专题19.1 变量与函数（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题19.1  变量与函数（知识讲解）

【学习目标】

1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；

2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．

【要点梳理】

 要点一、变量、常量的概念

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.

要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.

要点二、函数的定义

一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.

要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：

　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；

　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；

　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.

　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：

①函数关系式相同（或变形后相同）；

②自变量的取值范围相同.

否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.

要点三、函数值

是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.

要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.

要点四、自变量取值范围的确定

　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.

要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：

　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：

　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；

　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；

　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；

    （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；

　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

【典型例题】

类型一、变量与函数

 1、（2018·全国七年级单元测试）下列是关于变量x与y的八个关系式：① y = x；② y2 = x；③ 2x2 − y = 0；④ 2x − y2 = 0；⑤ y = x3 ；⑥ y =∣x∣；⑦ x = ∣y∣；⑧ x =．其中y不是x的函数的有_____．（填序号）

【答案】②④⑦

【解析】根据函数的定义：“在一个变化过程中，若有两个变量x、y，在一定的范围内当变量x每取定一个值时，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就说变量y是变量x的函数”分析可知，在上述反映变量y与x的关系式中，y不是x的函数的有②④⑦，共3个.

故答案为②④⑦.

【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.抓住函数定义中的关键词语“都有唯一确定的值”，与之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.

【变式】（2020·全国八年级课时练习）下列：①；②；③；④，具有函数关系（自变量为）的是______．

【答案】①②

【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定哪些是函数．

解：∵对于①y=x2；②y=2x+1当x取值时，y有唯一的值对应；

故具有函数关系（自变量为x）的是①②；

类型二、函数解析式的取值范围

 2、求出下列函数中自变量的取值范围

（1）；        （2）；

（3）；            （4）.

【答案】（1）任何实数（2）（3）（4）

【分析】

（1）因为函数表达式右边为整式，所以自变量取值范围是任意实数；（2）根据分式的分母不为0列不等式求解；（3）根据二次根式的被开方数大于等于0列不等式求解；（4）根据二次根式的被开方数大于等于0，分式分母不为0列不等式组求解.

解：（1）∵为整式，

∴x为任意实数；

（2）根据题意得，3x+1≠0，

∴ ；

（3））根据题意得，≥0，

∴ ；

（4）根据题意得，

，

解得，.

【点拨】求函数的自变量的取值范围，就是使函数解析式有意义的自变量的允许范围，常见的限制条件有分母不为0、偶次根式下被开方数大于或等于0，根据此条件列式求解是解答此题的重要途径.

举一反三：

【变式】（2019·洛阳市实验中学八年级月考）等腰三角形的周长为10，底边长y与腰x的函数关系式是，则自变量x的取值范围是________．

【答案】2.5<x<5

【分析】根据两边之和大于第三边，底边的长是正数，可得答案．

解：∵等腰三角形的周长为10，等腰三角形的底y与腰x之间的函数关系式为y=10−2x，

∴两边之和大于第三边，得2x>10−2x，解得x>2.5．

又有10−2x>0，解得x<5，∴自变量x的取值范围是2.5<x<5，

故答案为2.5<x<5．

【点拨】本题考查三角形的三边关系及函数自变量的综合应用，用不等式正确表示三边关系并注意三角形的边长为正数是解题关键．

类型三、函数解析式

3.（2019·南京东山外国语学校八年级月考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙（住房墙的长度大于），另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个宽的门．若设为，为，则与之间的函数关系式为______．

【答案】

【分析】设AB为y（m），BC为x（m），根据AB+BC+CD-1=25列出方程即可．

解：设为，为，根据题意得

，

整理得．

故答案为：．

【点拨】此题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边建筑材料的总长为25米，列出等式．

举一反三：

【变式】（2020·辽宁大连市·九年级学业考试）如图，中，，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点.若设，，则关于的函数解析式为___________.

【答案】

【分析】延长CE、AB交于点F，先证△BCE≌△BFE，进而得到CE=FE=CF，然后再在Rt△CAF中由勾股定理求出CF的值即可求解.

 解：延长CE、AB交于点F，如下图所示：

∵，，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：

又BE是∠FBC的角平分线，∴∠FBE=∠CBE

在△BCE和△BFE中   

，∴△BCE≌△BFE(ASA)

∴BF=BC=4

∴AF=BF-AB=4-x

∵∠CAB=∠CAF=90°

∴在Rt△ACF中，由勾股定理可知：

∴

∴

且AB＜BC，即.

故答案为：.

【点拨】本题考查了三角形全等、勾股定理、函数的概念等，属于综合题，本题的关键是能延长CE、AB交于点F后证明△BCE≌△BFE.

举一反三：

【变式】（2018·西安交大阳光中学八年级月考）如图，的边长是8，边上的高是4，点在运动，设长为，请写出的面积与之间的函数关系式______．

【答案】y=-2x+16．

【分析】直接利用三角形面积求法得出y与x之间的函数关系即可．

解：由题意可得，△ACD的面积y与x之间的函数关系式为：

y=AD′•DC=×4×（8-x）=-2x+16．

故答案为：y=-2x+16．

【点拨】此题主要考查了函数关系式，正确掌握钝角三角形面积求法是解题关键．

类型四、函数值

4、 若与的关系式为，当＝时，的值为（      ）

    A．5            B．10           C．4          D．－4

【思路点拨】把代入关系式可求得函数值.

【答案】C；

【解析】.

【总结升华】是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.