2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题15坐标平面上的直线复习与检测

学习目标
1.掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。
2.熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

知识梳理
重点1

（1）        图形与方程

重点2

（2）直线的几何特征与二元一次方程的代数特征

重点3

（3）直线的已知条件与所选直线方程的形式

 重点4

（4）两直线的位置关系：

（5）点到直线的距离公式

（6）两直线的夹角公式

（7）直线的倾斜角的范围是<,当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为

例题分析
例1．经过点，且方向向量为的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

直线的方向向量为，直线的斜率，

直线的方程为，即.

故选：A.

例2．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，．记为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，，中最大的是（ ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【详解】

解：若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，

则为中点与原点连线的斜率，

故，，中最大的是

故选：B
跟踪练习

1．直线l的倾斜角为，则直线l关于直线y=x对称的直线l'的倾斜角不可能为（　　）

A． B． C． D．

2．直线的一个方向向量可以是（    ）

A．(2，3) B．(，3) C．(3，2) D．(，2)

3．直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．直线的倾斜角为（    ）.

A． B． C． D．

5．直线的一个法向量是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知、，、、、，直线，，则“”是“直线与垂直”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

7．设常数，已知直线，.

（1）若，求a的值；

（2）若，求与的距离；

8．在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使点A落在直线上，记为E点，则O，E关于折痕对称.设折痕所在直线的斜率为k.

（1）若，试求折痕所在直线的方程；

（2）当时（此时折痕与线段相交），求折痕的长度的最大值.

9．当m为何值时，直线与直线.

（1）相交；

（2）垂直；

（3）平行；

（4）重合.

10．已知的顶点，的平分线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为.

（1）求边所在的直线方程；

（2）求 .

参考答案

1．C

【详解】

当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，因此ABD均可能，只有C不可能．实际上当直线倾斜角为时，直线与直线关于和轴垂直的直线对称．

故选：C．

2．A

【详解】

直线可化为：，

所以直线的斜率为，

所以直线的一个方向向量可以是(2,3)

故选：A

3．D

【详解】

直线的斜截式方程为y＝，

所以斜率，即，所以，

解得<α≤，即倾斜角的取值范围是.

故选：D.

4．D

【详解】

因为直线的斜率，

所以，

所以.

所以直线的倾斜角为.

故选：D

5．C

【详解】

由题意直线方程为，其中一个法向量为．

故选：C．

6．C

【详解】

直线的一个法向量为，的一个法向量为，

．

故选：C．

7．（1）；（2）.

【详解】

（1）由题意，解得；

（2）由两条平行显然，因此，解得或，

时，两直线方程均为，不合题意，

时，方程为，即，方程为，即，

所求距离为．

8．（1）；（2）.

【详解】

（1）当时，折痕所在直线的方程为，

依题意设，则、关于直线对称，

所以，解得，

所以折痕所在直线的方程为.

（2）设折痕所在直线的方程为，，

当时，折痕所在直线的方程为，此时折痕的长度为，

当时，

根据、关于直线对称可得，

解得，则折痕所在直线的方程为，

令，得，则折痕与线段的交点为，

令，得 ，此时折痕的另一个端点在轴上，

令，得，则折痕的另一个端点为，

所以折痕的长度为，

因为，所以，

所以，所以，

又，

所以折痕的长度的最大值为.

【点睛】

关键点点睛：（1）中，根据、关于直线对称列式求解是解题关键；（2）中，正确求出折痕的两个端点的坐标是解题关键.

9．（1）且；（2）；（3）；（4）.

【详解】

（1）两线相交，则，即，得且；

（2）两线垂直，则，即，得；

（3）两线平行，则，即，得且，

当时，两直线方程均为为同一直线，不合题意；

当时，直线方程分别为、.

∴.

（4）由（3）知：两线重合，有.

10．（1）；（2）.

【详解】

（1）作点关于的平分线的对称点，

作点关于的平分线的对称点，

由题意得，，，四点共线，

所以直线的方程为，即；

（2）由得，由得，

又，

所以，

，

，

由余弦定理得，

所以.