2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题12平面向量坐标表示及运算复习与检测

学习目标
1、掌握平面向量的坐标表示；

2、会进行向量线性运算的坐标表示；

3、掌握向量共线的充要条件.
知识梳理
重点1
平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，对任一向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则实数对叫做向量的直角坐标(简称坐标)，记作，其中x和y分别称为向量的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而称为向量的坐标表示.
注：

1、相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.

2、显然：, , .

重点2
向量线性运算的坐标表示、共线向量的坐标表示——平面向量的坐标运算：

1、两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

(其中、).

2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：

如果、，则.

(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：

若，则.

3、向量平行（向量共线）的坐标表示：

已知向量、()，则∥的充要条件为存在实数λ，使.

如果, ()则∥的充要条件为：.
注：

1、平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，引入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.

2、两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.

3、向量的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.（两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的）

4、向量的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.

5、实数λ与向量的积的运算时，λ应与的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.

设，

或

例题分析
例1．已知向量，，若向量与向量共线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意得：，因为向量与向量共线，

所以，解得.

故选：A

例2．已知平面向量、满足，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知可得，，

由三角不等式可得，即，

故选：C.
跟踪练习

1．向量，，，且，则实数λ=（    ）

A．3 B． C．7 D．

2．已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（    ）

A．-7 B．-3 C．3 D．7

3．已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（    ）

A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心

4．下列各式中不能化简为的是（    ）

A． B．

C． D．

5．下列各式中，不能化简为的是（    ）

A． B．

C． D．

6．若向量，，则（   ）

A． B． C． D．

7．已知，是直线上一点，若，求点的坐标.

8．已知点A(3,－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.

9．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1,－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．

10．已知，，．

（1）求的坐标；

（2）求满足条件的实数，．

参考答案

1．C

【详解】

，，

则，

若，且，

所以，

解得.

故选：C

2．C

【详解】

由于，所以，解得.

故选：C

3．D

【详解】

解：取的中点，则，

因为，

所以，

所以与共线，即直线与直线重合，

所以直线一定过的重心，

故选：D

4．D

【详解】

；

；

；

.

故选：D.

5．A

【详解】

对于A: ;

对于B: ;

对于C: ;

对于D: .

故选：A

6．A

【详解】

．

故选：A．

7．

【详解】

因为，

所以，

因为，

所以，

解得，

即

8．(1,－1).

【详解】

设P点坐标为(x,y)，又知：P在线段AB上，

∴，即 (x－3,y＋4)＝(－1－x,2－y)，

∴，解得.

∴P点坐标为(1,－1).

9．D可能为或或．

【详解】

设点D的坐标为(x,y)，

（1）当平行四边形为ABCD时，即有，

∴(4,6)－(3,7)＝(1,－2)－(x,y)，

∴，解得，

∴．

（2）同理，当平行四边形为ABDC时，，得．

（3）同理，当平行四边形为ADBC时，，得．

综上，D可能为或或．

10．（1），；（2）.

【详解】

（1）根据题意，，，，

则,,,,，

（2）根据题意，若，即,,,，

则有，解可得，

故.