2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题10数列的极限复习与检测

学习目标
1.数列极限的概念，
2.数列极限的运算法则，
3.常用的数列极限公式，
4.无穷等比数列各项的和。

知识梳理
1、在无限增大的变化过程中，如果数列中的项无限趋向于某个常数，那么称为数列的极限，记作．换句话说，即：对于数列，如果存在一个常数，对于任意给定的，总存在自然数，当时，不等式恒成立，把叫做数列的极限，记为．
重点1
几个常见的极限：

（1）C=C（C为常数）；     （2）=0；     （3）qn=0（|q|＜1）；

（4）=（k∈N*，a、b、c、d∈R且c≠0）；

（5）．

重点2
几个常见的极限：
（1）C=C（C为常数）；     （2）=0；     （3）qn=0（|q|＜1）；

（4）=（k∈N*，a、b、c、d∈R且c≠0）；

（5）．

重点3
数列极限的四则运算法则：设数列，当时，

；  ；   ；

特别地。如果c是常数，那么．

例题分析
例1．已知数列满足，则下列选项错误的是（    ）

A．数列单调递增 B．数列无界

C． D．

【答案】D

【详解】

，所以数列单调递增，恒成立，

故A，B正确；

，，

所以，所以，

故C正确：

因为，所以，结合数列单调递增，所以，

故D错误，

故选：D.

例2．已知数列中，，，记，，，，给出下列结论：

①；②；③；④.则（    ）

A．①③正确 B．①④正确 C．②③正确 D．②④正确

【答案】D

【详解】

①，所以数列是递增数列，又，所以与同号，又因为，所以，即，故①错；，由①知，数列是递增数列且恒小于，所以，所以即恒成立，故②正确；因为，，等价于，因为数列是递增数列且恒小于，所以存在，当时，有，因为为固定的值，记为，趋向于，，所以，所以，故③错误；因为，，，所以等价于，因为恒成立，所以恒成立，故④正确；

故选：D.

跟踪练习

1．等差数列､的前项和为和，若，则（    ）

A． B． C． D．

2．无穷等比数列中，，则首项的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．，则（    ）

A． B．4 C．1 D．

4．无穷等比数列的各项和为（    ）

A． B． C． D．

5．“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．非充分非必要

6．若，数列是由数列中，由小到大（指下标）排序而成，则（    ）

A． B．

C．不一定有极限 D．的极限与有关

7．将正奇数1，3，5，7，按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设是位于这个数阵中第行（从上往下数）、第列（从左往右数）的数．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）若，求、的值；

（3）若记这个数阵中第行各数的和为，数列的前n项和为，求极限的值．

8．已知无穷数列的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且．

（1）设，求数列的通项公式，并求的值；

（2）设，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．

（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．

9．设是公差为的等差数列，且，是等比数列，其前项和为，为坐标原点，向量，，点列满足，其中.

（1）求：与的通项公式；

（2）求：

10．已知为等差数列的前项和，若，

（1）求数列的通项公式；

（2）对于数列极限有如下常用结论：，设，用记号表示，试求的值.

（3）从（2）的数列中取出部分项按原来的前后顺序组成一个无穷等比数列，且满足它的各项和等于，试求出的通项公式.

参考答案

1．C

【详解】

因为，

所以，

解得.

故选：C

2．B

【详解】

由题意，无穷等比数列中，，

可得，且且，所以，

因为且，所以且.

即首项的取值范围是.

故选：B.

3．B

【详解】

当时，极限不存在，所以，

，

所以，所以，

故选：B

4．C

【详解】

解：等比数列的公比为，

所以前项和为，

所以无穷等比数列的各项和为

，

故选：C

5．C

【详解】

都存在，所以，，

所以与存在，故充分性成立；

记，，则，，

由题意，都存在，所以，

，所以都存在，故必要性成立，

所以“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的充分必要条件.

故选：C.

6．A

【详解】

根据数列极限的特点，一个数列若极限存在，则去掉前面有限项后，构成的新数列极限依然存在且与原数列的极限相等，所以.

故选：A.

7．（1）；（2）；（3）．

【详解】

（1）由已知，这个数阵的第n行有个数，

所以前行一共有个数

（2）令，满足不等式的最大整数为10．

解得

所以

（3）由题意，，

所以

所以，

8．（1）（）；；（2）存在；的值为；（3）证明见解析．

【详解】

（1）由，

得数列是以为首项、为公差的等差数列．

故（）；

．

（2）是等差数列，，

得，又因为，

所以．

故，

所以（），

，

当时，

，不等式成立；

当时，不等式都不成立．

所以满足条件的所有的的值为．

（3）①先证必要性：任取等差数列中不同的两项和（），

存在，使得，

则，

得，故存在，

使得，

使得，．

再证：运用反证法．

假设当时，不成立，

则恒成立．

对于不同的两项、，应存在，

使得，

即，

故，又因为是小于的整数，

故．所以假设不成立，

故．

②再证充分性：当，，，

任取等差数列中不同的两项和（），

，

因为且，

所以，

综上①②可得，

等差数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得得证．

9．（1）；（2）.

【详解】

（1）是公差为的等差数列，且，，

又当时，，当时，，

且符合的情况，

，

（2），，

，

，

.

10．（1）；（2）；（3）.

【详解】

（1）设公差为，则，，

所以.

当时，，此时不存在(舍)，

当时，，故，

.

（2），故，设，

则，

所以，

所以，

，

.

（3），设，

的公比，

，故，

，

又，，

故，所以，故，所以，故，

即，.