得：AE＝，
∴E（，），
∴当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是（3，3）或（，），
故答案为：（3，3）或（，）．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
26．
【分析】连接，根据题意先证出，然后得出，所以点运动的路径长度即为点从到的运动路径，继而得出结论
【详解】
连接，
∵，是等腰直角三角形，
∴,∠ABC=90°
∵四边形是正方形
∴BD=BF，∠DBF=∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBF,
在△DAP与△BAP中
∴，
∴，
点运动的路径长度即为点从到的运动路径,为.
故答案为
【点拨】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）EF＝DF﹣BE，见解析；（3）2
【分析】
（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，由“SAS”可证△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；
（2）将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF＝FM，则结论得证；
（3）由全等三角形的性质可得AE＝AG＝，EF＝FG，BE＝DG，由勾股定理可求DG的长，FD的长，AF的长．
【详解】
（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
（2）结论：EF＝DF﹣BE；
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
（3）如图，
由（1）可得AE＝AG＝，EF＝FG，BE＝DG，
∵DG＝，
∴BE＝DG＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝3，
∵EF2＝EC2+CF2，
∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF）2，
∴DF＝2，
∴AF＝＝＝2．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，此题为半角模型，∠EAF是∠BAD的一半，故命名半角模型，半角模型必旋转，再证全等即可．
28．（1）见解析 （2）△OEF为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】
（1）利用正方形的性质得OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠GAE＝∠OBE，则可根据“ASA”判断AOF≌BOE，从而得到OF＝OE；
（2）同样方法证明△AOF≌△BOE，仍然得到OF＝OE，再结合即可判定是等腰直角三角形．
【详解】
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∴∠OBE+∠OEG＝90°，
∵于点，
∴，
∴∠OAF+∠OEG＝90°，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴∠OBE+∠OEG＝90°，
∵于点，
∴，
∴∠OAF+∠OEG＝90°，
∴，
在和中，
∴
∴；
又∵，
∴是等腰直角三角形．
【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意证得是解此题的关键．
29．（1）4m；（2）证明见解析；（3）△APQ的周长的最小值为4．
【分析】
（1）直接由正方形的性质得出答案即可；
（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；
（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．
【详解】
（1）∵四边形BCFH是正方形，
∴BC=BH=FH=CF，
∴当BC=m时，正方形BCFH的周长为4m，
故答案为：4m；
（2）如图1，连接AH，
在△BHA和△BCE中，
∴△BHA≌△BCE（SAS），
∵AF∥BH，
∴BH边上的高=正方形BCFH的边
∴△BHA的面积等于正方形BCFH的面积．
∴△AEC的面积等于正方形BCFH的面积；
（3）△APQ的周长存在最小值．
如图2，作点A关于DE的对称点A
∴AP=A′P
∵点A关于BC的对称点F，
∴AQ=QF，
∴△APQ的周长的最小值为A′F，
过A′作A′M⊥FA交FA的延长线于M，
∵，
∴∠BAC=45°，AB=2
∴∠A′AM=45°, AA′=4，
∴△AA′M为等腰直角三角形，，
∴MA=MA′=4，
∴MF=8，
∴A′F==4，
∴△APQ的周长的最小值为4．
【点拨】此题综合考查正方形的性质，对称的性质，勾股定理的运用以及利用对称性求最短距离的问题，对于求最短距离的问题体现了建模思想的运用，注意辅助线的作法．
30．（1）证明见解析（2）当时，垂直平分
【分析】
（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定△BCG≌△DCE，从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC；
（2）连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE，从而找到BD=，CE=BE-BC=-1，根据全等三角形的性质求解即可．
解：证明：∵四边形、都是正方形，
∴，，
∴
∴连接
如果垂直平分，则有
∵，
∴
∴
∴
即当时，垂直平分．
【点拨】本题考查了全等三角形与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质.
31．见解析
【解析】
【分析】
根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，于是证得结论
【详解】
证明: ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，
又∵AE=DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF.
∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AF⊥BE.
【点拨】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
32．当或时，的面积为
【分析】
利用面积公式求解即可.
【详解】
解：由题意可知：当动点从运动到时，，
当动点从运动到时，，由于，
因此满足题意的点的位置只有两种情况
①当时，即点在边上运动时，如图，此时，
，当时，解得：
②当时，即点在边上运动，如图，此时折线，，
当时，解得：
综上所述，当或时，的面积为
【点拨】找出临界点是解题的关键.
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