2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题08反三角函数与最简三角方程复习与检测

学习目标
1.反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。
2.最简三角方程，简单的三角方程。

知识梳理
重点1
反三角函数：

概念：把正弦函数，时的反函数，成为反正弦函数，记作.

      ，不存在反函数.

含义：表示一个角；角；.

重点2
反余弦、反正切函数同理，性质如下表.

其中：

（1）． 符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；

 （2）． y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

  （3）．恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1],

arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；

  （4）． 恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctanx＋arccotx＝的应用。
重点3

最简单的三角方程
（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；

  （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；

   （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；

  如：若，则；若，则；

  若，则；若，则；

   （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
例题分析
例1．函数的反函数，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于函数，该函数的定义域为，

由于函数在上单调递增，则，

且，

，所以，，

因此，函数的定义域为.

故选：D.

例2．方程的解的个数是(    )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【详解】

解：在同一坐标系中分别作出函数，的图象如图：
 

由图可知函数，的图象有3个交点，

即方程的解有3个.
故选：D.

跟踪练习

1．设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．满足的的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

3．若，在上满足的的范围是（    ）．

A． B．

C． D．

4．设方程的解集为M，方程的解集为N，则（    ）．

A． B． C． D．以上都不对

5．方程的解集是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知为锐角，，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

7．解下列三角方程：

（1）；

（2）；

（3）．

8．解下列方程：

（1）；   

（2）；

（3）；   

（4）．

9．元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC＝θ，所有绳子总长为y米．（打结处的绳长忽略不计）

（1）将y表示成θ的函数，并指出定义域；

（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）

10．如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为（），米，，为对角线和的交点．他以、为圆心分别画圆弧，一段弧与相交于、另一段弧与相交于，这两段弧恰与均相交于．设．

（1）若两段圆弧组成“甬路”（宽度忽略不计），求的长（结果精确到米）；

（2）记此园地两个扇形面积之和为，其余区域的面积为．对于条件（1）中的，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由．

参考答案

1．C

【详解】

不妨设 ．为已知实常数.

若，则得 ；若，则得．

于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题；

当时，，它为奇函数，即命题（2）是真命题；

当时，，它为偶函数，即命题（3）是真命题；

当时，令，则

，

上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．

将该方程的两边同除以得

，令 （），

则 ，解得 （）．

不妨取 ， （且），

则，即 （），所以命题（4）是假命题．

故选：C

2．D

【详解】

不等式，

由余弦函数性质可化为，

由反函数运算性质可知满足，解得，

又因为，

所以满足不等式的的取值范围为，

故选：D.

3．D

【详解】

当，令

故满足的的范围是：

故选：D

4．B

【详解】

由，可得，所以

则

由，可得，所以

则

所以，

故选：B

5．D

【详解】

由方程，得，

解得，即方程的解集为.

故选：D

6．C

【详解】

由，可得，

因为，所以，则，

所以的取值范围为.

故选：C.

7．（1）；（2）或；（3）或．

【详解】

（1）；

（2） ，

显然不是方程的解，所以两边同除，得，

∴或，

∴；

（3）令，，则，

从而，即，解得或（舍），

再由，

∴或，

∴或．

8．（1）；（2）；（3）；（4）.

【详解】

（1）由得：，

，，

原方程的解集为.

（2），原方程可化为：，

即，解得：或（舍）

由得：，

原方程的解集为.

（3）令，则，

原方程可化为，即，解得：或，

，，即，

，，

原方程的解集为.

（4），，

原方程可化为，解得：，

，

原方程的解集为.

9．（1）y＝，；（2）1.17米，1.17米，0.85米．

【详解】

（1）设上底中心为M，则|AM|＝0.4，|PM|＝0.4tanθ，|PA|＝，

故绳子总长

＝＝，

因为，所以．

（2）记A＝，则sinθ+Acosθ＝4，即，

由sin（θ+φ）≤1，得，等号成立时，

从而ymin＝0.4+1≈3.19（米），

此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米．

10．（1）米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析．

【详解】

（1）根据题设条件，可得在△中，．

由正弦定理，得，即．

所以，所以，

所以米．

答：甬路的长约为米．

（2）由（1）得，在△中，由余弦定理，得，

所以，

故，所以，

，，

故，

当时，．

所以此人的设计是“用心”的．