专题19.5 正比例函数（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题19.5  正比例函数（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；

2. 能用数形结合的思想理解正比例函数的性质，解决简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.

2、正比例函数的等价形式

（1）、是的正比例函数；

（2）、（为常数且≠0）；

（3）、若与成正比例；

（4）、（为常数且≠0）.

要点二、正比例函数的图象与性质

正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，随着的增大反而减小.

要点三、待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.

【典型例题】

类型一、正比例函数的定义 

1、（2021·山东烟台市·七年级期末）当_________时，函数是正比例函数．

【答案】-1

【分析】根据正比例函数的概念可直接进行求解．

解：由题意得：

，

∴；

故答案为：．

【点拨】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·盐城市初级中学八年级月考）在中，若y是x的正比例函数，则k值为____________．

【答案】－1

【分析】根据正比例函数的定义得到k-1≠0且k2−1=0即可求出k值．

解：∵函数y=（k-1）x+k2−1是正比例函数，

∴k-1≠0且k2−1=0，

解得k=-1；

故填：-1．

【点拨】此题考查正比例函数的定义，熟记定义是解题的关键，主要是定义的理解，比较容易．

举一反三：

【变式】（2020·霞南中学八年级月考）已知函数y=（m－2）x+m2－9是关于x的正比例函数，且其图象经过第二、四象限，则m的值是____．

【答案】－3

【分析】根据正比例函数的定义，列出关于m的方程，求解即可．

由题可得：，解得： ，

∴，

故答案为：-3．

【点拨】本题考查正比例函数的定义，熟记正比例函数的基本定义并准确根据定义建立方程求解是解题关键．

类型二、正比函数的图象和性质

2、（2021·浙江湖州市·八年级期末）已知正比例函数．

（1）若函数图象经过一、三象限，求的取值范围；

（2）若点在函数图象上．求该函数的表达式．

【答案】（1）   （2）

【分析】

（1）根据正比例函数图象的性质，得k-1＞0，解不等式即可求得k的取值范围；
（2）只需把点的坐标代入即可计算．

解：（1）∵函数的图象经过第一、三象限

；

（2）∵点在函数图象上

故函数解析式:

【点拨】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数y=kx(k≠0)的图象的性质：k>0时，图象经过第一、三象限；k＜0时，图象经过二、四象限．若一点在图象上，则其坐标满足直线解析式．

3、（2020·南昌民德学校八年级期中）已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6．

（1）求y与x之间的函数解析式．

（2）当x＝2时，求y的值．

（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，且y1＞y2，试判断x1，x2的大小关系．

【答案】（1）y＝6x；（2）12；（3）．

【分析】

（1）利用正比例函数的定义得到y﹣3＝k（2x﹣1），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数解析式；

（2）把x＝2代入（1）中的解析式中计算出对应的函数值；

（3）利用6＞6，可得到，的大小关系．

解：（1）设y﹣3＝k（2x﹣1），

把x＝1，y＝6代入得6﹣3＝k（2×1﹣1），解得k＝3，

则y﹣3＝3（2x﹣1），

所以y与x之间的函数解析式为y＝6x；

（2）由（1）知，y＝6x

∴当x＝2x时，y＝6＝12；

（3）∵，

而，

∴

∴

【点拨】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征等知识，一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式

举一反三：

【变式】（2020·全国八年级课时练习）已知正比例函数的图象上有两点，当时，有.

（1）求m的取值范围；

（2）当m取最大整数时，画出该函数图象.

【答案】（1）的取值范围是；（2）该正比例函数为，图象见解析.

【分析】

（1）根据正比例的性质可得出m-1＜0，从而得出m的取值范围；
（2）由（1）得出m的值，再代入得出解析式，画出图象即可．

解：（1）正比例函数的图象上有两点，

当时，有.

的取值范围是.

（2）

取最大整数0，

该正比例函数为，图象如图所示：

【点拨】本题考查了正比例函数的图象和性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．

4、（2019·全国八年级课时练习）若正比例函数的图像经过点A（－5，3），

（1）求的值；

（2）判断随的增大如何变化；

（3）如果这条直线上点B的横坐标＝4，那么它的纵坐标的值是多少？

【答案】（1）；（2）随的增大而减小；（3）

【分析】

（1）设这个正比例函数的解析式是y=kx，再将A（－5，3）代入求得k即可；

（2）判断k的值，即可得到答案；

（3）把点B的横坐标代入解析式，即可求出纵坐标的值.

解：(1)设正比例函数的解析式为：y=kx，

∵直线经过点A（－5，3），

∴3＝－5

∴＝ ，

∴直线的解析式为.

（2）∵＝＜0，

∴随的增大而减小.

（3）∵B点在直线上，＝4，

∴＝.

【点拨】本题考查了正比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质.

举一反三：

【变式】（2018·广东河源市·正德中学八年级月考）已知y与x 成正比例，当x＝4时，y＝12.

(1)写出y与x之间的函数解析式；

(2)求当y＝36时x的值；

(3)判断点(－7，－10)是否是函数图象上的点．

【答案】（1）y=3x；（2）x=12；（3）点（-7，-10）不是函数图象上的点.

【分析】

根据y与x成正比例，设出关系式，将x=4，y=12代入即可确定函数解析式；

将y=36代入函数解析式即可求出x的值;

将x=-7代入函数解析式求出y的值,看是否和-10相等.

解：（1）设y=kx（k≠0），

当x=4时，y=12，

∴4k=12，

解得：k=3，

∴y与x之间的函数解析式为y=3x；

（2）由（1）得y=3x，

当y=36时，3x=36，

解得：x=12；

（3）当x=-7时，y=3×（-7）=-21≠-10.

则点（-7，-10）不是函数图像上的点.

【点拨】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法．

类型三、正比函数综合练习

5、（2019·全国八年级课时练习）已知正比例函数经过点，点在第三象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为，且的面积为3.

（1）求正比例函数的解析式；

（2）在轴上能否找到一点，使的面积为5？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）点的坐标为或.

【分析】

（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；

（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．

解：如图：

（1）∵点的横坐标为，且的面积为3，

∴点的纵坐标为，

∴点的坐标为.

∵正比例函数经过点，

∴，解得：.

∴正比例函数的解析式是：.

（2）∵的面积为5，点的坐标为，

设OP=x，则，

∴，

∴.

∵如图，点P在x轴上，则点P可以在原点的左边或右边，

∴点的坐标为或.

【点拨】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．

举一反三：

【变式】（2020·全国八年级课时练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线和上，点A，D是x轴上两点.

（1）若此正方形边长为2，k=_______.

（2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出a的值.

【答案】（1）；（2）k的值不会发生变化，理由见解析

【分析】

（1）由边长可得AB，进而根据y=2x求出OA，得到OD，再根据边长为2得到CD，代入y=kx中即可；

（2）根据正方形的边长a，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入函数中，从而可求得k的值．

解：（1）

正方形边长为2，

.在直线中，

当时，

，将代入中，

得，解得.

（2）k的值不会发生变化

理由：正方形边长为a

，

在直线中，当时，，

.

将代入中，得,

解得，

∴k值不会发生变化.

【点拨】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用，是一道比较好的题目，难度适中．灵活运用正方形的性质是解题的关键．