专题18.30 矩形、菱形、正方形-常考题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.30 矩形、菱形、正方形-常考题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题18.30 矩形、菱形、正方形-常考题（专项练习）
一、单选题
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　　）
A．对角相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．（2021·陕西西安市第三中学九年级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．中心对称图形 B．对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
3．（2020·西安铁一中滨河学校九年级月考）在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（　　）
A．∠B＝90° B．∠A＝∠C C．AB＝BC D．AC⊥BD
4．（2021·湖北武汉市·八年级期中）下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
5．（2021·北京九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
6．（2020·浙江八年级期末）如图，中，，，点为斜边上的中点，交于点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．（2021·吉林松原市·前郭县一中九年级一模）如图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为（ ）

A．10 B． C． D．14
8．（2021·湖北武汉市·八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=7，AD=5，对角线BD上的一动点，以E为直角顶点，AE为直角边做等腰Rt△AEＦ，（E，F按逆时针方向排列），当点E从点D运动到点B时，点F的运动路径长是（ ）

A．12 B． C．18 D．
9．（2021·广东九年级专题练习）如图，折叠矩形纸片ABCD，先把△ABF沿AF翻折，点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上，然后将纸片展开铺平，把四边形NCDM翻折，点C恰好落在AE的中点G处，折痕为MN，则（　　）

A．当点N与点F重合时，∠AFM＝90°
B．当GN∥AF时，∠HMG＝45°
C．若AB＝2，AD＝3，则M恰好为DE的中点
D．△GMN的面积有可能为矩形ABCD面积的一半
10．（2021·河南九年级专题练习）已知，如图，在菱形ABCD中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（　　）
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．

A．∠ABC＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ADMS△ABM
11．（2019·天津全国·八年级单元测试）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（　　）

A．（0，21008） B．（21008，21008） C．（21009，0） D．（21009，－21009）
12．（2021·湖北武汉市·八年级期中）如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
13．（2021·全国九年级专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．

14．（2020·河北廊坊市·九年级开学考试）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为_________cm．

15．（2020·贵州铜仁市·八年级期末）矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为________．
16．（2021·全国八年级课时练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．

17．（2021·河北九年级其他模拟）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．

18．（2019·山东德州市·八年级期末）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．

19．（2020·内蒙古乌海市·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_____使平行四边形ABCD是菱形．

20．（2020·全国九年级专题练习）如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．

21．（2020·江西南昌市·八年级期末）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为____．

22．（2020·福建省沙县高砂中学九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____

23．（2020·三明市梅列区教育局九年级期中）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．

24．（2020·河南八年级期末）如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．


三、解答题
25．（2021·山东济宁市·九年级一模）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，
求证：四边形OCED是菱形．

26． （2014·山西九年级专题练习）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．


27． （2021·湖南长沙市·八年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．


28． （2020·湖南长沙市·九年级其他模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．

29．（2019·重庆八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．


参考答案
1．D
【分析】
利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．
【详解】
解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：D．
【点拨】
本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
2．D
【分析】
根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．
【详解】
解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【点拨】
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
3．A
【分析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等或有一内角为直角即可．
【详解】
解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：对角线相等（AC＝BD）或有一个内角等于90°．

故选：A．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定定理与矩形的判定定理．掌握对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．
4．D
【分析】
根据菱形的判定、矩形和平行四边形和直角三角形斜边上的中线性质进行判定即可．
【详解】
A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说法正确，不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，
故选：D．
【点拨】
本题考查了平行四边形，矩形和菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质定理是解题的关键．
5．B
【分析】
先求出OA的长，根据菱形的特点得到，故可求出B点坐标．
【详解】
解：点的坐标是，
，
四边形为菱形，
，
则点的坐标为．
故选：．
【点拨】
此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知勾股定理与直角坐标系的特点．
6．C
【分析】
根据直角三角形的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠A=25°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，点D为斜边AB上的中点，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=25°，
∵DE⊥CD，
∴∠EDC=90°，
∴∠AED=∠ACD+∠EDC=115°，
故选：C．
【点拨】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．C
【分析】
易知OE是中位线，则，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝10，根据矩形性质可求BO＝5，从而求出△BOE周长．
【详解】
点是矩形的对角线的中点，点为的中点，
∴，，∴．
在中，利用勾股定理求得．
在中，利用勾股定理求得，
∴．
∴的周长为．
故选C．
【点拨】
本题主要考查了矩形的性质、以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
8．B
【分析】
分别考虑当点E与点B重合时，点E与点D重合时的情况，由此确定出F点的运动轨迹，从而构造直角三角形求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=7，AD=BC=5，
如图，当点E与点B重合时，点F与点M重合，
此时，AB=BM=7，BC=AD=5，
∴CM=BM-BC=7-5=2；
当点E与点D重合时，点F与点N重合，
此时，AD=DN=5，
CN=DN+CD=5+7=12，
∴点F的运动轨迹为线段MN，
在Rt△MCN中，
，
故选：B．

【点拨】
本题考查矩形中的动点问题，理解矩形的性质，找准动点的轨迹是解题关键．
9．B
【分析】
根据矩形的性质及折叠前后对应的边、角相等逐个判断即可求解．
【详解】
解：根据折叠的性质，易得∠AFE＝45°．
当点N与点F重合时，点M在AD边上，则∠AFM＜90°，故A错误；
由折叠可得∠DMN＝∠HMN＝∠BNM，∠GNM＝∠MNC＝∠GDN，∠AFB＝45°，
当GN∥AF时，∠GNF＝∠AFB＝45°，
∴∠HMG＝＝45，故B正确；
由折叠得，CN＝NG，点G是AE的中点，
当AB＝2，AD＝3时，DG＝DC＝2，则四边形GNCD为正方形，此时点M与点D重合，故C错误；
∵点G是AE的中点，
∴△GMN的面积是矩形ABCD面积的一半时，GM＝AD，此时M点在AD的延长线上，根据题意显然不成立，故D错误．
故选：B．
【点拨】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定等，属于综合题型，具有一定难度，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
10．B
【分析】
利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝2，则CM＝DM＝1，在计算出AM，利用勾股定理计算出BM，则可对B选项进行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积公式可对D选项进行判断．
【详解】
解：由作法得EF垂直平分CD，
∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；
当AB＝2，则CM＝DM＝1，
∵∠D＝60°，
∴AM，
在RABM中，BM，所以B选项的结论错误；
∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；
∵AB//CD，AB＝2DM，
∴S△ADMS△ABM，所以D选项的结论正确．
故选：B．

【点评】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
11．B
【分析】
根据正方形性质和平面直角坐标系特点，观察点的坐标规律.
【详解】
观察,发现：A(0,1)、A1(1,1),A2(2,0),A3(2,−2),A4(0,−4),A5(−4,−4),A6(−8,0),A7(−8,8),A8(0,16),A9(16,16)…，
∴A8n+1(24n,24n)(n为自然数).
∵2017=252×8+1，
∴A2017(2252×4,2252×4),即点A2017的坐标是(21008,21008).
故选B.
【点拨】
考核知识点：点的坐标规律.
12．C
【分析】
①先证出AF=FD=CD，得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF，可得∠DCF= ∠BCD，故①正确；
②做辅助线延长EF，交CD延长线于M，先证△AEF≌△DMF（ASA），得到FE=MF 即，再通过在中斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到CF=EF，故②正确；
③根据EF=FM，可得，那么，再通过MC＞BE，得到，即，故③的正确；
④先证FC=FE，设∠FCE=x，那么，再通过证∠DCF=∠DFC，那么，则，进一步证得，即可证得，故④错误．
【详解】
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵ ，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，
故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，即，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∴
∵，
∴CF=EF，
故②正确；
③∵EF=FM，
∴，
∴，
∵MC＞BE，
∴
∴故③正确；
④设∠FEC=x，
∵CE⊥AB，，
∴，
∵F 是EM的中点，
∴FC=FE，
∴∠FCE=x，
∴，
∵
∴∠FCB=∠DFC
∵∠DCF＝∠FCB；
∴∠DCF=∠DFC
∴
∴，
∴，
∵，
∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．
综上所述正确的是：①②③．
故选：C．
【点拨】
此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键．
13．
【分析】
连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．
【详解】
解：连接DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∠DAB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为2，
∴BD=2，BE=1，DE=，
∴△PBE的最小周长=DE+BE=+1，
故答案为：+1．
【点拨】
本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
14．4.
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，BD=AC=8cm，
∴OA=OB=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4cm．
考点：矩形的性质．
15．24
【详解】
分析：根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．
详解：如图：

AB＝12cm，∠AOB＝60°．
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线．
∴OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC．
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴OA＝OB＝AB＝12cm，BD＝2OB＝2×12＝24cm．
故答案为24．
点拨：矩形的两对角线所夹的角为60°，那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形．本题比较简单，根据矩形的性质解答即可．
16．
【分析】
先求出的度数，即可求出.
【详解】
解：由题意可得，，



故答案为
【点拨】
本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.
17．45°
【分析】
根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数．
【详解】


∵
∴
∴

故答案为：45°．
【点拨】
本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
18．3
【分析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.
【详解】
∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，
∴,,
∴DO=AO=3.
故答案为3.
【点拨】
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.
19．AB=BC(或AC⊥BD)答案不唯一
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形可知添加条件AB=BC．
【详解】
解：添加条件：AB=BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可以判定四边形ABCD是菱形．
故答案为AB=BC．
【点拨】
此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
20．
【分析】
先证得△ADF△BAE，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于△AOD的面积．
【详解】
正方形ABCD中，
∠DAF=∠ABE=90，AD=AB，
∵AE⊥DF，
∴∠DOA=∠DAF =90，
∴∠DAO+∠ADF =∠DAO +∠FAO =90，
∴∠ADF =∠FAO，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF△BAE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得阴影部分的面积等于△AOD的面积是解题的关键．
21．6
【分析】
先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，

设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，则AB=6．
故答案为：6．
【点拨】
本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
22．3或．
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
23．+2
【分析】
取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】
如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=4，BC=2，
∴OE=AE=AB=2，
DE==，
∴OD的最大值为：+2，
故答案为+2.

【点拨】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
24．或4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为4或4.
点拨：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
25．见解析
【分析】
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【详解】
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
26．解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴平行四边形AEBD是矩形．
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
【解析】
试题分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．

27．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）10．
【分析】
（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10．
【点拨】
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
28．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =24
【分析】
（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．

【点拨】
本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.
29．（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=或12.
【解析】
【分析】
（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.
【详解】
解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，
∴AB=AC=×60=30cm，
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，
∴DF=CD=2t，∴DF=AE；
（2）能，
∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，
∴当t=10时，AEFD是菱形；
（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：
①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=，
②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即，解得：t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形.